Quelle est l’expression simplifi´ee de la somme

Lyc´ee Schuman Perret

Mars 2021 s´erie d’exercices No 11 _{Cira 2}

EXERCICE 1 A propos des s´eries g´eom´etriques 1. Quelle est lim

n→+∞qⁿ lorsque|q|<1 ? 2. Que vautSn= 1 +q+q²+· · ·+qⁿ=

n

P

k=0

q^k lorsque |q|<1 ? 3. Quelle est lim

n→+∞Sn lorsque|q|<1 ?

EXERCICE 2 En utilisant les d´eriv´ees

1. Quelle est l’expression simplifi´ee de la somme

+∞

P

n=0

xⁿlorsque |x|<1 ?

2. En admettant que l’on puisse utiliser _+∞

P

n=0

f^{n ′}

=

+∞

P

n=0

fn^′ d´eterminer une expression simplifi´ee de

+∞

P

n=0

nxⁿ

EXERCICE 3 Vers les transform´ees.

1. Donner une expression de

+∞

P

n=0

z⁻ⁿ en fonction de z pour|z|>1 ? 2. Repr´esenter graphiquement l’ensemble des complexesz tels que|z|>1 3. Donner une expression de

+∞

P

n=0

aⁿz⁻ⁿ en fonction de z pour|z|>|a|? 4. Repr´esenter graphiquement l’ensemble des complexesz tels que|z|>|a|

5. Donner une expression de

+∞

P

n=0

nz⁻ⁿ en fonction de zpour |z|>1 ?

EXERCICE 4 On appelle

• ´echantillonn´eede la fonction causale f, la suite de valeurs (f(n)) pourn∈N

• transform´ee en z de la suite (Un) d´efinie sur N, la fonction F de la variable complexe z d´efinie par F(z) =

+∞

P

n=0

Unz⁻ⁿ.

Par extension, on appelle transform´ee d’une fonction causale, la transform´ee de son ´echantillonn´ee.

Ecrire les transform´ees en´ z des fonctions suivantes : 1. la fonction ´echelon unit´e¹.

2. la fonction rampe de pente 1.

3. la suite (aⁿ)

1. On noterae(n) son ´echantillonn´ee.

St´ephane Le M´eteil Page 1 sur2

Lyc´ee Schuman Perret

Mars 2021 s´erie d’exercices No 11 _{Cira 2}

EXERCICE 5 Avec les formules d’Euler², on dispose de cos(x) = e^ix+e^−ix

2 et sin(x) = e^ix−e^−ix 2i 1. Donner une expression de

+∞

P

n=0

(e^ix)⁻ⁿ en admettant la convergence de la s´erie.

2. En d´eduire les transform´ees des fonctionst7→cos(ωt)U(t) ett7→sin(ωt)U(t) o`u U(t) =

1 sit>0 0 sit <0

EXERCICE 6 On appelle avanc´ee d’un cran la suitecausale (Un+1) 1. Montrer que la transform´ee de (Un+1) est ´egale `a

+∞

P

n=1

Unz⁻ⁿ⁺¹

2. En d´eduire l’expression de la transform´ee enz de (Un+1) 3. En d´eduire l’expression de la transform´ee enz de (Un+2) 4. D´eterminer l’expression de la transform´ee enz de (Un−1)

Dans la suite, on d´ecide de noter U(n) le terme Un. C’est la notation fonctionnelle par opposition `a lanotation indicielledu terme g´en´eral de la suite U.

EXERCICE 7 On consid`ere la suite U, causale, d´efinie par U(0) = 3 et l’´egalit´e (E) : U(n+ 1) = 2

3U(n) + 3e(n) o`un∈N. 1. Calculer les valeurs des termesU−1,U0, U1 etU2.

2. Ecrire la transform´ee de (E), on notera´ z→F(z) la transform´ee de U 3. Montrer queF(z) = 3z

z−²₃ + 3z (z−1)(z−²₃)

4. D´eterminer les r´eelsA etB pour queG(z) = 3

(z−1)(z−²₃) = A

z−1 + B z−²₃ 5. En d´eduire queF(z) = 9× z

z−1−6× z z−²₃

6. A l’aide de votre table des transform´ees usuelles, retrouver l’expression deU(n) en fonction den V´erifier que les r´esultats co¨ıncidents avec ceux de la question 1.

7. En d´eduire la valeur deL= lim

n→+∞U(n)

8. D´eterminer la premier entiern0 `a partir duquel Un approcheL`a 10⁻⁴ pr`es.

2. Leonhard Euler, n´e le 15 avril 1707 `a Bˆale et mort `a 76 ans le 7 septembre 1783 `a Saint-P´etersbourg, est un math´ematicien et physicien suisse.

St´ephane Le M´eteil Page 2 sur2