Feuille de TD 3 : Espaces de Sobolev.

Institut Galil´ee 2018-2019 M1 Math´ematiques Fondamentales

Distributions temp´er´ees et espaces de Sobolev

Feuille de TD 3 : Espaces de Sobolev.

Exercice 1

Etudier l’appartenance des distributions suivantes `´ a l’espace de Sobolev H^s(R^d) en fonction de s∈ R et de d ≥ 1 : δ₀, δ⁰₀, δ^(k)₀ (k ∈ N^d). Puis, pour d = 1, H la fonction de Heaviside.

Exercice 2

Soitu∈L²(R^d) telle que ∆(∆u) + 2∆u−u∈L²(R^d) o`u

∆ =Pd

j=1∂_j². Montrer queu∈H⁴(R^d).

Exercice 3

Soit λ > 0. Montrer que l’op´erateur diff´erentiel P =

−∆ +λest un isomorphisme deH^s+2(R^d) dansH^s(R^d) pour touts∈R.

Exercice 4

Pour f ∈ S⁰(R) ett≥0, on poseu(t) =F⁻¹(e^−tξ2fb).

1. Montrer que pour toutt≥0,u(t)∈ S⁰(R).

2. Montrer que sif ∈H^s(R) alors, pour toutt≥0, on a u(t)∈H^s(R) et

||u(t)||_Hs(R)≤ ||f||_Hs(R).

3. On suppose que f ∈ L²(R). On note D_x = ¹_i∂x^∂ . Montrer que, pour tout t > 0 et tout k ∈ N, on a D^k_xu(t) ∈ L²(R) et qu’il existe une constante Ck > 0 telle que

||D_x^ku(t)||L²(R)≤ C_k

t^k/2||f||L²(R).

4.a. On suppose quef ∈L¹(R). Montrer que pour tout t >0, on a

u(t) = 1

√4πt Z

R

e^{−(x−y)24t} f(y)dy.

Indication : On pourra utiliser que la transform´ee de Fourier de u : x 7→ e^−ax2 pour a > 0 est donn´ee par u(ξ) =b

√π

√ae^−ξ

2 4a.

b. En d´eduire une majoration deu(t) dansL^∞(R) pour t >0.

5. On suppose quef ∈L¹(R) et quexf ∈L¹(R).

a. Montrer quefb∈C¹(R)∩L^∞(R).

b. Montrer que pour toutξ∈R, on a

|fb(ξ)−fb(0)| ≤ |ξ| ||xf||_L1(R).

c. On posev(t, ξ) = (fb(ξ)−fb(0)) e^−12tξ2. Montrer qu’il existeC >0 telle que

|v(t, ξ)| ≤ C

√t||xf||_L1(R).

d. En d´eduire que l’on peut ´ecrire

∀x∈R, u(t)(x) = 1

√4πt Z

R

f(x)dx

e^−x

2

4t +R(t)(x) o`u R(t) ∈ L^∞(R) et qu’il existe une constante C > 0 telle que

∀t >0, ||R(t)||_L^∞_(R)≤C

t||xf||_L1(R).

Exercice 5

Soitu∈H¹(R^d). Pourε >0, on poseu_ε=p

|u|²+ε². 1. Montrer queu_ε∈ S⁰(R^d) et que

∇uε= Re(¯u∇u) p|u|²+ε².

2. Montrer que∇uεconverge dansL²(R^d) lorsqueεtend vers 0, et d´eterminer sa limite.

3. Montrer que u_ε tend vers |u| dans S⁰(R^d) lorsque ε tend vers 0. En d´eduire que|u| ∈H¹(R^d) et que

||∇|u| ||_L2≤ ||∇u||_L2.

Exercice 6 - Param´etrixe des op´erateurs ellip- tiques

Soit P = P

|α|≤maαD^α avec D = ¹_i∂x^∂ pour x ∈ R^d. P est un op´erateur diff´erentiel `a coefficients constants, d’ordrem, surR^d.

On associe `aP le polynˆomepd´efini par : p(ξ) = X

|α|≤m

aαξ^α,

puis on pose : p_m(ξ) =P

|α|=ma_αξ^α. On dit alors que l’op´erateurP est elliptique si : pm(ξ) = 0⇒ξ= 0.

1. Montrer qu’il existe C₀ >0 tel que |p_m(ξ)| ≥C₀|ξ|^m puis qu’il existeC1>0 etR >0 tels que|p(ξ)| ≥C1|ξ|^m pour|ξ| ≥R.

2. Soit χ ∈ C₀^∞(R^d), χ = 1 sur {|ξ| ≤ R}. On pose v(ξ) =^1−χ(ξ)_p(ξ) .

Montrer que v ∈ S⁰(R^d) et en d´eduire qu’il existe E ∈ S⁰(R^d) etω∈ S(R^d) tels que : P E=δ₀+ω.

On dit queE est une param´etrixe de P.

3. Soit β ∈ N^d. Montrer qu’il existe α ∈ N^d tel que

∂^β(x^αE) soit continue.

En d´eduire queE∈C^∞(R^d\ {0}).

4. Soitf ∈C^∞(R^d). Montrer que siu∈ S⁰(R^d) est telle queP u=f, alorsu∈C^∞(R^d).

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