Feuille d’exercices n˚15 Calcul diff´ erentiel

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1−2010-2011

D. Blotti`ere Math´ematiques

Feuille d’exercices n˚15 Calcul diff´ erentiel

Exercice 223 : En revenant `a la d´efinition du nombre d´eriv´e, montrer que la fonctionf d´efinie par : f: R→R; x7→x²−4x+ 5

est d´erivable au point 2 et donner la valeur def⁰(2).

Exercice 224 : Les fonctions suivantes sont-elles d´erivables en 0 ? f₁:x7→p

|x| f₂:x7→ |x|³ f₃:x7→x|x|

Exercice 225 : Etudier les limites ´´ eventuelles de : (a) sin(x³)

x quandxtend vers 0 ; (b) ln(e+x)−1

x quand xtend vers 0 ; (c)

√4 +x−2

x quandxtend vers 0 ; (d)

pcos(x)−1

x quandxtend vers 0 ; (e) e^x2−e

x−1 quandxtend vers 1.

Exercice 226 : Soitf la fonction d´efinie par :

f:R⁺→R; x 7→cos(√ x).

Etudier la d´´ erivabilit´e def en 0 `a droite.

F Exercice 227 : Soita∈Ret soitf une fonction d´efinie sur un voisinage dea, d´erivable ena. ´Etudier la limite de : f(a+ 3h)−f(a+h)

h quand htend vers 0.

Exercice 228 : Soienta, b∈R. On d´efinit la fonctionfa,b par :

fa,b:R⁺→R; x7→







√xsi 0≤x≤1 a(x²−1) +bsix >1 D´etermineraet bpour que la fonctionfa,b soit d´erivable en 1.

Exercice 229 : Soitf la fonction d´efinie par :

f:R→R; x7→ |x²−1|.

Etudier la d´´ erivabilit´e def aux points−1 et 1.

Exercice 230 : On consid`ere la fonction f: x7→x²ln(x) + 1.

1. D´eterminer le domaine de d´efinition def.

2. Montrer que la fonctionf est prolongeable par continuit´e en 0 `a droite en une fonction not´ee fb. 3. ´Etudier la d´erivabilit´e defben 0 `a droite.

Exercice 231 : Donner le domaine de d´efinition et le domaine de d´erivabilit´e de la fonction tangente, puis calculer sa fonction d´eriv´ee.

Exercice 232 : Pour chacune des fonctions ci-dessous, pr´eciser le domaine de d´efinition, le domaine de d´erivabilit´e et calculer la fonction d´eriv´ee.

f1:x7→5x+ 1−1

x f2:x7→x²+√

x f3:x7→3xsin(x) + 2

x² f₄:x7→ sin(x) + cos(x)

1 + cos(x) f₅:x7→e^x+ 1

ln(x) f₆:x7→ x²ln(x) 1 +x f7:x7→cos³(x) f8:x7→√

x²−5x+ 6 f9:x7→ln(3x−7) f10:x7→ e^2x−1

x²+ 1 f11:x7→ln(ln(x)) f12:x7→x^x

Exercice 233 : Soitf une fonction d´efinie et d´erivable sur R.

1. Justifier que les deux fonctions suivantes sont d´erivables surRet calculer leurs fonctions d´eriv´ees.

f₁:x7→sin(f(x)²) f₂:x7→sin(f(x²)) 2. On suppose quef(x)6= 0 pour toutx∈R.

(a) Justifier que soit f est strictement positive sur R(i.e.∀x∈R f(x)>0) soit f est strictement n´egative surR(i.e.∀x∈R f(x)<0).

(b) Justifier que la fonctiong:R→R; x7→ln(|f(x)|) est d´erivable surRet calculer sa fonction d´eriv´ee.

F Exercice 234 : Soitf une fonction d´efinie et d´erivable sur un intervalleIsym´etrique par rapport `a 0.

1. Montrer que sif est paire, alorsf⁰ est impaire.

2. Montrer que sif est impaire, alorsf⁰ est paire.

Exercice 235 : Soitf la fonction d´efinie par :

f: R→R; x7→









 x² sin

1 x

six6= 0 0 six= 0

1. Montrer quef est d´erivable sur Ret calculer f⁰.

2. (a) ´Etudier le comportement asymptotique des suites (cos (2nπ))_n∈N∗ et cos

2nπ+π 2

n∈N^∗

. (b) En d´eduire que cos

1 x

n’a ni limite finie, ni limite infinie quandxtend vers 0.

Indication : On pourra raisonner par l’absurde.

3. D´eduire de 1. et 2. que la fonctionf⁰ n’est pas continue en 0.

Exercice 236 : Soitf la fonction d´efinie par :

f:R→R; x7→2 sin(3x)−5 cos(3x).

Montrer qu’il existea, b∈Rtels que :

f⁰⁰+af⁰+bf= 0.

