Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2012-2013
D. Blotti`ere Maple
TP n˚4
G´ eom´ etrie ´ el´ ementaire dans l’espace
Table des mati` eres
1 Repr´esentation d’un vecteur de l’espace en Maple 2
2 Op´erations sur les vecteurs de l’espace (constructions de proc´edures) 2
2.1 Addition et multiplication par un scalaire . . . 2
2.2 Produit scalaire . . . 3
2.3 Norme . . . 3
2.4 Produit vectoriel . . . 3
2.5 D´eterminant . . . 4
3 La biblioth`eque linalg et les op´erations pr´ed´efinies sur les vecteurs 4 4 Equations (ou syst`´ emes) lin´eaires 5 4.1 Membre de gauche et membre de droite d’une ´equation . . . 5
4.2 Rappel sur la substitution de variables dans une expression . . . 5
4.3 R´esolution d’´equations (ou de syst`emes) lin´eaires . . . 6
5 Appartenance d’un point `a un plan 6
6 Projection orthogonale d’un point sur une droite dans l’espace 7 7 Perpendiculaire commune `a deux droites non parall`eles 7
Convention :On fixe un rep`ere orthonorm´e direct (O;~i,~j, ~k) de l’espace. On identifie :
• tout vecteur de l’espace avec ses coordonn´ees dans la base (~i,~j, ~k) ;
• tout point de l’espace avec ses coordonn´ees dans le rep`ere (O;~i,~j, ~k).
1 Repr´ esentation d’un vecteur de l’espace en Maple
Il existe plusieurs mani`eres de d´efinir un vecteur de l’espace en Maple :
• `a l’aide d’une liste (les coordonn´ees sont ´ecrites entre crochets), comme par exemple : u_list:=[2,-3,9] ;
• `a l’aide de la fonctionvectorde Maple, comme par exemple : u_vector:= vector([2,-3,9]) ; Exercice 1
1. Saisir le code suivant.
u_list:=[2,-3,9] ;
u_vector:= vector([2,-3,9]) ;
2. D´eterminer les types (cf. fonctionwhattypede Maple) des variables u_listetu_vector.
Dans ce TP, nous privil´egierons la deuxi`eme repr´esentation (via la fonctionvectorde Maple donc) car nombre de commandes Maple permettant d’op´erer sur les vecteurs n´ecessitent ce format. Toutefois, on peut assez sim- plement passer d’une repr´esentation `a une autre, comme nous le verrons plus tard (cf. partie 3 et la commande detde Maple).
Si ud´esigne un vecteur de l’espace en Maple, on peut avoir acc`es `a ses coordonn´ees (abscisse, ordonn´ee, cote).
En effet :
u[1]contient la valeur de l’abscisse de u; u[2]contient la valeur de l’ordonn´ees de u; u[3]contient la valeur de la cote de u.
Exercice 2
1. Saisir le code suivant.
u1 := vector([2,-5,7]) ; u2 := vector([-1,2,3] );
u3 := vector([0,-1,13]) ;
u1[1] * u2[1] + u1[2] * u2[2] + u1[3] * u2[3] ; 2. Commenter.
2 Op´ erations sur les vecteurs de l’espace (constructions de proc´ edures)
2.1 Addition et multiplication par un scalaire
Siuet vd´esignent deux vecteurs en Maple, alors leur somme se calcule comme suit.
evalm(u+v) ;
Siud´esigne un vecteur en Maple et siaest une constante r´eelle, alors le vecteura.use calcule comme suit.
evalm(a*u) ;
Remarque 1
Dans les deux lignes de commandes pr´ec´edentes, la fonction evalmde Maple permet d’´evaluer (i.e. de faire le calcul). La derni`ere lettremmarque le fait que l’on travaille avec des matrices (i.e. des tableaux de nombres).
Exercice 3
Calculer la combinaison lin´eaire
13 u1- 8u2 des vecteursu1 etu2`a l’aide de Maple.
2.2 Produit scalaire
Exercice 4
1. Rappeler l’expression du produit scalaire de deux vecteurs de l’espace dans une base orthonorm´ee.
2. ´Ecrire une proc´edure nomm´eemy_innerprod, d’argumentsuetvo`u :
• uetvsont deux vecteurs de l’espace qui renvoie :
• le produit scalaire des vecteursuet v.
3. Tester la proc´eduremy_innerproden l’appelant pour calculer le produit scalaire deu1et u2.
2.3 Norme
Exercice 5
1. Rappeler l’expression de la norme d’un vecteur dans une base orthonorm´ee.
2. ´Ecrire une proc´edure nomm´eemy_norm, d’argumentu o`u :
• uest un vecteur de l’espace qui renvoie :
• la norme du vecteuru.
