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∀λ ∈ ]0, 1[ : H(λ) = − (λ ln(λ) + (1 − λ) ln(1 − λ)) . On se propose de montrer une majoration des coecients du binôme :

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

MPSI B 15 décembre 2019

Énoncé

On dénit une fonction H dans ]0, 1[ .

∀λ ∈ ]0, 1[ : H(λ) = − (λ ln(λ) + (1 − λ) ln(1 − λ)) . On se propose de montrer une majoration des coecients du binôme :

∀n ∈ N \ {0, 1} , ∀k ∈ J 1, n − 1 K : n

k

≤ e

nH(

k n

)

.

1. Montrer que :

∀x > 0 : ln(1 + x) − ln(x) ≥ 1 1 + x . 2. Montrer que la fonction dénie de ]0, 1[ dans R par : x →

x+1x

x

est croissante.

3. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2 et k un entier naturel entre 0 et n . Montrer que

n k

≤ n

n

k

k

(n − k)

n−k

. 4. En déduire l'inégalité annoncée.

Corrigé

1. L'inégalité demandée résulte de l'inégalité des accroissements nis appliquée à la fonc- tion t → ln t entre x et x + 1 . En eet la dérivée est

1t

qui est supérieur ou égal à

1+t1

dans l'intervalle considéré.

2. Notons ϕ la fonction à étudier. Écrivons la sous forme exponentielle avant de la dériver.

ϕ(x) = e

x(ln(x+1)−lnx)

> 0

ϕ

0

(x) =

ln(x + 1) − ln(x) + x x + 1 − 1

ϕ(x)

=

ln(x + 1) − ln(x) − x x + 1

ϕ(x) ≥ 0 d'après l'inégalité de la première question. La fonction ϕ est donc croissante.

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1

Fig. 1: Coecient du binôme et fonction e

nH

pour n = 10 . 3. Fixons un entier n et notons I

k

l'inégalité à démontrer :

(I

k

)

n k

≤ n

n

k

k

(n − k)

n−k

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai Amajcobi

(2)

MPSI B 15 décembre 2019

Remarquons d'abord que I

0

est vériée car elle revient à 1 ≤ 1 . Remarquons ensuite que les deux expressions à comparer sont conservées par le changement k → n − k . Il sut donc de montrer I

k

pour les k tels que k < n − k .

On va montrer que I

k

⇒ I

k+1

pour k < n − k .

Supposons I

k

et considérons le coecient du binôme suivant : n

k + 1

= n(n − 1) · · · (n − k)

(k + 1)! = n − k k + 1

n k

≤ n

n

(k + 1)k

k

(n − k)

n−(k+1)

d'après I

k

. Il sut donc de montrer :

n

n

(k + 1)k

k

(n − k)

n−(k+1)

≤ n

n

(k + 1)

k+1

(n − k − 1)

n−k−1

ou encore x

k

≤ 1 avec

x

k

= n

n

(k + 1)k

k

(n − k)

n−(k+1)

(k + 1)

k+1

(n − k − 1)

n−k−1

n

n

= k + 1

k

k

n − k n − k − 1

−(n−k−1)

= ϕ(k)

ϕ(n − k − 1) avec la fonction ϕ de la deuxième question. Comme ϕ est croissante et k ≤ n − k − 1 , on a bien ϕ(k) ≤ ϕ(n − k − 1) ce qui achève la démonstration.

Cette démonstration est bien laborieuse à côté de celle ci trouvée par un étudiant

1

: Il s'agit en fait de démontrer que

n k

k

k

(n − k)

n−k

≤ n

n

Sous cette forme, le membre de gauche apparait clairement comme un terme (celui pour lequel i = k ) dans une formule du binôme

n k

k

k

(n − k)

n−k

n

X

i=0

n i

k

i

(n − k)

n−i

= (k + (n − k))

n

= n

n

4. L'inégalité de la question précédente s'exprime avec H et l'exponentielle car n

n

k

k

(n − k)

n−k

= n k

k

n n − k

(n−k)

= e

(

kln(kn)+(n−k) ln(n−kn )

) = e

nH(kn)

La gure 1 montre que cette inégalité est très imprécise pour les coecients du milieu.

1Thomas Lehéricy

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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