L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2011-2012
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚3
D´ erivabilit´ e d’une bijection r´ eciproque
Exercice 43 : Soit n un nombre entier sup´erieur ou ´egal `a 2. On introduit la fonction puissance n-i`eme f d´efinie par :
f: [0,+∞[→R; x7→xn.
1. (a) Montrer que la fonctionf r´ealise une bijection de [0,+∞[ sur [0,+∞[. On note f−1: [0,+∞[→[0,+∞[
la bijection r´eciproque et on pose pour touty∈[0,+∞[ :
n√
y=f−1(y).
(b) D´emontrer, en revenant `a la d´efinition def−1, que :
∀y1∈[0,+∞[ ∀y2∈[0,+∞[ n√
y1y2= n√ y1 n√
y2. 2. (a) Donner le sens de variation def−1sur [0,+∞[.
(b) D´emontrer que :
∀A >0 ∃α >0 ∀y∈[0,+∞[ y≥α=⇒ n√ y≥A.
(c) Que peut-on d´eduire de la question pr´ec´edente quant `a la fonctionf−1? 3. (a) D´eterminer le domaine de d´erivabilit´eD0f−1 de la fonction f−1.
(b) D´emontrer :
∀y∈ D0f−1 (f−1)0(y) = 1 n(n√
y)n−1.
4. Justifier que la courbe repr´esentative def−1dans un rep`ere orthonorm´e du plan admet une demi-tangente verticale au point d’abscisse 0.
5. On rappelle que pour tout α∈R, pour touty∈]0,+∞[,yα est par d´efinition le nombre d´efini par : yα=eαln(y).
(a) D´emontrer, en revenant `a la d´efinition def−1, que :
∀y∈]0,+∞[ n√
y=y1n.
(b) Retrouver alors les r´esultats obtenus en 1.(b), 2.(c) et 3.(b) `a partir de la question pr´ec´edente.
Exercice 44 : Soitf la fonction d´efinie par :
f: R→R; x7→ −x5−x.
1. Montrer quef est une bijection deRsurR. 2. Montrer quef−1est impaire.
3. Montrer que :
∀y∈R (f−1(y))5+f−1(y) +y= 0.
4. D´eterminer le domaine de d´erivabilit´eD0f−1 de la fonction f−1. 5. Calculer (f−1)0(y) pour touty∈ D0f−1 de deux mani`eres :
• en utilisant le th´eor`eme de d´erivation des fonctions r´eciproques ;
• en d´erivant la relation obtenue en 3.
6. (a) Montrer quef−1admet une limite finie ou infinie en +∞.
(b) D´eduire de ce r´esultat et de la relation obtenue en 3 que f−1(y) tend vers −∞ quand y tend vers +∞.
1
Exercice 45
1. Calculer arcsin sinπ
4
, arcsin
sin 7π
4
, arcsin
sin
−11π 6
. 2. Calculer arcsin(sin(x)) pour tout x∈R.
F Exercice 46
1. (a) Rappeler le domaine de d´efinitionDtan de la fonction tangente.
(b) Soienta, b∈ Dtan tels que a+b∈ Dtan.Montrer que :
tan(a+b) = tan(a) + tan(b) 1−tan(a) tan(b). 2. Calculer arctan(0) et arctan
1
√3
. En d´eduire que :
0<arctan 1
5
< π
6 et 0<arctan 1
239
< π 6. 3. D´emontrer que :
4 arctan 1
5
−arctan 1
239
= π
4 (Formule de John Machin).
On pourra utiliser lapropri´et´e d’´egalit´e des tangentes:
∀a∈ Dtan ∀b∈ Dtan tan(a) = tan(b)⇐⇒ ∃k∈Z a=b+kπ.
Exercice 47 : Soitf la fonction d´efinie par :
f:x7→arcsin(p
1−x2).
1. Donner le domaine de d´efinitionDf def. 2. D´emontrer quef est continue surDf. 3. Donner le domaine de d´erivabilit´eD0f def. 4. Calculerf0(x) pour toutx∈ D0f.
5. Comparerf(x) et arccos(x) pour toutx∈ Df.
Exercice 48 : Soitf la fonction d´efinie par :
f:x7→arctan 2x
1−x2
. 1. Donner le domaine de d´efinitionDf def.
2. D´emontrer quef est continue surDf. 3. ´Etudier la parit´e def.
4. ´Etudier les limites def aux bornes de Df. Donner des cons´equences graphiques de cette ´etude.
5. Donner le domaine de d´erivabilit´eD0f def. 6. Calculerf0(x) pour toutx∈ D0f.
7. Donner un lien entref(x) et arctan(x) pour toutx∈ Df. 8. ´Etudier les variations de f surDf.
9. Repr´esenter graphiquement la fonctionf.
Exercice 49 : D´eterminer deux r´eelsaetb tels que :
∀x∈R\ {−2} x2+ 2x+ 5
x3+ 2x2+x+ 2 = a
1 +x2+ b 2 +x et en d´eduire la valeur de
Z 1
0
x2+ 2x+ 5 x3+ 2x2+x+ 2 dx.
2
