Universit´e Claude Bernard Lyon 1 CAPES de math
Ann´ee 2016-2017
Pr´ep. ´ecrit Analyse et proba – Fiche R` aN 1
Exercice 1.VRAI ou FAUX ? Justifier !
1. Pour tout couple (x, y)∈[−2,−1]×[2,4], on a xy≥ −4.
2. Pour tout couple (x, y)∈[0,1]×[0,2], on a −10≤x2−x∗y−2∗y2. 3. Pour tout couple (x, y)∈[−2,7]×[−4,1], on a −28≤xy≤8.
4. Pour tout couple (x, y)∈([−3,−2]∪[3,4])×([−4,−1]∪[1,2]), on a −12≤xy≤8.
5. Soienta, b, c, dquatre r´eels. Sia+b ≤c+deta ≤calors b≤d. Sia≤b etc≤d alorsac≤bd Exercice 2.D´eterminer l’ensemble des r´eels x qui v´erifient :
1. √ x=x 2. x≤x2 3. √
1 +x= 1−x 4. 1
2−x ≤ 1−x 3x+ 2 Exercice 3.
1. Montrer que, pour tout t r´eel, t2−6t+ 10 est non nul.
2. En d´eduire que, pour tout r´eel x,
−x6+ 6x3+ 3x2+ 6x−1
x6 −6x3+ 10 ≥ −1 + 6 x6−6x3+ 10 Exercice 4.
1. Montrer que, pour tout (x, y)∈R2, on a |xy| ≤ 12(x2+y2).
2. En d´eduire que, pour toutλ >0 et tout (x, y)∈R2, on a |xy| ≤ 12(λx2+λ1y2) 3. Montrer que, pour tout n∈N∗ et tout (x1, . . . , xn, y1, . . . , yn)∈R2n, on a
n
X
k=1
xkyk
≤ v u u t
n
X
k=1
x2k v u u t
n
X
k=1
yk2.
Exercice 5.Soit (un)n≥0 une suite r´eelle. D´emontrer les assertions suivantes ou en donner un contre- exemple :
— Si (un) est croissante, alors elle converge.
— Si (un) est une suite positive et convergente, de limite 0, alors (un) est d´ecroissante `a partir d’un certain rang.
— Si (un) est une suite convergente alors les suites (un+1−un) et (u2n−un) sont convergentes.
— Si la suite (un+1−un) est convergente, alors la suite (un) est convergente.
Exercice 6.
1. Pour tout >0, expliciter un entiern0 tel que, pour tout n ≥n0, on ait :
2n+ 1 n+ 1 −2
≤
2. Pour tout >0, expliciter un entiern1 tel que, pour tout n ≥n1, on ait :
|(1 +e−n)−1| ≤
3. Pour tout >0, expliciter un entiern2 tel que, pour tout n ≥n2, on ait :
(1 +e−n)2n+ 1 n+ 1 −2
≤
Exercice 7.
1. D´eterminer deux r´eels a et b tels que, pour tout entier n≥1, 1
n(n+ 1) = a n + b
n+ 1.
2. En d´eduire une expression des sommes partielles de la s´erie de terme g´en´eral (1/(n(n+ 1))n≥1, puis la somme de la s´erie.
Exercice 8.Pour tout r´eel q et tout entier n, calculer (1−q)
n
X
k=0
qk
et en d´eduire la valeur de Pn k=0qk.
Etudier ´´ egalement la convergence de la s´erie de terme g´en´eral (qn).
Exercice 9.Etudier la convergence des suites suivantes :´ n2+ne−n
√2n4+ 6n3+ 3
√
n2+ 1−√
n2−1
r n+
q n+√
n−√ n
!
2 + sinn 2√
n+ 3
(nsin(1/n)) Exercice 10.
1. In´egalit´e de Bernoulli. Montrer par r´ecurrence sur n≥0 que, pour tout x≥ −1, on a : (1 +x)n≥1 +nx
2. En d´eduire le comportement asymptotique des suites (an)n≥1, lorsque a est un r´eel fix´e.
Exercice 11.VRAI / FAUX
1. Toute fonction continue est d´erivable.
2. Toute fonction d´erivable est continue.
3. Toute fonction d´eveloppable en s´erie enti`ere est de classe C∞ sur son disque (ouvert ? ferm´e ?) de convergence.
4. Toute fonction continue est int´egrable.
5. Toute fonction d´erivable est int´egrable.
Exercice 12.Donner les ensembles de d´efinition et d´eriver les fonctions suivantes : f :x7→tanx g :x7→sin2x + sin(x2) h:x7→ln|sinx| ψ :x7→2x Faites de mˆeme pour les fonctions arctan, arcsin, arccos, sh, ch et th.
Exercice 13. D´eterminer en quels points les fonctions ci-dessous sont d´erivables, expliciter leur d´eriv´ee et ´etudier leurs variations.
x7→ln(ln(x)) x7→(x4+x2)1/4 x7→x2sin1
x x7→
√x2+ 1−2
√x2+ 1 + 2 2
Exercice 14.On consid`ere la fonction f d´efinie sur [0,1] parf(x) =√
1−x2.
1. ´Etudier la continuit´e def, ses variations et sa d´erivabilit´e. Tracer sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.
2. D´eterminer sans faire de calcul, puis en effectuant le changement de variablex= sinθ, la valeur de l’int´egraleI
I = Z 1
0
f(x)dx 3. On note (un)n≥1 la suite d´efinie pour tout n≥1 par :
un = 1 n
n
X
k=1
r 1− k2
n2
Justifier que, pour toutn ≥1, un≤I ≤un+ 1/n.
En d´eduire la convergence et la valeur de la limite de (un)n≥1.
Exercice 15.Donner les ensembles de d´efinition et expliciter une primitive des fonctions suivantes : f :x7→ 1 +x
1−x g :x7→ 1 +x
1−x2 h:x7→ 1 +x 1 + 4x2
k :x7→ |x| (IP P) φ:x7→ln(1 +x2) ψ :x7→sinx×ln(1 + cos2x) Exercice 16.Montrer que les limites existent et d´eterminer leurs valeurs :
x→0lim
excosx−1
x lim
x→0
cos(1 +x)−cos(1−x) x
Exercice 17.D´eterminer, si elles existent, les valeurs des maxima et/ou des minima des ensembles suivants :
A=
1 +x 1 +x2
x∈R
B =
x4−2x2 x∈R C =
10x−x2
x∈[3,10] D=
x2 +y2
(x, y)∈R2, xy = 1
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