Op´ erations sur les nombres relatifs en
´ ecriture fractionnaire
1. Fractions ´egales
Si on multiplie ou si on divise le num´ erateur et le d´ enominateur d’une fraction par le mˆ eme nombre non nul, on obtient une fraction ´ egale.
Avec k et b sont non nuls, on a :
a
b “ aˆk bˆk et a b “ a:k b:k
Exemples :
3
7 “ 3ˆ5 7ˆ5 “ 15 35 100 25 “ 100:25 25:25 “ 1 4
2. Addition de deux fractions
Pour additionner deux fractions, il faut si besoin remplacer les fractions par des fractions ´ egales pour que les deux termes aient le mˆ eme d´ enominateur.
On dit qu’on r´ eduit au mˆ eme d´ enominateur.
Le r´ esultat est une fraction dont le d´ enominateur est le d´ enominateur des deux fractions, et le num´ erateur la somme des num´ erateurs.
a c ` b
c “ a`b
c
Exemples : A “ 1 7 ` 35 3
Comme 7 ˆ 5 “ 35, on peut r´ eduire les deux fractions au d´ enominateur 35. On transforme la fraction 1 7 en multipliant le num´ erateur et le d´ enominateur par 5, soit 1 7 “ 5
35 et on ne change pas la deuxi` eme fraction.
A “ 1
7 ` 3
35 “ 5
35 ` 3
35 “ 5`3
35 “ 8
35
B “ 3
4 ` 2
9
On cherche un commun multiple ` a 4 et 9, le plus petit est le produit des d´ enominateurs 4 ˆ 9 “ 36 B “ 3ˆ9 4ˆ9 ` 2ˆ4 9ˆ4 “ 27 36 ` 36 8 “ 27`8 36 “ 35 36
C “ 2 ` 3 5
Si un terme est un nombre entier, le transformer en fraction, ici 2 “ 10 5 , d’o` u C “ 10`3 5 “ 13 5
3. Soustraction de deux fractions
Fiche issue de http://www.ilemaths.net 1
Comme pour l’addition, il faut le mˆ eme d´ enominateur pour effectuer la soustraction. La diff´ erence de deux fractions de mˆ eme d´ enominateur a pour num´ erateur la diff´ erence des num´ erateurs :
a c ´ b
c “ a´b
c
Exemples : A “ 12 7 ´ 15 2
On r´ eduit au mˆ eme d´ enominateur : 12 “ 3 ˆ 4 et 15 “ 3 ˆ 5, on choisit 3 ˆ 4 ˆ 5 “ 60
7ˆ5 12ˆ5 ´ 2ˆ4
15ˆ4 “ 35
60 ´ 8
60 “ 27
60
On remarque que 27 et 60 sont divisibles par 3, on peut simplifier le r´ esultat : A “ 27
60 “ 27:3
60:3 “ 9
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4. Multiplication de deux fractions
Le produit de deux fractions est une fraction dont le num´ erateur est le produit des num´ erateurs, et le d´ enominateur le produit des d´ enominateurs.
Avec b et d non nuls, on a :
a
b ˆ d c “ aˆc bˆd
Avant d’effectuer les multiplications, pensez ` a v´ erifier si on peut simplifier ! Exemples :
A “ 4 7 ˆ 35 12 “ 4ˆ35 7ˆ12 “ 4ˆ5ˆ7 7ˆ3ˆ4
On peut simplifier par 4 et 7 : A “ 5 3
S’il y a des nombres n´ egatifs, appliquer la r` egle des signes : un nombre pair de signes - dans un produit donne +
un nombre impair de signes - dans un produit donne -
Exemples : B “ ´ 3 5 ˆ ´10 9 “ ` 3ˆ10 5ˆ9 “ 2 3
5. Quotient de deux fractions
a) Inverse d’un nombre diff´erent de 0
Fiche issue de http://www.ilemaths.net 2
Deux nombres sont inverses si leur produit est ´ egal ` a 1.
0 n’a pas d’inverse, aucun nombre n’a 0 pour inverse.
L’inverse de a non nul se note 1 a
Si a et b sont diff´ erents de 0, l’inverse de la fraction a b est la fraction b a
b) Quotient
Diviser par un nombre revient ` a multiplier par son inverse.
Avec b, c et d non nuls on a :
a b : d c “
a b c d