MPSI B 15 décembre 2019
Énoncé
On dénit une fonction H dans ]0, 1[ .
∀λ ∈ ]0, 1[ : H(λ) = − (λ ln(λ) + (1 − λ) ln(1 − λ)) . On se propose de montrer une majoration des coecients du binôme :
∀n ∈ N \ {0, 1} , ∀k ∈ J 1, n − 1 K : n
k
≤ e
nH(k n
).
1. Montrer que :
∀x > 0 : ln(1 + x) − ln(x) ≥ 1 1 + x . 2. Montrer que la fonction dénie de ]0, 1[ dans R par : x →
x+1x xest croissante.
3. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2 et k un entier naturel entre 0 et n . Montrer que
n k
≤ n
nk
k(n − k)
n−k. 4. En déduire l'inégalité annoncée.
Corrigé
1. L'inégalité demandée résulte de l'inégalité des accroissements nis appliquée à la fonc- tion t → ln t entre x et x + 1 . En eet la dérivée est
1tqui est supérieur ou égal à
1+t1dans l'intervalle considéré.
2. Notons ϕ la fonction à étudier. Écrivons la sous forme exponentielle avant de la dériver.
ϕ(x) = e
x(ln(x+1)−lnx)> 0
ϕ
0(x) =
ln(x + 1) − ln(x) + x x + 1 − 1
ϕ(x)
=
ln(x + 1) − ln(x) − x x + 1
ϕ(x) ≥ 0 d'après l'inégalité de la première question. La fonction ϕ est donc croissante.
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1
Fig. 1: Coecient du binôme et fonction e
nHpour n = 10 . 3. Fixons un entier n et notons I
kl'inégalité à démontrer :
(I
k)
n k
≤ n
nk
k(n − k)
n−kCette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1
Rémy Nicolai AmajcobiMPSI B 15 décembre 2019
Remarquons d'abord que I
0est vériée car elle revient à 1 ≤ 1 . Remarquons ensuite que les deux expressions à comparer sont conservées par le changement k → n − k . Il sut donc de montrer I
kpour les k tels que k < n − k .
On va montrer que I
k⇒ I
k+1pour k < n − k .
Supposons I
ket considérons le coecient du binôme suivant : n
k + 1
= n(n − 1) · · · (n − k)
(k + 1)! = n − k k + 1
n k
≤ n
n(k + 1)k
k(n − k)
n−(k+1)d'après I
k. Il sut donc de montrer :
n
n(k + 1)k
k(n − k)
n−(k+1)≤ n
n(k + 1)
k+1(n − k − 1)
n−k−1ou encore x
k≤ 1 avec
x
k= n
n(k + 1)k
k(n − k)
n−(k+1)(k + 1)
k+1(n − k − 1)
n−k−1n
n= k + 1
k
kn − k n − k − 1
−(n−k−1)= ϕ(k)
ϕ(n − k − 1) avec la fonction ϕ de la deuxième question. Comme ϕ est croissante et k ≤ n − k − 1 , on a bien ϕ(k) ≤ ϕ(n − k − 1) ce qui achève la démonstration.
Cette démonstration est bien laborieuse à côté de celle ci trouvée par un étudiant
1: Il s'agit en fait de démontrer que
n k
k
k(n − k)
n−k≤ n
nSous cette forme, le membre de gauche apparait clairement comme un terme (celui pour lequel i = k ) dans une formule du binôme
n k
k
k(n − k)
n−k≤
n
X
i=0
n i
k
i(n − k)
n−i= (k + (n − k))
n= n
n4. L'inégalité de la question précédente s'exprime avec H et l'exponentielle car n
nk
k(n − k)
n−k= n k
kn n − k
(n−k)= e
−(
kln(kn)+(n−k) ln(n−kn )) = e
nH(kn)La gure 1 montre que cette inégalité est très imprécise pour les coecients du milieu.
1Thomas Lehéricy
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/