Soit E=C0([0,1]) muni de la norme uniforme

Université Paris-Dauphine 2016/2017

L3 Maths J. Lamboley

Topologie et Analyse Fonctionnelle

Feuille 1 : Topologie, E.V.N.

Exercice 1. Soit n∈N^∗. On travaille dans l’espaceMn(R), muni de sa topologie naturelle.

1. L’ensembleO_n(R) des matrices orthogonales est-il un ensemble compact de M_n(R)? 2. L’ensembleSL_n(R) des matrices de déterminant 1 est-il un ensemble compact de M_n(R)? Exercice 2. Soit E=C⁰([0,1]) muni de la norme uniforme.

1. SoitF ={f ∈E, f ≥0sur [0,1]}. Montrer queF est fermé. Décrire le complémentaire de F.

2. Soit O = {f ∈ E, f >0 sur[0,1]}. Montrer que O est ouvert (on pourra faire deux preuves, une directe, une qui consiste à montrer que O^c est fermé).

3. On remplaceE parE =C_b⁰(R+) (espace des fonctions continues bornées sur R+), et on considère cette fois-ci O={f ∈E, f >0 surR+}. Cet ensemble est-il ouvert ?

Exercice 3. Soit (E,k · k) un espace vectoriel normé, etF un s.e.v. de E.

1. Montrer queF est un s.e.v. de E.

2. Donner un exemple oùF 6=F (il faudra choisirE également). Un tel exemple est-il possible siE est de dimension finie ?

3. Montrer l’équivalence

F˚6=∅ ⇔F =E.

Exercice 4. Soit E=C¹([0,1]) l’ensemble des fonctionsf : [0,1]→Rde classeC¹. On définit

∀f ∈E, kfk_C1 :=kfk_∞+kf⁰k_∞. 1. Montrer quek · k_C1 est une norme.

2. Soit(fn)n∈N une suite d’éléments deE, etf ∈E. Montrer que(fn)n∈Nconverge versf au sens de la normeC¹si et seulement si(f_n)n∈Nconverge uniformément versf et(f_n⁰)n∈Nconverge uniformément vers f⁰.

3. Montrer que(C¹([0,1]),k · k_C1) est un espace de Banach.

Exercice 5. Soit c0 =c0(N) l’ensemble des suites réelles qui converge vers 0.

1. Montrer quec₀ est un s.e.v. fermé de(`^∞(N),k · k) (c’est donc un espace de Banach).

2. Montrer que l’ensemble des suites à support fini (c’est-à-dire constantes égales à 0 à partir d’un certain rang) est dense dans c₀.

Exercice 6. [Norme d’application linéaire, Mars 2016]Soit(E,k · k_E)et(F,k · k_F)deux espaces vectoriels normés. On noteL(E, F) l’ensemble des applications linéaires continues deE versF.

1. Rappeler une définition de la norme d’une application linéaire continue T ∈ L(E, F), qu’on note kTk_L(E,F).

2. Montrer quek · k_L(E,F) est bien une norme sur L(E, F).

3. Rappeler (sans démonstration) les conditions sur les espacesE etF pour que l’espaceL(E, F)muni de la norme k · k_L(E,F) soit complet.

4. Dans le casE =F, on note L(E) =L(E, F). Montrer que si(T, S)∈ L(E)², alors kT◦Sk_L(E)≤ kTk_L(E)kSk_L(E).

5. On définitR[X]l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, etRn[X]le sous-espace vectoriel de R[X]des polynômes de degré inférieur ou égal àn, pourn∈N.

(a) On pose, si P =

deg(P)

X

n=0

a_nXⁿ, kPk = sup

0≤i≤deg(P)

|a_i|(par convention si P = 0 alors deg(P) =

−∞, et le précédent supest considéré égal à 0). Montrer quek · k est une norme surR[X].

Dans les questions suivantes, on munit les espaces R[X]et Rn[X]de cette normek · k.

(b) On pose∆l’application de dérivation sur les polynômes :

∆ : R[X] → R[X]

P 7→ P⁰ .