N.B. : On pourra, au sein de la proc´edure my_norm, appeler la proc´edure my_innerprod.
3. Tester la proc´eduremy_norm en l’appelant pour calculer la norme deu1.
2.4 Produit vectoriel
Exercice 6
1. Rappeler l’expression des coordonn´ees du produit vectoriel de deux vecteurs de l’espace dans une base orthonorm´ee directe.
2. ´Ecrire une proc´edure nomm´eemy_crossprod, d’argumentsuetvo`u :
• uetvsont deux vecteurs de l’espace qui renvoie :
• le produit vectoriel du vecteurupar le vecteur v.
3. Tester la proc´eduremy_crossproden l’appelant pour calculer le produit vectoriel deu1paru2.
2.5 D´ eterminant
Exercice 7
1. Rappeler la d´efinition du d´eterminant (ou produit mixte) de trois vecteurs de l’espace.
2. ´Ecrire une proc´edure nomm´eemy_det, d’arguments u,v etwo`u :
• u,vet wsont trois vecteurs de l’espace qui renvoie :
• le d´eterminant du triplet de vecteurs (u,v,w).
N.B. : On pourra, au sein de la proc´edure my_det, appeler les proc´eduremy_innerprodetmy_crossprod.
3. Tester la proc´eduremy_det en l’appelant pour calculer le d´eterminant du triplet (u1,u2,u3).
4. Commenter.
3 La biblioth` eque linalg et les op´ erations pr´ ed´ efinies sur les vecteurs
Il existe d´ej`a dans Maple des fonctions permettant d’op´erer sur les vecteurs. Celles-ci sont rassembl´ees dans la biblioth`equelinalg (pour linearalgebra ou alg`ebre lin´eaire en fran¸cais). Pour charger cette biblioth`eque, saisir le code suivant.
with(linalg) ;
On voit alors s’afficher la liste des fonctions Maple contenues dans la biblioth`eque linalg. On remarque en par- ticulier quatre fonctions particuli`eres :
innerprod ; norm ; crossprod ; det.
Ci-dessous, on pr´esente chacune de ces quatre fonctions (dans les exemples d’appels, u, v, wrepr´esentent des vecteurs de l’espace.)
Fonctions Maple Descriptifs Exemples d’appels
innerprod calcule le produit scalaire de deux vecteurs innerprod(u,v) ;
norm calcule la norme (euclidienne) d’un vecteur norm(u,2) ;
crossprod calcule le produit vectoriel de deux vecteurs de l’espace crossprod(u,v) ;
Le commande det, quant `a elle, permet de calculer le d´eterminant de trois vecteurs de l’espace, mais pas d’une mani`ere directe, compte tenu de la repr´esentation des vecteurs en Maple choisie ici (cf. d´ebut de la partie 1).
ll faut utiliser une conversion de type, pour passer `a des listes (cf. fonction convert de Maple) et ´egalement construire un tableau ou une matrice (cf. crochets). Voici un exemple d’utilisation.
det ( [ convert ( u , list ) , convert ( v , list ) , convert ( w , list ) ] ) ;
Exercice 8
On se propose ici de v´erifier les proc´eduresmy_innerprod,my_norm,my_crossprod,my_detconstruites pr´ec´edemment.
Saisir le code suivant.
my_innerprod(u1,u2) ; innerprod(u1,u2) ; my_norm(u1) ; norm(u1,2) ;
my_crossprod(u1,u2) ; crossprod(u1,u2) ;
my_det(u1,u2,u3) ; det([convert(u1,list),convert(u2,list),convert(u3,list)]) ;
N.B. D´esormais, on utilisera les commandes Maple rassembl´ees dans la biblioth`equelinalg pour op´erer sur les vecteurs et plus les versions≪my_≫construites auparavant.
4 Equations (ou syst` ´ emes) lin´ eaires
4.1 Membre de gauche et membre de droite d’une ´ equation
Si (E) d´esigne une ´equation formelllement repr´esent´ee par :
membre de gauche = membre de droite
alors on peut pr´elever les membres de gauche et de droite de cette ´equation, grˆace aux commandeslhsetrhs.
Commande Origine du nom Description
lhs pourlefthandside donne le membre de gauche de l’´equation
rhs pourrighthandside donne le membre de droite de l’´equation
Exercice 9
1. Saisir le code suivant.
E1 := 3 * x - 4 * y + 7 * z - 12 = 0 ; 2. Pr´elever le membre de gauche de l’´equationE1.
