Topologie des espaces m´ etriques - Feuille de TD 1
Exercice1.
(1) Soit E l’ensemble{1,2,3,4,5}. Parmi les quatre familles de parties deE suivantes, lesquelles constituent la famille des ouverts d’une topologie τ surE?
∅,{1}
∅,{1,2},{1,2,3,4,5}
{1,2},{1,4},{1},{1,2,4},{1,2,3,4,5}
∅,{1,2},{2,4},{2},{1,2,4},{1,2,3,4,5}
(2) Construire toutes les topologies possibles sur l’ensemble E = {A, B, C} constitu´e des trois symboles A, B, C (on listera pour chacune des topolo- gies envisageables la liste des ouverts correspondante).
Exercice2. On munit l’ensembleRdes nombres r´eels de sa topologie usuelle : on rappelle qu’une partieU deRest un ouvert pour cette topologie si et seulement si
∀x∈U, ∃ >0 tel que ]x−, x+[⊂U (siU =∅, on convient que cette condition est satisfaite).
(1) Parmi les parties A deR suivantes, lesquelles sont ouvertes ? Lesquelles sont ferm´ees ?
A=R; A=Z; A= n
n+ ln(n);n∈N∗ ; A= n
n+ 1 + ln(n);n∈N∗ ; A=]0,1[∪]1,3[ ; A=]−1,1[\[1/2,1/2] ; A=
ln(ln(n)) ; n∈N∗ ;
Pour chacune de ces sept parties, on explicitera l’int´erieur deA◦ de cette partie ainsi que son adh´erence ¯A.
(2) Lister les points limites et les points isol´es du sous-ensemble B={1/n;n∈N∗} ∪]1,2[∪]2,3[∪ {4} ∪ (]7,8[∩Q).
Expliciter les trois parties
◦
B, B,◦
◦
◦
B.
Exercice3.
(1) Soient xet y deux nombres r´eels tels que x < y. Montrer que l’on peut toujours trouver un entierq∈N∗et un entierp∈Ztels quex < p/q < y.
Peut-on faire en sorte queqsoit une puissance de 10 ? (2) D´eduire du r´esultat ´etabli `a la question1queQ=R.
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2 TOPOLOGIE DES ESPACES M ´ETRIQUES - FEUILLE DE TD 1
(3) Le nombre √
2 est-il rationnel ? En reprenant la question1avecx/√ 2 et y/√
2 en place dexet y, montrer queR\Q=R. Quel est l’int´erieur de Q?
Exercice4. Dans cet exercice, on se propose d’´etablir l’´equivalence suivante :
une partie U de R est un ouvert pour la topologie usuelle si et seulement siU s’´ecrit comme une union au plus d´enombrable d’intervalles ouverts ]a, b[ deux-`a- deux disjoints.
(1) Prouver le voletside l’assertion.
(2) Si U est un ouvert de R et x un point de U, on note Ix l’union des intervalles ouverts contenantxet inclus dansU.
— V´erifier que pour toutx∈U,Ixest encore un intervalle ouvert ;
— montrer l’implicationy∈Ix=⇒Iy=Ix;
— en d´eduire que si xet y sont deux points distincts deU, alors on a soit Ix=Iy, soitIx ∩ Iy =∅;
— en utilisant `a la fois le fait que Q=R (voir l’exercice??) et le fait que Q est d´enombrable (dire pourquoi), conclure que le volet et seulement side l’assertion propos´ee dans cet exercice est vrai.
Exercice5. SoitEun ensemble non vide. On noteτEla famille de parties de Econstitu´ee de l’ensemble vide et de toutes les parties deEdont le compl´ementaire dansE est fini.
(1) V´erifier queτE est bien une topologie surE.
(2) Quelle est la topologie τE ainsi construite lorsque E est un ensemble fini non vide ?
(3) Une topologieτ sur un ensembleE est dites´epar´eesi et seulement si
∀a, b∈E, a6=b=⇒
∃Ua, Ub∈τ tels quea∈Ua, b∈Ub et Ua ∩ Ub=∅ . Montrer que la topologie τE est une topologie s´epar´ee si et seulement si E est fini.
Exercice6.
(1) On dit qu’une partieU du planR2 estouvertesi et seulement
∀(x, y)∈U,∃, η >0 tels que ]x−, x+[×]y−η, y+η[⊂U.
Montrer que la famille des ouverts deR2constitue bien une topologie sur R2(que l’on appelletopologie usuelle du plan).
(2) On consid`ere le sous-ensemble A de R2 d´efini comme le graphe de la fonction t ∈]0,+∞[7→sin(1/t). Dessiner l’ensembleA et pr´eciser ce que sont l’adh´erenceAet l’int´erieur
◦
AdeApour la topologie usuelle du plan.
Le sous-ensembleAest-il ouvert pour cette topologie ? ferm´e ?
Exercice 7. Soit E un ensemble et τ une topologie sur E. Montrer que si A et B sont deux sous-ensembles deE, on a (la prise d’int´erieur ´etant consid´er´ee relativement `a la topologieτ)
◦
(A∩B) =
◦
A ∩ B◦ et
◦
A∪B◦ ⊂
◦
(A∪B).
Donner un exemple (avecE=Ret la topologie usuelle) o`u l’inclusion de droite est stricte.