Montrer que∆est bien définie et linéaire. L’application∆est-elle continue ? Si oui, calculer sa norme dans L(R[X]).

(c) Etant donné n∈N, on considère∆_nla restriction de ∆à Rn[X]:

∆_n: Rn[X] → Rn[X]

P 7→ P⁰ .

Montrer que ∆_n est bien définie. L’application∆_n est-elle continue ? Si oui, calculer sa norme dansL(Rn[X]).

Exercice 7. 1. Soit E=R[X], muni de la norme kPk_∞:= sup_x∈[0,1]|P(x)|.

(a) Justifier qu’il s’agit bien d’une norme.

(b) Pour a∈R, on considère δa :R[X]→ R la forme linéaire définie par ∀P ∈ E, δa(P) =P(a).

Déterminer pour quels a∈R la forme linéaireδ_aest continue, et calculer kδ_ak dans ce cas.

2. SoitE=C⁰([0,1]).

(a) Montrer que l’applicationδ0 :f ∈E 7→f(0)∈Rest continue si on munitEde la normek · k_∞, mais n’est pas continue si on munit E de la norme k · k₁.

(b) On munitE de la norme uniforme. Soit φ:E→Rla forme linéaire définie par

∀f ∈E, φ(f) :=

Z 1/2 0

f(t)dt− Z 1

1/2

f(t)dt.

Montrer que φest continue, calculer sa norme, et montrer que cette norme n’est pas atteinte, c’est-à-dire qu’il n’existe pas de fonction f ∈E telle que kfk_∞= 1 et|φ(f)|=kφk.

(c) Refaire la question précédente en munissant E de la norme k · k₁.

Exercice 8. On travaille dans `<sup>∞</sup> := `^∞(N^∗) muni de la norme uniforme. On considère T : `<sup>∞</sup> → `^∞ défini par

∀x∈`^∞, T(x) =T(x₁, x₂, x₃, . . .) := (x₁/1, x₂/2, x₃/3, . . .) = (x_n/n)n∈N^∗. 1. Montrer queT est bien défini, et linéaire continu aveckTk= 1.

2. Montrer queT est injectif, mais non surjectif.

Exercice 9. [Mars 2015]On travaille dansE =R[X]. On rappelle qu’un polynôme peut toujours s’écrire P = P∞

k=0a_kX^k où il n’y a qu’un nombre fini de (a_k)k∈N qui sont non nuls. On pose alors kPk :=

sup_k∈N|a_k|.

1. Montrer que l’applicationk · k est bien définie et est une norme surE.

2. On pose pour n∈ N, P_n = Xⁿ. La suite (P_n)n∈N est-elle de Cauchy pour la norme k · k? Est-elle convergente ?

Pour x0 ∈R, on définitδx0 :P ∈R[X]7→P(x0)∈R, qui est clairement bien définie et linéaire.

3. Montrer que si x0 ∈ [0,1[, δx0 est continue, et calculer sa norme. Montrer que si x0 ∈ [1,∞[, δx0

n’est pas continue.

4. On pose pourn∈N,Q_n=Xⁿ/n!. Montrer que la sérieP

n∈NQ_nest absolument convergente, mais n’est pas convergente dans E. Que peut-on en déduire sur l’espace(E,k · k)?

Exercice 10. Soit E =C⁰([0,1])muni de la norme uniforme. Montrer qu’une forme linéaire T :E →R positive (c’est-à-dire satisfaisant ∀f ∈E, f ≥0⇒T(f)≥0) est continue.

Exercice 11. 1. Soit n∈ N^∗. Montrer que l’ensemble GL_n(R) des matrices inversibles est un ouvert dense deMn(R) (muni de sa topologie naturelle).

2. SoitE un espace de Banach. On considère L(E) l’espace des endomorphismes continus deE, muni de sa norme induite.

(a) Montrer que si u∈ L(E) vérifie kuk<1, alors Id−uest inversible, et que de plus k(Id−u)⁻¹k ≤(1− kuk)⁻¹.

