Universit´e de Bordeaux 4TTI303U: Analyse 2 Math-Info
TD 1: norme, distance et des ´ el´ ements de la topologie dans R
dDans cette fiche,dest un entier naturel non-nul. L’espaceRdest muni d’une norme N qui elle-mˆeme induit une distance not´ee dN. Par exemple, la norme 1 not´ee ||.||1 qui induit la distance d1 ou la norme 2 not´ee ||.||2 qui induit la distanced2 ou la norme∞not´ee ||.||∞ qui induit la distanced∞.
Exercice 1. Soitx, y∈Rd et le produit scalaire est d´efini par
(x, y) =
d
X
j=1
xjyj.
(1) Rappeler les propri´et´es ´el´ementaires du produit scalaire.
(2) D´emontrer l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz (CS), i.e.,
|(x, y)| ≤ ||x||2||y||2, ∀x, y∈Rd.
(3) D´emontrer que l’´egalit´e dans l’in´egalit´e (CS) a lieu ssi les vecteursx, y sont colin´eaires (parall`eles).
Exercice 2. Montrer que toute bouleB(x, r), x∈Rd, r≥0, est ouverte, et toute boule ¯B(x, r) (=Bf(x, r)) est ferm´ee.
Exercice 3.
(1) Soit (Oα)α∈Aune famille d’ouverts. Montrer que∪α∈AOαest un ouvert.
Dans le cas o`u A = (1, . . . , n) est une famille finie, montrer que ∩nj=1Oj est ouvert. Donner un exemple o`u la famille A est infinie et la conclusion de la question pr´ec´edente n’a pas lieu.
(2) Idem pour les ensembles ferm´es: soit (Fα)α∈A une famille de ferm´es.
Montrer que ∩α∈AFα est un ferm´e. Dans le cas o`u A = (1, . . . , n) est une famille finie, montrer que ∪nj=1Fj est ferm´e. Donner un exemple o`u la famille Aest infinie et la conclusion de la question pr´ec´edente n’a pas lieu.
Exercice 4. SoitAun sous-ensemble deRd. (1) Montrer queRd\A=Rd\A◦.
(2) Montrer que Rd\A◦
=Rd\A.
(3) Montrer queAest dense si et seulement siRd\Aest d’int´erieur vide.
Exercice 5.
(1) Montrer queAest ouvert ssiA=A◦. (2) Montrer queAest ferm´e ssiA= ¯A.
Exercice 6. SoitA, B des parties deRd.
(1) Montrer que siA⊂B, alorsA◦⊂B◦ et ¯A⊂B¯. (2) Montrer que
(A∩B)◦=A◦∩B◦, A◦∪B◦⊂(A∪B)◦,
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et donner un exemple o`u la derni`ere inclusion n’est pas stricte.
(3) Montrer que
(A∪B) ¯= ¯A∪B,¯ (A∩B) ¯⊂A¯∩ ∪B,¯ et donner un exemple o`u la derni`ere inclusion n’est pas stricte.
Exercice 7.
(1) Montrer que
∀x∈Rd, ||x||1≤√
d||x||2≤p||x||∞. (2) Montrer que
∀x∈Rd, ||x||∞≤ ||x||1. (3) Montrer que
∀x∈Rd, ||x||2≤ ||x||1.
Exercice 8. SoitC une partie convexe deR2i.e., v´erifiant
∀(c1, c2)∈C2, [c1, c2]⊂C.
(1) Montrer queCest une partie convexe ferm´ee.
(2) Montrer queC◦ est une partie convexe ouverte.
Exercice 9. Soit A un sous-ensemble non vide de R. On dit que A est discret si tous ses points sont isol´es i.e.,
∀a∈A,∃r >0, ]a−r, a+r[∩A={a}.
(1) Donner des exemples de sous-ensembles R d´enombrables, d’int´erieurs vides, ferm´es et discrets.
(2) Montrer qu’une partie discr`ete deRest d’int´erieur vide.
(3) Une partie discr`ete deRest-elle n´ecessairement ferm´ee?
(4) Que pouvez-vous dire d’un compact discret deR? (5) Une partie d’int´erieur vide de Rest-elle discr`ete?
(6) Montrer qu’une partie d´enombrable deRest d’int´erieur vide.
(7) Une partie d’int´erieur vide est-elle d´enombrable?
Exercice 10. Montrer qu’une partie discr`ete deRest forc´ement d´enombrable.
Vous pourriez utiliser le fait qu’une famille (Iλ)λ∈Λ d’intervalles ouverts non- vides deux ´e deux disjoints de R est forc´ement index´ee par un ensemble Λ d´enombrable.
Exercice 11. SoitAune partie non-vide deRd muni d’une normeN. On d´efinit une fonction
dN(∗, A) : Rd → R
X 7→ dN(X, A) = infa∈AdN(X, a).
(1) Montrer que cette fonction est bien d´efinie.
(2) Montrer que
∀(X1, X2)∈ Rd2
, |dN(X1, A)−dN(X2, A)| ≤dN(X1, X2).
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Exercice 12. SoientA etB deux parties deRd. On d´efinitA+B par A+B={a+b,(a, b)∈A×B} ⊂Rd.
(1) Montrer que si Ω est un ouvert alorsA+ Ω l’est aussi.
(2) La somme de deux ouverts est-elle un ouvert?
(3) La somme de deux ferm´es est-elle un ferm´e?
(4) Montrer que siKest un compact et F est un ferm´e alorsK+F est un ferm´e.
(5) Montrer que si K1 et K2 sont deux compacts alors K1 +K2 est un compact.
Exercice 13. Soitx= (xn)n≥0une suite strictement croissante de nombres r´eels et
X={xn, n≥0}. (1) Montrer queX est une partie discr`ete deR.
(2) Montrer queX est ferm´e si est seulement la suitexn’est pas major´ee.
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