Feuille d’exercices N. 1 : Topologie sur R

Universit´e de Bordeaux TMQ302 : Fonctions de plusieurs variables

Feuille d’exercices N. 1 : Topologie sur R

Par d´efaut, l’espace en question est R^d muni de la norme eucli- dienne.

Exercice 1. Soient A, B, C des ensembles, A, B, C ⊂ X. Rappelons que A^c=X\A. D´emontrer que

(A∪B)∩C= (A∩C)∪(B∩C), (A∩B)∪C= (A∪C)∩(B∪C), (A∪B)^c=A^c∩B^c, (A∩B)^c=A^c∪B^c.

Que peut-on dire de (∪_i∈IA_i)^c et (∩_i∈IA_i)^c?

Exercice 2. SoitA⊂R² l’un des ensembles suivants

– B((1,0),2), B(0,2)\B(0,1),{(x, y) :x∈[0,2], y ∈]−1,1[}= [0,2]×]−

1,1[,

– {(1/n,1/m) : n, m ∈ N^∗} = (1/n)n∈N^∗ ×(1/n)n∈N^∗, {(1/n, y) : n ∈ N^∗, y ∈[0,1]}= (1/n)n∈N^∗×[0,1],

– {(p, q) :p, q∈Q∩[0,1]}= (Q∩[0,1])×(Q∩[0,1]).

Dessinez-le. L’ensembleA est-il ouvert ? ferm´e ? Donnez ¯A, A^◦ etF r(A).

Exercice 3. Les assertions suivantes sont-elles vraies ? (D´emonstration ou contre-exemple selon les cas.)

1. Toute partie non ouverte de R^d est ferm´ee.

2. Une union quelconque d’ouverts de R^d est ouverte.

3. Une int´ersection quelconque de ferm´es deR^d est ferm´e.

4. Une union quelconque de ferm´es deR^dest ferm´ee.

5. L’ensemble{(x, y)∈R² : x²+ 3y⁴<1}est ouvert ? ferm´e ? born´e ? 6. L’ensemble{(x, y)∈R² : x+ 3y²61}est ouvert ? ferm´e ? born´e ? Exercice 4.

1. Montrer que toute boule ouverte (ferm´ee) est un ouvert (ferm´e).

2. Montrer que l’adh´erence de la boule ouverteB(a, r) est la boule ferm´ee B(a, r) et que¯ B(a, r) = B¯(a, r)◦

. Exercice 5. SoitA⊂R^d.

1. Montrer quex∈A^◦, l’int´erieur deA, si et seulement si (abr´eviation :

”si et seulement si” = ”ssi”) il existe r >0 tel que B(x, r)⊂A. Par cons´equent,A est ouvert ssiA=A^◦.

1

2. Montrer quex∈A, l’adh´¯ erence deA, ssi pour toutr >0 on aB(x, r)∩

A6=∅. D’o`u Aest ferm´e ssi ¯A=A.

3. D´emontrer quex∈A¯ssi il existe une suite (xⁿ)⊂Atelle quexⁿ→x.

4. Montrer que a ∈ F r(A) ssi pour tout r > 0 on a B(a, r)∩A 6= ∅ et B(a, r)∩A^c6=∅.

Exercice 6. (Trois normes classiques sur R^d)

Soitd∈N^∗. On d´efinit pourx= (x1, ..., xd)∈R^dles trois nombres suivants :

kxk₁ =

d

X

i=1

|x_i|, kxk₂= v u u t

d

X

i=1

x²_i, kxk∞= max

16i6d|x_i|.

1. Prouver quek·k₁,k·k₂etk·k_∞d´efinissent des normes surR^d. Dessiner les boules unit´es associ´ees `a ces trois normes dansR².

2. Prouver que pour toutx∈R^d,

kxk_∞6kxk₂6kxk₁ 6√

dkxk₂6dkxk_∞.

Exercice 7. (Les normes k · k_p sur R^d) Soitp un r´eel >1. Pourx∈R^d on pose

kxk_p =

d

X

i=1

|x_i|^p

!^1/p .