(b) Montrer que l’ensemble des endomorphismes inversibles deL(E) est un ouvert deL(E).

Exercice 12. SoitE =C⁰([0,1]) muni de la norme uniforme. On définitT :E→E par

∀f ∈E, ∀x∈[0,1], T(f)(x) :=

Z x 0

f(t)dt.

1. Montrer queT est bien défini, linéaire continu, et calculer kTk.

2. Montrer que,

∀f ∈E, ∀n∈N, ∀x∈[0,1], |Tⁿ(f)(x)| ≤ xⁿ n!kfk_∞. En déduire la valeur de kTⁿk pourn∈N.

3. Montrer que pour toutλ∈R^∗,λId−T est inversible, et quek(λId−T)⁻¹k ≤ _|λ|¹ e^1/|λ|. Que peut-on dire pourλ= 0?

Exercice 13. Soit(E, d) un espace métrique.

1. (a) Montrer qu’un ensemble U ⊂E est dense si et seulement si U rencontre tout ouvert non vide de E.

(b) Etant donnéU et V deux ouverts denses de E, montrer queU ∩V est aussi un ouvert dense de E. Est-ce encore vrai siU etV ne sont plus nécessairement ouverts ?

On suppose désormais l’espace(E, d) complet.

2. [Théorème des fermés emboîtés] Soit (F_n) une suite de fermés non vides de E. On suppose que la suite (Fn)n∈N est décroissante pour l’inclusion, et que le diamètre de Fn converge vers 0 quand n tend vers l’infini. Montrer que l’intersection des (F_n)n∈N est non vide, réduite à un singleton.

3. (*)[Théorème de Baire]Montrer qu’une intersection dénombrable d’ouverts denses est dense.

4. En déduire qu’une réunion dénombrable de fermés d’intérieur vide est d’intérieur vide.

5. [Une application classique] Montrer queR[X]n’est complet pour aucune norme.

Exercice 14. [Problème d’optimisation en dimension infinie].On poseE =C⁰([0,1]), que l’on munit de la norme uniforme k · k_∞. On définit

G: E → R f 7→

Z 1 0

|f(x)|dx

1. MontrerGest bien définie et continue.

2. On poseF ={f ∈E, kfk∞≤2, f(0) = 1}. Montrer queF est fermé et borné.

3. Montrer queF n’est pas compact.

4. Etudier la question d’existence pour le problème de minimisation suivant :

f∈Finf G(f).

Exercice 15. [Cas particulier du théorème de Cauchy-Lipschitz].On pose E=C⁰([0,1]), que l’on munit de la norme uniforme k · k_∞. On définit

T : E → E

f 7→ T(f) définie par : ∀x∈[0,1], T(f)(x) = 1 +1 2

Z x 0

sin(f(t))dt

1. MontrerT est bien définie, et qu’il existe un unique élémenty ∈E tel queT(y) =y.

2. Montrer quey est de classeC¹ et vérifie l’équation différentielley⁰ = ¹₂sin(y), ety(0) = 1.

3. Montrer que sizest une fonctionC¹ satisfaisantz⁰ = ¹₂sin(z)etz(0) = 1, alorsT(z) =z. En déduire z=y.

Exercice 16. Soitdune métrique surR^[0,1]. On pose, pour toutn∈N^∗, C_n=B

0,1

n c

=

f ∈R^[0,1], d(f,0)≥ 1 n

.

1. Montrer qu’il existe n0 tel que Cn0 contient une infinité de fonctions qui sont indicatrices d’un singleton.

2. Montrer qu’on peut choisir une suite dansC_n0 qui converge simplement vers 0.

3. En déduire qu’il n’existe pas de métrique surR^[0,1]telle que la convergence pour cette métrique soit équivalente à la convergence simple sur[0,1].

Exercice 17. On considère l’espaceC⁰(R,R).

1. On pose

∀f, g∈C⁰(R,R), d(f, g) =X

n∈N

1

2ⁿmin(1,kf−gk_∞,[−n,n]).

