Courbe repr´ esentative d’une fonction

Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014

D. Blotti`ere Math´ematiques

Feuille d’exercices n˚9

Courbe repr´ esentative d’une fonction

Notations et rappels

• On note P le plan usuel et on fixe un rep`ere orthonorm´e (O;−→i ,−→j) du plan P.

• Si−→u est un vecteur du planP, alors il existe un unique couple de nombres r´eels (α, β), appel´e coordonn´ees de−→u dans la base (−→i ,−→j), tel que −→u =α−→i +β−→j .

• Si M est un point du planP, alors il existe un unique couple de nombres r´eels (x, y), appel´e coordonn´ees de M dans le rep`ere (O;−→i ,−→j), tel que −−→OM =x−→i +y−→j. Les coordonn´ees du pointM dans le rep`ere (O;−→i ,−→j) sont donc les coordonn´ees du vecteur−−→OM dans la base (−→i ,−→j).

Exercice 77 (Translations du plan P)

1. Soit−→u un vecteur du plan de coordonn´ees (α, β) dans la base (−→i ,−→j). On note

τ^−→_u: P → P

M 7→ l’unique pointM^′ du planP tel que−−−→

M M^′=−→u

la translation du plan P de vecteur−→u. SoitM un point du plan P de coordonn´ees (x, y) dans le rep`ere (O;−→i ,−→j). On noteM^′ le pointτ^−→_u(M) et (x^′, y^′) les coordonn´ees deM^′. Exprimer (x^′, y^′) en fonction de (x, y).

2. SoitC la courbe repr´esentative de la fonctionx7→x². (a) Repr´esenter graphiquementC.

(b) Repr´esenter graphiquement l’image deC parτ₃^−→_j. (c) Repr´esenter graphiquement l’image deC parτ₋₂^−→_i.

Exercice 78 (Courbe repr´esentative dex7→f(x) +a, o`uf est une fonction et a∈R) 1. Soitx7→f(x) une fonction et soita∈R. On introduit la fonctionx7→g(x) :=f(x) +a.

(a) Exprimer le domaine de d´efinition deg en fonction de celui def. (b) D´emontrer queC^g est l’image deC^f par la translationτ_a^−→_j.

2. Tracer la courbe repr´esentative de la fonction x 7→ ln(x), puis la courbe repr´esentative de la fonction x7→ln(x) + 3.

Exercice 79 (Courbe repr´esentative dex7→f(x+a), o`uf est une fonction et a∈R) 1. Soitx7→f(x) une fonction et soita∈R. On introduit la fonctionx7→g(x) :=f(x+a).

(a) Exprimer le domaine de d´efinition deg en fonction de celui def. (b) D´emontrer queC^g est l’image deC^f par la translationτ_−a^−→_i.

2. Tracer la courbe repr´esentative de la fonction x 7→ √x, puis la courbe repr´esentative de la fonction x7→√

x−5.

Exercice 80 (Quelques affinit´es du plan P)

1. Soita∈R^∗. L’affinit´e orhogonale d’axe (Ox) et de rapportaest l’applicationA(Ox),ad´efinie par :

A(Ox),a: P → P

M(x, y) 7→ le pointM^′(x^′, y^′) tel quex=x^′ et y^′=ay

(a) Repr´esenter l’image du cercle Ω(2,2) et de rayon 1 par l’affinit´e orthogonale d’axe (Ox) et de rapport 3.

1

(b) Repr´esenter l’image de la courbe repr´esentative de la fonctionx7→e^xpar l’affinit´e orthogonale d’axe (Ox) et de rapport 2.

(c) Reconnaˆıtre l’affinit´e orhogonale d’axe (Ox) et de rapport−1.

2. Soita∈R^∗. L’affinit´e orhogonale d’axe (Oy) et de rapportaest l’applicationA_(Oy),ad´efinie par :

A(Oy),a: P → P

M(x, y) 7→ le pointM^′(x^′, y^′) tel quex=ax^′ et y^′=y

(a) Repr´esenter l’image du cercle Ω(2,2) et de rayon 1 par l’affinit´e orthogonale d’axe (Oy) et de rapport 3.

(b) Repr´esenter l’image de la courbe repr´esentative de la fonctionx7→x²par l’affinit´e orthogonale d’axe (Oy) et de rapport 2.

(c) Reconnaˆıtre l’affinit´e orhogonale d’axe (Oy) et de rapport−1.

Exercice 81 (Courbe repr´esentative dex7→af(x), o`uf est une fonction eta∈R^∗) 1. Soitx7→f(x) une fonction et soita∈R. On introduit la fonctionx7→g(x) :=af(x).

(a) Exprimer le domaine de d´efinition deg en fonction de celui def.

(b) D´emontrer queC^g est l’image deC^f par l’affinit´e orthogonale d’axe (Ox) et de rapporta.

2. Tracer la courbe repr´esentative de la fonction x 7→ ln(x), puis la courbe repr´esentative de la fonction x7→ln(x³).

Exercice 82 (Courbe repr´esentative dex7→f(ax), o`uf est une fonction eta∈R^∗) 1. Soitx7→f(x) une fonction et soita∈R. On introduit la fonctionx7→g(x) :=f(ax).

(a) Exprimer le domaine de d´efinition deg en fonction de celui def.

(b) D´emontrer queC^g est l’image deC^f par l’affinit´e orthogonale d’axe (Oy) et de rapport ¹_a.

2. Tracer la courbe repr´esentative de la fonction x 7→ e^x, puis la courbe repr´esentative de la fonction x7→ (e^x)².

Exercice 83 (Courbe repr´esentative dex7→f(a−x), o`u f est une fonction et a∈R)

1. Soit x7→ f(x) une fonction et soit a∈ R. On introduit la fonction x7→ g(x) :=f(a−x). D´eduire des r´esultats des exercices 79 et 82 un proc´ed´e de construction permettant de d´eduire la courbeC^gde la courbe C^f.

2. Tracer la courbe repr´esentative de la fonction x 7→ √x, puis la courbe repr´esentative de la fonction x7→√

4−x.

Exercice 84 (R´esolution graphique d’une ´equation)

1. Soitx7→f(x) une fonction. Soitλ∈R. On noteS^λ l’ensemble solution de l’´equationf(x) =λ.

(a) D´emontrer queS^λ est l’ensemble des abscisses des points deC^f dont l’ordonn´ee vautλ.

(b) Donner un proc´ed´e de construction de l’ensembleS^λ.

2. On consid`ere la fonction f dont la courbe repr´esentative est donn´ee par la figure 1.

(a) R´esoudre graphiquement l’´equationf(x) = 1.

(b) Discuter graphiquement le nombre de solutions de l’´equationf(x) =λen fonction du param`etreλ.

Exercice 85 (R´esolution graphique d’une in´equation)

1. Soitx7→f(x) une fonction. Soitλ∈R. On noteS^λ l’ensemble solution de l’in´equationf(x)≤λ.

(a) D´emontrer queS^λest l’ensemble des abscisses des points deC^fdont l’ordonn´ee est inf´erieure ou ´egale

` a λ.

(b) Donner un proc´ed´e de construction de l’ensembleS^λ.

2. On consid`ere la fonctionfdont la courbe repr´esentative est donn´ee par la figure 2. R´esoudre graphiquement l’in´equationf(x)≤2.

2

Figure 1

1 2

−1

−2

−3

−4

−5

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

Figure 2

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

3