Feuille de TD 3.

Ecole Sup Galil´´ ee 2018-2019 Fili`ere MACS2

Th´eorie des distributions

Feuille de TD 3.

Rappels Exercice 1

Calculer le support des distributions suivantes. Pour ϕ∈C₀^∞(R),

< T, ϕ >=

Z

R

ϕ(x²)dx,

< S, ϕ >=

Z ∞

0

ϕ⁰(x) log(x)dx,

< V, ϕ >=

Z

R

ϕ(x, h(x))dx, (o`uh:R→Rest unC¹-diff´eormorphisme).

Pour ϕ∈C₀^∞(R²),

< U, ϕ >=

Z ∞

0

(ϕ(1/t²,sint)−ϕ(0,sint))dt.

Exercice 2

1. R´esoudre, dans l’ensemble des fonctions localement int´egrables surR, l’´equation diff´erentielle : 2xu⁰−u= 0.

2.SoitT ∈ D⁰(R) une solution de l’´equation 2xT⁰−T = 0. SoitT₁sa restriction `aD⁰(R^∗+) et soitT₂sa restriction

`

a D⁰(R^∗−).

a. CalculerT₁ etT₂.

b.SoitS=T−T₁−T₂. V´erifier que le support deS est inclus dans {0}.

c. SoitR=Pp

k=0akδ^(k)∈ D⁰(R) o`u les ak sont dansC. Montrer que : 2xR⁰−R= 0 ⇐⇒ R= 0.

d. En d´eduire les solutions dans D⁰(R) de l’´equation 2xT⁰−T = 0.

3. R´esoudre, dansD⁰(R), l’´equation diff´erentielle : 2xT⁰−T =δ₀.

Convolution des distributions Exercice 3

1. Calculerδ₀⁰ ? δ⁰₀ pourδ₀∈ D⁰(R).

2. SoitT ∈ D⁰(R). Montrer qu’il existe une distribution E ∈ D⁰(R), `a support compact, telle queE ? T =T^(k).

3.SoientT etSdansD⁰(R),S´etant suppos´ee `a support compact. Pourn∈N, on d´esigne par Xⁿ la fonction de RdansR,x7→xⁿ. D´emontrer la formule suivante :

Xⁿ(T ? S) =

n

X

k=0

C_n^k(X^kT)?(X^n−kS).

Exercice 4

Calculer les produits de convolutionδ⁰∗1 etδ⁰∗H. Cal- culer ensuite (1∗δ⁰)∗H et 1∗(δ⁰∗H). Qu’est-ce qu’on peut remarquer ?

Exercice 5 - ´Equation de la chaleur

Soit H la fonction indicatrice de R^∗+. On consid`ere la fonction surR²donn´ee par :

∀(x, t)∈R², E(x, t) = H(t)

√4πte^−x

2 4t.

1.Montrer queE d´efinit une distribution surR². 2.Montrer que, pour toutt >0 et toutx∈R,

∂t

1

√ 4πte^−x

2 4t

=∂_xx² 1

√ 4πte^−x

2 4t

.

3.Soitε >0. Soitϕ∈C₀^∞(R²). On pose :

Iε=− Z

R

Z +∞

ε

e^−x

2

√ 4t

4πt∂tϕ(x, t) dtdx, et

J_ε=− Z

R

Z +∞

ε

e^−x4t2

√4πt∂_xx² ϕ(x, t) dtdx.

a.CalculerI_ε+J_ε.

b. En effectuant le changement de variable y = ^√x_ε, d´eterminer la limite, lorsqueεtend vers 0, deIε+Jε. Indication : on pourra utiliser que R

Re^−u

2 4 du=

√π 2 . 4.Calculer (∂_t−∂²_xx)E dansD⁰(R²).

5.En d´eduire une solutionu∈ D⁰(R²) de l’´equation aux d´eriv´ees partielles :

∂_tu−∂_xx² u=f, o`uf ∈ D<sup>0</sup>(R<sup>2</sup>) est `a support compact.

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