Montrer que d est une métrique, et que la convergence pour d équivaut à la convergence uniforme sur tout compact de R.

2. Soitε >0. Montrer qu’il existe f ∈C⁰(R,R)\ {0} tel que pour toutλ∈R, d(λf,0)< ε.

3. En déduire qu’il n’existe pas de norme sur C⁰(R,R) telle que la convergence pour cette norme soit équivalente à la convergence uniforme sur tout compact de R.

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Topologie et Analyse Fonctionnelle

Feuille 2 : Espaces L^p

Sauf précision contraire,Ωdésigne un borélien deR^N, on travaille avec la mesure de Lebesgue surR^N, et la tribu considérée est celle des boréliens.

Exercice 1. Soientf etg: Ω−→Rdeux fonctions mesurables. On considère les fonctionsf⁺,f⁻définies par :

f⁺(x) = max(0, f(x)), f⁻(x) = max(0,−f(x)).

1. Montrer quef⁺, f⁻ sont mesurables, et que pour tout x de Ω,f⁺(x)f⁻(x) = 0etf(x) =f⁺(x)− f⁻(x)(les fonctionsf⁺ etf⁻ sont appelées respectivement partie positive et partie négative def).

Exprimer|f|en fonction def⁺ etf⁻.

2. Montrer que les définitions de f⁺ et f⁻ sont légitimes et que les mêmes propriétés restent vraies presque partout si f, g sont des classes d’équivalence de fonctions (disonsf, g∈L¹(Ω)).

Exercice 2. [Mars 2013]

1. (a) Pour quelles valeurs dep∈[1,∞]les fonctions suivantes sont-elles dans l’espace L^p(R)? f1:x7→1_Q(x) f2 :x7→e^−x f3:x7→x1[0,1](x)

f₄ :x7→ 1

x1]0,∞[(x) f₅:x7→ 1

x³1]1,∞[(x).

(b) Dans chaque cas, calculer les valeurs des normesL^p pour toutp∈[1,∞].

2. On pose pour toutn∈Net toutx∈R,

f_n(x) =√ n.e⁻ⁿ

2x2 2 .

(a) Etudier la convergence simple de(f_n)n∈N (i.e. dire si la suite de fonctions converge simplement et si oui, identifier la limite).

(b) Montrer que

fn−→0dans l’espace L¹(R).

(c) Calculer kf_nk₂ pour n ∈ N, et montrer que la suite (fn)n∈N n’a pas de limite dans l’espace L²(R).

Exercice 3. [Inclusion des espaces L^p(Ω)où Ω est de mesure finie]

1. Montrer que si Ωest borné alors |Ω|:= R

Ω1 dx <∞. Donner un exemple de Ω non borné tel que

|Ω|<+∞. Et Ωun ouvertnon borné tel que|Ω|<∞?

On suppose désormais que |Ω|<+∞.Soit (p, q)∈R² tel que 1≤p≤q ≤+∞.

2. Montrer les inclusions

L^∞(Ω)⊂L^q(Ω)⊂L^p(Ω)⊂L¹(Ω).

(On pourra donner une solution qui n’utilise pas l’inégalité de Hölder).

3. Montrer que siu∈L^q(Ω), alors u∈L^p(Ω)et

||u||_p≤(|Ω|)^1p−1q||u||_q.

En déduire que l’injection deL^q(Ω)dansL^p(Ω)est continue (et donc que la convergence dansL^q(Ω) implique la convergence dans L^p(Ω)).

4. Soitu∈L^∞(Ω), montrer quelimp→+∞||u||_p =||u||∞.

5. On ne suppose plus queΩest de mesure finie. Montrer que pour tout 1≤p≤+∞ on a L^p(Ω)⊂L¹_loc(Ω).

6. Montrer qu’aucune inclusion entreL^p(R) etL^q(R) (pour p6=q) n’est satisfaite.

Exercice 4. [Espaces de suite, Mars 2013] Pourp∈[1,∞[, on pose

`^p(N) =







a= (a_n)n∈N∈R^N, kak_p = X

n∈N

|a_n|^p

!¹_p

<∞





 et pour p=∞ on pose

`^∞(N) =

a= (a_n)n∈N∈R^N,kak_∞= sup

n∈N

|a_n|<∞

. 1. Montrer que pour tout1< p < q <∞,`<sup>1</sup>(N)⊂`^p(N)⊂`<sup>q</sup>(N)⊂`^∞(N) et que

∀a∈R^N,kak_∞≤ kak_q ≤ kak_p ≤ kak₁.