3. Pr´elever le membre de droite de l’´equationE1.
4.2 Rappel sur la substitution de variables dans une expression
N.B. On rappelle que la commande subs permet d’effectuer des substitutions dans une expression contenant des variables.
Exercice 10
1. Saisir le code suivant
expr := 3 * x - 4 * y + 7 * z - 12 ; subs( x = x1 , expr ) ;
subs( { x = x1 , z = t } , expr ) ;
subs( {x = 1 , y = 0 , z = - 2 } , expr ) ;
subs( {x = 1 + t , y = t , z = - 2 + t } , expr ) ; et commenter ligne `a ligne.
2. SoitM(a, a, a)o`uaest une constante r´eelle. En utilisant la variableE1et les commandes lhsetsubsde Maple donner une CNS sur la constanteapour que le pointM appartienne au plan d’´equation cart´esienne E1.
4.3 R´ esolution d’´ equations (ou de syst` emes) lin´ eaires
Il existe plusieurs commandes Maple permettant de r´esoudre des ´equations (ou des syst`emes). Le choix de la commande (la plus) adapt´ee pour la r´esolution est guid´e par le type d’´equations (´equation num´erique, ´equations lin´eaires, ´equations diff´erentielles,...). Dans ce TP, nous ne consid´ererons que des ´equations lin´eaires. Il existe (au moins) trois commandes pour r´esoudre de telles ´equations.
kernel •r´eserv´ee aux ´equations lin´eaires qui sont de plus homog`enes
•li´ee `a la repr´esentation matricielle d’un syst`eme lin´eaire
linsolve •bien adapt´ee aux ´equations lin´eaires
•li´ee `a la repr´esentation matricielle d’un syst`eme lin´eaire
solve permettant ´egalement de r´esoudre d’autres types d’´equations num´eriques.
Compte tenu de notre m´econnaissance des matrices, nous utiliserons, pour le moment, la commande solve.
Mais une fois la notion de matrice connue, il est pr´ef´erable d’utiliser la commandelinsolve.
Exercice 11
1. Saisir le code suivant.
E2 := 11* x - 57 * y + 102 * z - 44 = 0 ;
2. Utiliser la commandesolvepour r´esoudre le syst`eme lin´eaire form´e par les deux ´equationsE1etE2.
3. Interpr´eter g´eom´etriquement le r´esultat obtenu, avec toute la pr´ecision requise.
5 Appartenance d’un point ` a un plan
Exercice 12
Soit P1 le plan d’´equation cart´esienne
20x−11y+ 103z+ 15 = 0.
1. ´Ecrire une proc´edure nomm´eebelong, d’argument Mo`u :
• Mest un point de l’espace qui est repr´esent´e par son vecteur de coordonn´ees en Maple (l’abscisse de M s’obtient donc grˆace `aM[1], son ordonn´ee grˆace `aM[2]et sa cote grˆace `aM[3])
qui renvoie :
• 1 si le pointM appartient au plan P1 et 0 sinon.
2. Saisir le code :
puis appeler la proc´edurebelong pour tester l’appartenance des pointsM1et M2au plan P1.
Exercice 13
Soient les pointsA(1,11,12),B(2,4,12)etC(2,9,27).
1. Justifier que le plan(ABC)est bien d´efini.
2. Donner une ´equation cart´esienne du plan(ABC).
3. Donner une ´equation cart´esienne normalis´ee du plan(ABC).
6 Projection orthogonale d’un point sur une droite dans l’espace
Exercice 14 (Oral ENSAM)
On se donne la droiteDd’´equation cart´esienne :
x + 2y − 5z − 1 = 0
10x − 7y + 3z + 2 = 0
et le pointA(1,2,3).
1. Justifier queDest une ´equation cart´esienne de droite.
2. Calculer les coordonn´ees du projet´e orthogonal deAsur la droite D. 3. Calculer la distance deA `a la droiteD.
7 Perpendiculaire commune ` a deux droites non parall` eles
Exercice 15
On consid`ere les syst`emes d’´equations :
(S1) :
x+z= 2
y+ 1 = 0 et (S2) :
y−z+ 1 = 0 x+y= 0 1. V´erifier que les syst`emes(S1)et(S2)sont des ´equations cart´esiennes de droites.
2. SoientD1 (resp.D2) la droite d’´equation cart´esienne (S1) (resp.(S2)). D´emontrer que les droitesD1 et D2 ne sont pas parall`eles.
3. D´eterminer la perpendiculaire commune aux droitesD1 et D2.
