Feuille 1 : Rappels de Topologie

Université Paris-Dauphine 2019/2020 L3 Maths

Analyse Fonctionnelle et Analyse Hilbertienne

Feuille 1 : Rappels de Topologie

Exercice 1. Soit n∈N^∗. On travaille dans l’espaceMn(R), muni de sa topologie naturelle.

1. L’ensembleO_n(R) des matrices orthogonales est-il un ensemble compact de M_n(R)? 2. L’ensembleSL_n(R) des matrices de déterminant 1 est-il un ensemble compact de M_n(R)?

Exercice 2. Soit E=C⁰([0,1]) muni de la norme uniforme.

1. SoitF ={f ∈E, f ≥0sur [0,1]}. Montrer queF est fermé. Décrire le complémentaire de F.

2. Soit O = {f ∈ E, f >0 sur[0,1]}. Montrer que O est ouvert (on pourra faire deux preuves, une directe, une qui consiste à montrer que O^c est fermé).

3. On remplaceE parE =C_b⁰(R+) (espace des fonctions continues bornées sur R+), et on considère cette fois-ci O={f ∈E, f >0 surR+}. Cet ensemble est-il ouvert ?

Exercice 3. Soit (E,k · k) un espace vectoriel normé, etF un s.e.v. de E.

1. Montrer queF est un s.e.v. de E.

2. Donner un exemple oùF 6=F (il faudra choisirE également). Un tel exemple est-il possible siE est de dimension finie ?

3. Montrer l’équivalence

F˚6=∅ ⇔F =E.

Exercice 4. Soit E=C¹([0,1]) l’ensemble des fonctionsf : [0,1]→Rde classeC¹. On définit

∀f ∈E, kfk_C1 :=kfk_∞+kf⁰k_∞.

1. Montrer quek · k_C1 est une norme.

2. Soit(fn)n∈N une suite d’éléments deE, etf ∈E. Montrer que(fn)n∈Nconverge versf au sens de la normeC¹si et seulement si(f_n)n∈Nconverge uniformément versf et(f_n⁰)n∈Nconverge uniformément vers f⁰.

3. Montrer que(C¹([0,1]),k · k_C1) est un espace de Banach.

Exercice 5. Soit c0 =c0(N) l’ensemble des suites réelles qui converge vers 0.

1. Montrer quec₀ est un s.e.v. fermé de(`^∞(N),k · k) (c’est donc un espace de Banach).

2. Montrer que l’ensemble des suites à support fini (c’est-à-dire constantes égales à 0 à partir d’un certain rang) est dense dans c₀.

Exercice 6. [Norme d’application linéaire, Mars 2016]Soit(E,k · k_E)et(F,k · k_F)deux espaces vectoriels normés. On noteL(E, F) l’ensemble des applications linéaires continues deE versF.

1. Rappeler une définition de la norme d’une application linéaire continue T ∈ L(E, F), qu’on note kTk_L(E,F).

2. Montrer quek · k_L(E,F) est bien une norme sur L(E, F).

3. Rappeler (sans démonstration) les conditions sur les espacesE etF pour que l’espaceL(E, F)muni de la norme k · k_L(E,F) soit complet.

4. Dans le casE =F, on note L(E) =L(E, F). Montrer que si(T, S)∈ L(E)², alors kT◦Sk_L(E)≤ kTk_L(E)kSk_L(E).

5. On définitR[X]l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, etRn[X]le sous-espace vectoriel de R[X]des polynômes de degré inférieur ou égal àn, pourn∈N.

(a) On pose, si P =

deg(P)

X

n=0

a_nXⁿ, kPk = sup

0≤i≤deg(P)

|a_i|(par convention si P = 0 alors deg(P) =

−∞, et le précédent supest considéré égal à 0). Montrer quek · k est une norme surR[X].

Dans les questions suivantes, on munit les espaces R[X]et Rn[X]de cette normek · k.

(b) On pose∆l’application de dérivation sur les polynômes :

∆ : R[X] → R[X]

P 7→ P⁰ .

Montrer que∆est bien définie et linéaire. L’application∆est-elle continue ? Si oui, calculer sa norme dans L(R[X]).