Exercice 237 : Montrer par r´ecurrence que pour toutn∈N, la fonction sin⁽ⁿ⁾ existe et est donn´ee par : sin⁽ⁿ⁾:R→R; x7→sin

x+nπ 2

.

Exercice 238 : Soitf la fonction d´efinie par :

f: ]−1,+∞[→R; x7→ln(1 +x).

Montrer par r´ecurrence que pour toutn∈N^∗, la fonctionf⁽ⁿ⁾ existe et est donn´ee par : f⁽ⁿ⁾: ]−1,+∞[→R; x7→ (−1)ⁿ⁻¹(n−1)!

(1 +x)ⁿ .

Exercice 239 : Etudier la fonction´ f d´efinie par :

f: R→R; x7→x⁵−5x+ 1 et en d´eduire que l’´equation

x⁵−5x+ 1 = 0 poss`ede exactement 3 solutions r´eelles.

F Exercice 240 : Pour toutn∈N^≥3, on consid`ere la fonctionf_n d´efinie surRpar : f_n:R⁺→R; x7→xⁿ−nx+ 1.

1. Soitn∈N^≥3.

(a) ´Etudier la fonctionfn surR⁺ et en d´eduire que l’´equation xⁿ−nx+ 1 = 0

poss`ede exactement deux solutionsαn et βn surR⁺, avecαn∈[0 ; 1[ etβn>1.

(b) Montrer que f_n 1

n−1

<0.En d´eduire que :

0< αn < 1 n−1. (c) Calculerfn

nⁿ⁻¹¹

.En d´eduire que :

1< β_n< nⁿ⁻¹¹ .

2. ´Etudier les comportements asymptotiques des suites (αn)_n∈N≥3 et (βn)_n∈N≥3.

Exercice 241

1. Montrer que la fonctionf d´efinie par :

f : R→R; x7→(x²+ 1) sin(x) est d´erivable sur Ret calculer sa fonction d´eriv´ee.

2. Montrer que l’´equation

(x²+ 1) cos(x) + 2xsin(x) = 0 admet au moins une solution dans ]0, π[.

F Exercice 242 : Soit f une application d´efinie et deux fois d´erivable sur un intervalle I non r´eduit `a un point. On suppose que f s’annule en trois pointsx₁, x₂, x₃ deI, avecx₁< x₂< x₃. Montrer que f⁰⁰s’annule au moins une fois surI.

Exercice 243

1. SoitIun intervalle r´eel, non r´eduit `a un point. On se propose de d´eterminer l’ensembleE de toutes les fonctions f d´efinies et d´erivables surI telles quef⁰(x) = 0 pour toutx∈I.

(a) Soitf une fonction d´efinie et d´erivable surItelle quef⁰(x) = 0 pour toutx∈I. Soita∈I. En appliquant le th´eor`eme des accroissements finis, montrer que :

∀x∈I f(x) =f(a).

(b) En d´eduire l’ensembleE.

2. Quel est l’ensemble de toutes les fonctionsf d´efinies et d´erivables surR^∗ telles quef⁰(x) = 0 pour toutx∈R^∗? 3. SoitIun intervalle r´eel, non r´eduit `a un point. On se propose de d´eterminer l’ensembleFde toutes les fonctions

f d´efinies et d´erivables surI telles quef⁰(x) = 2f(x) pour toutx∈I.

(a) Soit f une fonction d´efinie et d´erivable sur I telle que f⁰(x) = 2f(x) pour tout x ∈ I. On introduit la fonctiong d´efinie par :

ϕ:I→R; x7→f(x)e^−2x.

Justifier queϕest d´erivable sur I et calculerϕ⁰. En d´eduire qu’il existeK∈Rtel que :

∀x∈I f(x) =Ke^2x. (b) En d´eduire l’ensembleF.

Exercice 244 : A l’aide du th´` eor`eme des accroissements finis, montrer que :

∀x∈R ∀y∈R |sin(x)−sin(y)| ≤ |x−y| et |cos(x)−cos(y)| ≤ |x−y|.

Exercice 245

1. `A l’aide du th´eor`eme des accroissements finis, montrer que :

∀x∈R^+∗

1

x+ 1 <ln(x+ 1)−ln(x)< 1 x. 2. ´Etudier les limites ´eventuelles de√

x(ln(x+ 1)−ln(x)) et dex(ln(x+ 1)−ln(x)) quandxtend vers +∞.

3. En d´eduire que

1 + 1 x

^x

x→+∞→ e.

F Exercice 246 : En s’inspirant de l’exercice pr´ec´edent, ´etudier la limite ´eventuelle de : x²

e^x+11 −e^x1 quand xtend vers +∞.

Exercice 247 : En utilisant le th´eor`eme des accroissements finis et en distinguant ´eventuellement les casx <0,x= 0 et x >0, d´emontrer que :

1. pour toutx∈R:e^x≥1 +x;

2. pour toutx∈]−1,+∞[ : ln(1 +x)≤x.

