L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1−2010-2011
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚6
Bijection r´ eciproque, Op´ erations sur les fonctions et Polynˆ omes
Exercice 77 : Soient I et J deux parties non vides deRet soitf:I → J une application. On introduit les applications identit´es deI etJ :
IdI: I→I , x7→x et IdJ: J →J , x7→x.
1. Montrer que sif est bijective,f−1:J →I est bijective et (f−1)−1=f.
2. Montrer que :
f bijective =⇒ ∃g:J →Itelle que g◦f= IdI etf ◦g= IdJ. 3. ´Etablir la r´eciproque de l’implication de 2..
Exercice 78 Soitf: [0; +∞[→[1; +∞[, x7→x2+ 1.
1. Montrer quef est bijective.
2. Tracer la courbe repr´esentative de la fonction≪carr´e≫(d´efinie surRparx7→x2).
3. En d´eduire la courbe repr´esentative def, puis celle def−1.
On prendra garde, comme toujours, aux ensembles de d´efinition des diverses fonctions.
Exercice 79 : On consid`ere les fonctions
u:R→R, x7→2x+ 3 et v:R→R, x7→x2−x.
1. Soitf =u+v. Calculerf(x) pour toutx∈R. 2. Soitg= 2u−3v. Calculerg(x) pour tout x∈R. 3. Soith=uv. Calculerh(x) pour toutx∈R.
Exercice 80 : Dans chacun des cas suivants, ´ecrire la somme des fonctions u et v comme produit de deux fonctions affines.
1. u:R→R, x7→x2+ 2x−1 etv: R→R, x7→3x+ 1 ; 2. u:R→R, x7→(x+ 1)2 etv:R→R, x7→4x+ 4 ; 3. u:R→R, x7→x2−1 etv:R→R, x7→4x+ 5.
Exercice 81 : Dans chacun des cas suivants, ´ecrire la diff´erence des fonctionsuet v comme produit de deux fonctions affines.
1. u:R→R, x7→(2x+ 3)2et v:R→R, x7→(x−1)2; 2. u:R→R, x7→(3x+ 2)2et v:R→R, x7→3x+ 2 ; 3. u:R→R, x7→(2x+ 1)2et v:R→R, x7→ −4x−2.
Exercice 82 : Ecrire la fonction :´
f: ]−1; +∞[→R, x7→x2+ 1
x2+ 3 −3x−1 x+ 1
1
comme quotient de deux fonctions, l’une polynomiale de degr´e 5, l’autre polynomiale de degr´e 3.
Exercice 83 : Soitf la fonction d´efinie sur ]0,+∞[ par :
∀x∈]0,+∞[ f(x) = 2x2+ 1 x . 1. Montrer que : ∀x∈]0,+∞[ f(x) = 2x+1
x. 2. Tracer les repr´esentations graphiques des fonctions
u: ]0,+∞[→R, x7→2x et v: ]0,+∞[→R, x7→ 1 x. 3. En d´eduire la construction point par point de la repr´esentation graphique def.
Exercice 84 : Dans chacun des cas suivants, d´eterminer le degr´e du polynˆomeP ainsi que ses coefficients.
1. P = (2X2−1)(X−3X2) ; 2. P = (X+ 2)3−X2(X+ 6) ; 3. P = (X4−3)2−(X4+ 3)3; 4. P = (1−3X2)n o`un∈N∗.
Exercice 85 : Soientf etg les fonctions d´efinies sur Rpar
f(x) =x−2 et g(x) =x3+ 2x2+ 4x+ 8, pour toutx∈R.
D´eterminer le degr´e et les coefficients du polynˆomeg◦f.
Exercice 86
1. V´erifier quea= 2 est racine deP =X3+ 5X2−X−26 et factoriserP par (X−a).
2. V´erifier que a = √ 3 +√
2 et b = √ 3−√
2 sont racines de P = X4 −10X2+ 1 et factoriser P par (X−a)(X−b).
3. V´erifier quea= 2 etb=−3 sont racines deP =X4+X3−5X2+X−6 et factoriserP par (X−a)(X−b).
Exercice 87 : D´eterminer tous les polynˆomesP de degr´e 3 ayant comme racines 5, 6 et 7.
Exercice 88 : Factoriser le polynˆomeP = 6X3−13X2−41X−12, apr`es avoir remarqu´e que 4 et−3 2 sont racines.
Exercice 89
1. D´eterminer le degr´e et les coefficients du polynˆomeP = (X4+ 1)(X8−X4+ 1).
2. Le nombre 1 000 000 000 001 est-il premier ?
Exercice 90 : Le plan est muni d’un rep`ere orthonorm´e (O;−→i ,−→j). D´eterminer l’unique polynˆomef de degr´e 3 dont la courbe repr´esentative sur l’intervalle [−1; 3] est donn´ee ci-dessous.
2
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3
−1
Exercice 91 : SoitP le polynˆome 2X3+ 5X2−2X−5. D´eterminer les racines r´eelles deP. Indication : On pourra commencer par remarquer queP admet une racine ≪´evidente≫.
Exercice 92
1. Montrer qu’il existe un unique triplet (a, b, c)∈R3tel que :
∀x∈R 3x2−x
x2+ 1 =a+bx+c x2+ 1. 2. Montrer qu’il existe un unique triplet (a, b, c)∈R3tel que :
∀x∈R\ {3} x2+x+ 1
x−3 =ax+b+ c x−3.
⋆ Exercice 93
1. (a) D´eterminer un polynˆomeP de degr´e 4 v´erifiant :
∀x∈R P(x+ 1)−P(x) =x3.
(b) En d´eduire la valeur de la somme
1999X
k=1
k3.
2. S’inspirer de ce qui pr´ec`ede pour calculer la somme
1999X
k=1
k4.
Exercice 94 : Soitsetpdeux r´eels tels que le polynˆomeX2−sX+padmette deux racines r´eelles distinctes x1 et x2.
1. Exprimersetpen fonction dex1et x2. 2. `A quoi fait penser ce r´esultat ?
⋆ Exercice 95 : Soient a, b, ctrois r´eels deux `a deux distincts. Soit P =(X−a)(X−b)
(c−a)(c−b) +(X−b)(X−c)
(a−b)(a−c) +(X−a)(X−c) (b−a)(b−c) . Montrer, sans d´evelopperP, queP = 1.
⋆ Exercice 96 : Soient a, b, c∈R tels que le polynˆomeP =X3+aX2+bX+c admette trois racines r´eelles non nullesx1, x2 etx3deux `a deux distinctes.
1. Exprimera,bet cen fonction de x1,x2 et x3. 2. En d´eduire une expression de 1
x1
+ 1 x2
+ 1 x3
en fonction de a,bet c.
3