2. Montrer que les inclusions`<sup>1</sup>(N)⊂`^p(N)⊂`<sup>q</sup>(N)⊂`^∞(N) (avec1< p < q < ∞) sont strictes.

3. On définit

T : `<sup>2</sup>(N) −→ `¹(N) a 7−→ (_n+1^an )n∈N

Montrer queT est bien défini et linéaire continu (on munit naturellement les espaces `<sup>1</sup>(N) et`²(N) des normes k · k₁ etk · k₂ respectivement). CalculerkTk<sub>L(`</sub>2(N),`¹(N)).

Exercice 5. [Inégalité de Hölder généralisée] On considère des réels p, q et r tels que p ≥ 1, q ≥ 1 et

1

r = ¹_p +¹_q. Soientf ∈L^p(Ω)etg∈L^q(Ω). Montrer que f g∈L^r(Ω)et que

||f g||_r≤ ||f||_p||g||_q.

Exercice 6. Soit p∈[1,∞[,(f_n)n∈N une suite d’éléments de L^p(Ω), etf ∈L^p(Ω).

1. Est-il vrai que sikf_nk_p →

n→∞kfk_p, alorsf_n converge versf dansL^p(Ω)? Et la réciproque ? 2. Est-il vrai que sifn →

n→∞f p.p., alors fnconverge versf dansL^p(Ω)? 3. Montrer que si on suppose(fn)n∈N bornée dansL^p(Ω)etfn →

n→∞f p.p., alors f ∈L^p(Ω).

4. On suppose ici p = 1, f_n → f p.p. et kf_nk₁ → kfk₁ quand n → ∞. Montrer que f_n →

n→∞f dans L¹(Ω).(On pourra introduire gn=|f_n|+|f| − |f_n−f|).

Exercice 7. [Mars 2012]Soient p∈]1,+∞[,(f_n)n∈N une suite d’éléments de L^p(Ω)et(g_n)n∈Nune suite d’éléments de L^p0(Ω). On suppose qu’il existe f ∈L^p(Ω)etg∈L^p0(Ω)tels que

fn −→

n→∞f dans L^p(Ω) et gn −→

n→∞g dansL^p0(Ω). (1)

1. Montrer que la fonctionf g, ainsi que les fonctionsfngn avec n∈N, sont dans L¹(Ω).

2. Montrer que la suite(f_ng_n)n∈Nconverge vers la fonction f g dansL¹(Ω).

3. On suppose dans cette question queΩest borné. Montrez que pour tout n∈N,f_n∈L¹(Ω), et que fn converge versf dans L¹(Ω).

4. Soitq ∈]1,∞[avec q 6=p. On suppose, en plus de (1), que pour tout n, fn∈L^q(Ω) et que la suite (fn)n∈N est de Cauchy dans L^q(Ω). Montrer que f est dans L^q(Ω) et quefn converge vers f dans L^q(Ω).

Exercice 8. [Mars 2012] On pose,∀x∈R,∀n∈N^∗, α_n(x) = _2n¹ 1[−n,n](x).

1. Montrer que pour toutn∈N,αn∈L¹(R)∩L²(R), et queαn −→

n→∞0dansL²(R).

2. Montrer que la suite(αn)n∈N n’a pas de limite dansL¹(R).

3. Soit f ∈ L¹(R)∩L²(R). On pose ∀n ∈ N, ∀x ∈ R, f_n(x) = f(x)−Iα_n(x) où I = R

Rf(y)dy.

Montrer que f_n −→

n→∞f dansL²(R).

