(1)Th´eorie simplifi´ee de la Lune 1

Th´eorie simplifi´ee de la Lune

1. Montrer qu’en consid´erant la perturbation due au Soleil, l’´equation du mouvement de la Lune autour de la Terre s’´ecrit

d²−→r dt² =−µ

−

→r

|−→r |³ + grad^−→r (R) avec

R =Gm⊙





 1

−

→r^′ − −→r

−

−

→r^′.−→r

−

→r^′

3





 et µ=G(m⊕+m^L)≈Gm⊕

2. Montrer que

R= Gm⊙

r^′

1 + 1 2

r r^′

²

3 cos²ψ−1 +O

r r^′

³

3. Sachant que l’excentricit´e de l’orbite lunaire e et l’inclinaison de son plan orbital i sont petites (e= 0.054 eti= 5^◦9^′ = 0.09rad), `a l’ordre le plus bas on trouve

r a

²

=

1−e² 1 +ecosf

²

≈1 + 3

2e² et 3 cos²ψ−1

≈ 1 2

1− 3

2i²

En d´eduire que

R ≈k(n^′, a^′, r^′) + n^′2a² 4

1 + 3

2e²− 3 2i²

o`u l’on a introduit le moyen mouvement solaire n^′.

4. On pose nΩ = dΩ/dt (moyen mouvement du noeud ascendant lunaire), n^ω = dω/dt (moyen mouvement du p´erig´ee lunaire) et n^ω˜ = n^ω +n^Ω (moyen mouvement sid´eral).

Montrer que nΩ ≈ −n^ω/2.

5. Calculer les valeurs de

TΩ = 360^◦

n^Ω et Tω˜ = 360^◦ n^ω˜ 1

les p´eriodes respectives de r´etrogradation de la ligne des noeuds lunaires sur l’´ecliptique et de r´evolution sid´erale du p´erig´ee. Les observations fournissent TΩ = 18.60 ans et T^ω˜ = 8.85 ans.

A.N. T^L= 27j 7h 43min 11,5s T⊙ = 365j 6h 9min 34,7s

m^L= 7,3.10²²Kg m⊙ = 1,2.10³⁰Kg m⊕= 6.10²⁴Kg e= 1/18,21 i= 5^◦8 min 43s

2