Exercice 248

1. En appliquant le th´eor`eme des accroissements finis, montrer que pour toutx∈R^+∗ : 0≤√

x+ 1−√ x < 1

2√ x. 2. En d´eduire que l’erreur commise en approximant√

2501 par 50 est inf´erieure `a 10⁻². 3. D´eterminer une valeur approch´eesimple de√

14401 ainsi qu’un majorant de l’erreur.

Exercice 249 : On appelle cosinus hyperbolique et on note cosh la fonction d´efinie par : cosh :R→R; x7→ e^x+e^−x

2 .

1. ´Etudier la parit´e de cosh.

2. ´Etudier les limites ´eventuelles de cosh aux bornes de son ensemble de d´efinition.

3. Justifier que cosh est d´erivable surR. 4. Montrer que :

∀x∈R cosh⁰(x) = e^−x(e^x−1)(e^x+ 1)

2 .

5. Dresser le tableau de variations de cosh.

6. On note C la courbe repr´esentant cosh dans un rep`ere orthonorm´e du plan fix´e. Donner une ´equation de la tangenteT `aC au point d’abscisse 0.

7. (a) V´erifier que pour toutx∈R:

e^x+e^−x−2 =e^−x(e^x−1)². (b) En d´eduire la position relative deC par rapport `aT.

8. TracerC apr`es avoir trac´e la droite T.

Exercice 250 : Soitf:x7→2x−3 + ln(x) x .

1. D´eterminer l’ensemble de d´efinition et le domaine de d´erivabilit´e def. 2. Calculerf⁰.

3. D´emontrer que la courbe Cf repr´esentant f dans un rep`ere orthonorm´e du plan fix´e admet une asymptote verticale et une asymptote oblique. Pr´eciser la position deCf par rapport `a son asymptote oblique.

4. Soitgla fonction d´efinie par :

g:x7→2x²+ 1−ln(x).

En ´etudiant les variations deg, montrer que pour toutx∈]0,+∞[ :g(x)>0.

5. Dresser le tableau de variations def.

6. (a) SoitI le point deCf d’abscisse 1. Donner une ´equation de la tangenteT `a Cf au pointI.

(b) Soienthetdles fonctions d´efinies par :

d:x7→f(x)−(3x−4) et h:x7→ −x²+x+ ln(x).

De l’´etude des variations deh, d´eduire le sens de variation, puis le signe ded.

(c) En d´eduire la position relative deCf par rapport `aT. 7. TracerC<sub>f</sub> apr`es avoir trac´e ses asymptotes et la droiteT.

Exercice 251 : Soitf la fonction d´efinie par :

f:R→R; x 7→ e^x e^x+ 1.

1. ´Etudier les limites ´eventuelles def aux bornes de son ensemble de d´efinition.

2. Montrer quef est d´erivable sur R. 3. Calculerf⁰.

4. Dresser le tableau de variations def. 5. Montrer que :

∀x∈R 0≤f⁰(x)≤1 4. 6. En d´eduire que :

∀x, y∈R |f(x)−f(y)| ≤ 1

4 |x−y|.

7. Montrer qu’il existe un uniqueαappartenant `a ]0 ; 1[ tel que e^α e^α+ 1 =α.

8. Soit (un)_n∈N la suite d´efinie paru0∈Ret la relation de r´ecurrence un+1= e^un

e^un+ 1 valable pour toutn∈N.

(a) Montrer queun ∈[0,1] pour toutn∈N^∗. (b) Montrer que :∀n∈N |u_n+1−α| ≤ 1

4 |u_n−α|.

(c) En d´eduire que :∀n∈N |un−α| ≤ 1

4 n

|u0−α|, puis que la suite (un)_n∈N converge versα.

F Exercice 252 : Soitf la fonction d´efinie par :

f:R⁺→R; x7→ e^x 2 +x. 1. Montrer quef est d´erivable sur R⁺ et que 0≤f⁰(x)≤ 2e

9 pour toutx∈]0,1[.

2. Montrer que :f(]0 ; 1[)⊂]0 ; 1[.

3. Montrer qu’il existe un uniqueαappartenant `a ]0 ; 1[ tel que : e^α 2 +α =α.

4. Grˆace au r´esultat de la question 1., on peut d´efinir une suite (u_n)_n∈Nparu₀∈]0,1[ et la relation de r´ecurrence un+1= e^un

2 +u_n

valable pour toutn∈N. On a alorsun∈]0 ; 1[ pour toutn∈N. Montrer que :

∀n∈N |u_n−α| ≤ 2e

9 ⁿ

|u₀−α|

et en d´eduire que la suite uconverge versα.

Indication : On pourra s’inspirer ensuite de l’exercice pr´ec´edent.