4. On pose

A=

f ∈L¹(R)∩L²(R), Z

R

f(x)dx= 0

. Montrer que A est dense dansL²(R).

5. Montrer queA n’est pas dense dansL¹(R).

Exercice 9. Soit p∈[1,+∞[.

1. Montrer queL¹(Ω)∩L^∞(Ω)⊂L^p(Ω)et que pour toutf ∈L¹(Ω)∩L^∞(Ω)

||f||_p ≤(||f||₁)^1p(||f||_∞)^1−1p.

2. Soitf ∈L^p(Ω). Montrer qu’il existe une suite (gn)n∈N qui converge vers f dansL^p(Ω)et telle que pour tout n∈N, g_n∈L^∞(Ω)etg_nest à support compact.

(Ici on demande de répondre à la question sans utiliser le résultat de densité de C_c⁰(Ω)dans L^p(Ω)) 3. En déduire queL¹(Ω)∩L^∞(Ω)est dense dansL^p(Ω)et queL¹(Ω)∩L²(Ω)est dense dans L²(Ω).

Exercice 10. [Mai 2012]Soit1≤p≤+∞. Etant donnéf ∈L^p(]0,+∞[), on pose

∀x∈]0,+∞[, F(x) = Z x

0

f(t)dt.

1. Montrer queF est bien définie et continue sur ]0,+∞[.

2. Dans le casp= +∞, montrer que F est lipschitzienne.

3. Dans le cas1< p <+∞, montrez queF est γ-hölderienne pour un certain exposantγ ∈]0,1[qu’on donnera explicitement en fonction dep.

(Etant donné γ ∈]0,1], on dit qu’une fonction g:]0,+∞[→Restγ-hölderienne s’il existe M ∈R tel que

∀x, y∈]0,+∞[², |g(x)−g(y)| ≤M|x−y|^γ. Si γ = 1, on retrouve la définition d’une fonction lipschitzienne.)

4. Dans le casp= 1, montrer que F est continue.

Exercice 11. [Loi des grands nombresL⁴]SoientX₁, X₂. . . , X_n, . . .des v.a.r.i.i.d. centrées admettant un moment d’ordre 4. On note Sn=X1+. . .+Xn.

1. CalculerE(S_n⁴) en fonction des moments d’ordre 2 et 4 desXi. 2. En déduire queSn/nconverge vers 0 dans L⁴ et dansL¹. 3. Montrer que

E X

n∈N

S_n n

4!

<∞.

et en déduire que Sn/nconverge p.s. vers 0

4. Montrer que si les v.a. (Xn)n∈N ne sont plus équidistribuées, mais toujours centrées et telles que (E(X_n⁴))n∈Nest bornée uniformément enn(on dit que(Xn)n∈Nest bornée dansL⁴), le résultat reste vrai.

Exercice 12. [Lemme de Riemann-Lebesgue]Soit f ∈L¹(0,2π). Pour tout n∈N on pose In=

Z 2π 0

f(t)e^intdt Montrer que I_n→0 quandn→ ∞.

Exercice 13. [Inégalité de Hardy, Mai 2013] Soitp∈]1,+∞[. Pour f :]0,+∞[→R, on définit

∀x∈]0,+∞[, H(f)(x) = 1 x

Z x 0

f(t)dt.

1. On suppose dans cette question quef est une fonction continue à support compact dans ]0,+∞[.

On pose F =H(f).

(a) Montrer que F est bien définie, et appartient à L^p(]0,+∞[).

(b) Montrer queF est dérivable sur ]0,+∞[et satisfait

∀x∈]0,+∞[, xF⁰(x) +F(x) =f(x).

(c) En déduire l’égalité :

Z ∞ 0

F(x)^pdx= p p−1

Z ∞ 0

F(x)^p−1f(x)dx.

(d) On suppose, en plus des hypothèses précédentes, quef est positive. Montrer : kFk_p ≤ p

p−1kfk_p.

(e) Généraliser l’inégalité précédente dans le cas où l’on ne suppose plus f ≥0.