Le but de l’exercice est de montrer quek · k_p est une norme sur R^d, et que ses valeurs sont des fonctions d´ecroissantes dep.

1. Montrer que

∀s∈[0,+∞[, ∀t∈[0,+∞[, st6 1 ps^p+1

qt^q

o`uq est d´efini par ¹_p+¹_q = 1. (On pourra fixer tet ´etudier la fonction s7→st−¹_ps^p−¹_qt^q.)

2. Soient x = (x₁, ..., x_d) et y = (y₁, ..., y_d). On note α = kxk_p et β = kyk_q. Montrer que pour tout i∈ {1, ..., d} on a

|x_iy_i|

αβ 6 |x_i|^p

pα^p +|y_i|^q qβ^q

et en d´eduire l’in´egalit´e de H¨older :

|

d

X

i=1

xiyi|6kxk_pkyk_q.

2

3. En ´ecrivant que |x_i+y_i|^p6|x_i+y_i|^p−1|x_i|+|x_i+y_i|^p−1|y_i|, montrer quek · k_p v´erifie l’in´egalit´e triangulaire.

4. Montrer quek · k_p est une norme sur R^d.

5. Montrer que si r > p > 1, on a pour tout x ∈ R^d : kxk_r 6 kxk_p et que l’in´egalit´e est stricte sixa au moins deux composantes non nulles.

(On pourra se ramener au cas o`u kxk_p = 1 et utiliser le fait qu’alors

|x_i|61 pour tout i.)

Exercice 8. (Normes sur des fonctions)

SoitE l’espace vectoriel des fonctions continues de [0,1] dans R. On d´efinit, pourf ∈E,

kfk∞= sup

x∈[0,1]

|f(x)|, kfk₁ = Z 1

0

|f(t)|dt.

1. V´erifier quekfk_∞ etkfk₁ sont des r´eels bien d´efinis pour toutf ∈E.

2. V´erifier que k · k_∞ etk · k₁ sont des normes surE.

3. Montrer que :∀f ∈E,kfk₁ 6kfk_∞.

4. En utilisant la suite de fonctions f_n(x) =xⁿ, prouver que les normes k · k_∞ etk · k₁ ne sont pas ´equivalentes.

Exercice 9. Soit d ∈ N^∗. Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies ? (D´emonstration ou contre-exemple selon les cas.)

1. Toute suite divergente dans R^d est une somme de deux suites diver- gentes.

2. Toute suite convergente dansR^d est une somme de deux suites diver- gentes.

3. Si les suites (u_n) et (v_n) sont telles que (u_n+v_n) et (u_nv_n) convergent, alors (u_n) et (v_n) convergent.

Exercice 10. ( Topologie de R^d1×R^d2, l’espace produit )

Soient X=R^d1, Y =R^d2 et||.||₁,||.||₂ les normes (euclidiennes) correspon- dantes.

1. Expliquez pourquoiX×Y est un espace vectoriel. Explicitez les op´erations de l’espace (la somme de deux vecteurs, un vecteur fois scalaire).

2. Pourz= (x, y)∈X×Y, on consid`ere

||z||=||(x, y)||= max{||x||₁,||y||₂}, montrer que||.|| ainsi d´efinie est une norme.

3. Supposons A ⊂ X et B ⊂ Y. D´emontrer que A×B est un ouvert (ferm´e) si et seulement siA, B sont ouverts (ferm´es).

3

4. ^∗ Reprendre les questions 2, 3, pour

||z||=||(x, y)||=||x||₁+||y||₂. Exercice 11.

1. Les ensembles suivants sont-ils compacts B¯(a, r), B(a, r),

Π₁= [a, b]×[c, d] ={(x, y) :x∈[a, b], y∈[c, d]}, Π2= [a, b]×]c, d[={(x, y) :x∈[a, b], y∈]c, d[}?

2. Soit (xⁿ) une suite convergente dans R^d, de limite x. Soit A = {xⁿ : n∈N}. Montrer que A∪ {x}est compact.

4