(c) Etant donné n∈N, on considère∆_nla restriction de ∆à Rn[X]:

∆_n: Rn[X] → Rn[X]

P 7→ P⁰ .

Montrer que ∆_n est bien définie. L’application∆_n est-elle continue ? Si oui, calculer sa norme dansL(Rn[X]).

Exercice 7. 1. Soit E=R[X], muni de la norme kPk_∞:= sup_x∈[0,1]|P(x)|.

(a) Justifier qu’il s’agit bien d’une norme.

(b) Pour a∈R, on considère δa :R[X]→ R la forme linéaire définie par ∀P ∈ E, δa(P) =P(a).

Déterminer pour quels a∈R la forme linéaireδ_aest continue, et calculer kδ_ak dans ce cas.

2. SoitE=C⁰([0,1]).

(a) Montrer que l’applicationδ0 :f ∈E 7→f(0)∈Rest continue si on munitEde la normek · k_∞, mais n’est pas continue si on munit E de la norme k · k₁.

(b) On munitE de la norme uniforme. Soit φ:E→Rla forme linéaire définie par

∀f ∈E, φ(f) :=

Z 1/2 0

f(t)dt− Z 1

1/2

f(t)dt.

Montrer que φest continue, calculer sa norme, et montrer que cette norme n’est pas atteinte, c’est-à-dire qu’il n’existe pas de fonction f ∈E telle que kfk_∞= 1 et|φ(f)|=kφk.

(c) Refaire la question précédente en munissant E de la norme k · k₁.

Exercice 8. On travaille dans `<sup>∞</sup> := `^∞(N^∗) muni de la norme uniforme. On considère T : `<sup>∞</sup> → `^∞ défini par

∀x∈`^∞, T(x) =T(x₁, x₂, x₃, . . .) := (x₁/1, x₂/2, x₃/3, . . .) = (x_n/n)n∈N^∗. 1. Montrer queT est bien défini, et linéaire continu aveckTk= 1.

2. Montrer queT est injectif, mais non surjectif.

Exercice 9. [Mars 2015]On travaille dansE =R[X]. On rappelle qu’un polynôme peut toujours s’écrire P = P∞

k=0a_kX^k où il n’y a qu’un nombre fini de (a_k)k∈N qui sont non nuls. On pose alors kPk :=

sup_k∈N|a_k|.

1. Montrer que l’applicationk · k est bien définie et est une norme surE.

2. On pose pour n∈ N, P_n = Xⁿ. La suite (P_n)n∈N est-elle de Cauchy pour la norme k · k? Est-elle convergente ?

Pour x0 ∈R, on définitδx0 :P ∈R[X]7→P(x0)∈R, qui est clairement bien définie et linéaire.

3. Montrer que si x0 ∈ [0,1[, δx0 est continue, et calculer sa norme. Montrer que si x0 ∈ [1,∞[, δx0

n’est pas continue.

4. On pose pourn∈N,Q_n=Xⁿ/n!. Montrer que la sérieP

n∈NQ_nest absolument convergente, mais n’est pas convergente dans E. Que peut-on en déduire sur l’espace(E,k · k)?

Exercice 10. Soit E =C⁰([0,1])muni de la norme uniforme. Montrer qu’une forme linéaire T :E →R positive (c’est-à-dire satisfaisant ∀f ∈E, f ≥0⇒T(f)≥0) est continue.

Exercice 11. 1. Soit n∈ N^∗. Montrer que l’ensemble GL_n(R) des matrices inversibles est un ouvert dense deMn(R) (muni de sa topologie naturelle).

2. SoitE un espace de Banach. On considère L(E) l’espace des endomorphismes continus deE, muni de sa norme induite.

(a) Montrer que si u∈ L(E) vérifie kuk<1, alors Id−uest inversible, et que de plus k(Id−u)⁻¹k ≤(1− kuk)⁻¹.

(b) Montrer que l’ensemble des endomorphismes inversibles deL(E) est un ouvert deL(E).

Exercice 12. SoitE =C⁰([0,1]) muni de la norme uniforme. On définitT :E→E par

∀f ∈E, ∀x∈[0,1], T(f)(x) :=

Z x

0

f(t)dt.