2. Montrer que l’applicationH : (C_c⁰(]0,+∞[),k · k_p)→(L^p(]0,+∞[),k · k_p) est linéaire continue.

3. Montrer que H se prolonge de manière unique en un endomorphisme continu de L^p(]0,+∞[) et satisfait alors (en notant encore H ce prolongement) :

∀f ∈L^p(]0,+∞[), kH(f)k_p≤ p

p−1kfk_p.

Exercice 14. [Mars 2016]On travaille dans l’ouvert]0,1[muni de la tribu des boréliens, et de la mesure de Lebesgue. Soit p∈]1,∞[.

1. Montrer que sif ∈L^p(0,1), alors |f|^p−1∈L^p0(0,1).

2. Montrer que si(f_n)n∈N est une suite d’éléments deL^p(0,1)qui converge versf ∈L^p(0,1)en norme L^p, et siϕ∈L^p0(0,1), alors

Z 1 0

f_n(x)ϕ(x)dx−−−−−→

n→+∞

Z 1 0

f(x)ϕ(x)dx.

On définit, pour n∈N^∗ :

g_n(x) =















1 si x∈

n−1

[

k=0

2k

2n,2k+ 1 2n

−1 si x∈

n−1

[

k=0

2k+ 1

2n ,2k+ 2 2n

.

3. Dessinerg3. 4. Soitϕ∈C⁰([0,1]).

(a) Montrer que

Z 1 0

gn(x)ϕ(x)dx=

n−1

X

k=0

Z ^2k+1

2n

2k 2n

ϕ(x)−ϕ

x+ 1 2n

dx.

(b) En déduire que

Z 1 0

g_n(x)ϕ(x)dx−−−−−→

n→+∞ 0.

5. (a) Montrer que pour tout ϕ∈L^p0(0,1), Z 1 0

gn(x)ϕ(x)dx−−−−−→

n→+∞ 0.

(b) Montrer que la suite(g_n)n∈Nne converge pas dansL^p(0,1)(on pourra commencer par montrer que si (gn) avait une limite dans L^p(0,1), alors celle-ci serait nulle presque partout).

Exercice 15. Soit(a, b)∈R² tels quea < b. ConsidéronsK ∈L²([a, b]×[a, b])tel que kKk²_L2([a,b]²)=

Z b a

Z b a

|K(x, y)|²dxdy <1.

1. Soith∈L²([a, b]). Montrer que x7→Rb

aK(x, y)h(y) dy

est bien définie et appartient àL²([a, b]).

2. On définit la fonctionnelle

T : L²([a, b])−→L²([a, b]) comme suit : pour h∈L²([a, b]),T h est la fonction :

x7→T h(x) = Z _b

a

K(x, y)h(y) dy

Montrer que T est une application linéaire continue.

3. Soitg∈L²([a, b]). Montrer qu’il existe un uniqueh∈L²([a, b])tel que h−T h=g.

Exercice 16. 1. Soientλetµdeux nombres réels. Montrer que les fonctionsf :x7→e^λxetg:x7→e^µx n’admettent jamais de produit de convolution.

2. On posef :x7→e^x etg:x7→e^−2|x|. Calculerf ∗g.

3. On posef :x7→sin(πx) etg:x7→1[−1,1](x). Calculerf∗g.

4. Montrer que si f est à support compact et g est T-périodique, T ∈ R, alors f ∗ g existe et est T-périodique.

Exercice 17. Soientf ∈L^p(R) avec p∈[1,∞]etg∈L^q(R) oùq est le conjugué dep.

1. Montrer que la fonctionx 7→(f ∗g)(x) est bien définie en tout point deR, et est continue, bornée, et que ||f∗g||_∞≤ ||f||_p||g||_q.

2. Montrer que sip∈]1,∞[, alors f∗g(x)→0 quandx→ ±∞.

Indication : pensez d’abord aux fonctions continues à support compact.

3. Sip∈ {1,∞}, a-t-on encoref ∗g(x)→0 quandx→ ±∞?