1. Montrer queT est bien défini, linéaire continu, et calculer kTk.

2. Montrer que,

∀f ∈E, ∀n∈N, ∀x∈[0,1], |Tⁿ(f)(x)| ≤ xⁿ n!kfk_∞. En déduire la valeur de kTⁿk pourn∈N.

3. Montrer que pour toutλ∈R^∗,λId−T est inversible, et quek(λId−T)⁻¹k ≤ _|λ|¹ e^1/|λ|. Que peut-on dire pourλ= 0?

Exercice 13. Soit(E, d) un espace métrique.

1. (a) Montrer qu’un ensemble U ⊂E est dense si et seulement si U rencontre tout ouvert non vide de E.

(b) Etant donnéU et V deux ouverts denses de E, montrer queU ∩V est aussi un ouvert dense de E. Est-ce encore vrai siU etV ne sont plus nécessairement ouverts ?

On suppose désormais l’espace(E, d) complet.

2. [Théorème des fermés emboîtés] Soit (F_n) une suite de fermés non vides de E. On suppose que la suite (Fn)n∈N est décroissante pour l’inclusion, et que le diamètre de Fn converge vers 0 quand n tend vers l’infini. Montrer que l’intersection des (F_n)n∈N est non vide, réduite à un singleton.

3. (*)[Théorème de Baire]Montrer qu’une intersection dénombrable d’ouverts denses est dense.

4. En déduire qu’une réunion dénombrable de fermés d’intérieur vide est d’intérieur vide.

5. [Une application classique] Montrer queR[X]n’est complet pour aucune norme.

Exercice 14. [Problème d’optimisation en dimension infinie].On poseE =C⁰([0,1]), que l’on munit de la norme uniforme k · k_∞. On définit

G: E → R f 7→

Z 1 0

|f(x)|dx

1. MontrerGest bien définie et continue.

2. On poseF ={f ∈E, kfk∞≤2, f(0) = 1}. Montrer queF est fermé et borné.

3. Montrer queF n’est pas compact.

4. Etudier la question d’existence pour le problème de minimisation suivant :

f∈Finf G(f).

Exercice 15. [Cas particulier du théorème de Cauchy-Lipschitz].On pose E=C⁰([0,1]), que l’on munit de la norme uniforme k · k_∞. On définit

T : E → E

f 7→ T(f) définie par : ∀x∈[0,1], T(f)(x) = 1 +1 2

Z x

0

sin(f(t))dt

1. MontrerT est bien définie, et qu’il existe un unique élémenty ∈E tel queT(y) =y.

2. Montrer quey est de classeC¹ et vérifie l’équation différentielley⁰ = ¹₂sin(y), ety(0) = 1.

3. Montrer que sizest une fonctionC¹ satisfaisantz⁰ = ¹₂sin(z)etz(0) = 1, alorsT(z) =z. En déduire z=y.

Exercice 16. Soitdune métrique surR^[0,1]. On pose, pour toutn∈N^∗, C_n=B

0,1

n c

=

f ∈R^[0,1], d(f,0)≥ 1 n

.

1. Montrer qu’il existe n0 tel que Cn0 contient une infinité de fonctions qui sont indicatrices d’un singleton.

2. Montrer qu’on peut choisir une suite dansC_n0 qui converge simplement vers 0.

3. En déduire qu’il n’existe pas de métrique surR^[0,1]telle que la convergence pour cette métrique soit équivalente à la convergence simple sur[0,1].

Exercice 17. On considère l’espaceC⁰(R,R).

1. On pose

∀f, g∈C⁰(R,R), d(f, g) =X

n∈N

1

2ⁿmin(1,kf−gk_∞,[−n,n]).

Montrer que d est une métrique, et que la convergence pour d équivaut à la convergence uniforme sur tout compact de R.

2. Soitε >0. Montrer qu’il existe f ∈C⁰(R,R)\ {0} tel que pour toutλ∈R, d(λf,0)< ε.

3. En déduire qu’il n’existe pas de norme sur C⁰(R,R) telle que la convergence pour cette norme soit équivalente à la convergence uniforme sur tout compact de R.