Th´eorie de l’int´egration Licence de Math´ematiques, 3`eme ann´ee

Th´ eorie de l’int´ egration

Licence de Math´ematiques, 3`eme ann´ee

Table des mati` eres

Chapitre 1. Vocabulaire 5

1. D´enombrabilit´e 5

2. La “droite num´erique achev´ee” 8

3. Somme d’une famille de nombres positifs 11

4. Notations et terminologie “ensemblistes” 13

Chapitre 2. Ensembles bor´eliens et mesures bor´eliennes 17

1. Pourquoi ? 17

2. Tribu bor´elienne d’un espace m´etrique 20

3. Mesures bor´eliennes 25

4. La mesure de Lebesgue sur R^N 29

5. Ensembles n´egligeables ; propri´et´es vraies presque partout 32

6. Mesure de Lebesgue et aire intuitive 34

Chapitre 3. Applications bor´eliennes 39

1. D´efinition et crit`eres de “bor´eliennet´e” 39

2. Propri´et´es de stabilit´e 42

3. Fonctions ´etag´ees 44

Chapitre 4. Int´egration surR: formalit´es 47

1. Int´egrale des fonctions bor´eliennes positives 47 2. Int´egrale des fonctions `a valeurs r´eelles ou complexes 53

3. Int´egrale au sens Riemann 58

Chapitre 5. Int´egration surR: aspects concrets ´el´ementaires 63

1. Cadre et notations 63

2. Des choses tr`es importantes `a ne pas oublier 64 3. Passage `a la limite dans les bornes d’int´egration 67

4. Crit`eres d’int´egrabilit´e 69

5. Int´egrales “g´en´eralis´ees” 71

6. Comparaison s´erie-int´egrale 74

7. Une formule de changement de variable g´en´erale 76 Chapitre 6. Th´eor`emes de convergence et applications 79

1. Les deux r´esultats principaux 79

2. Caract´erisation de l’int´egrabilit´e au sens de Riemann 88

3. Fonctions d´efinies par des int´egrales 91

4. Deux exemples d’utilisation des th´eor`emes 97

Chapitre 7. Int´egration dansR^N 101

1. D´efinition de l’int´egrale 101

2. Int´egrales it´er´ees 102

3

3. Changements de variables 111

Chapitre 8. Int´egration abstraite 127

1. Espaces mesur´es et fonctions mesurables 127

2. D´efinition de l’int´egrale 129

3. Th´eor`emes de convergence 136

Chapitre 9. EspacesL^p 139

1. Semi-normes } ¨ }p et espaces L^p 139

2. Les espaces L^p, 1ďpď 8 143

3. L’in´egalit´e de H¨older 148

4. R´esultats de densit´e 157

Chapitre 10. Convolution et transformation de Fourier 161

1. Translations et sym´etries surL^ppRq 161

2. Produit de convolution 162

3. Transformation de Fourier 171

Chapitre 11. Th´eorie de la mesure “s´erieuse” 183

1. Classes monotones 183

2. R´egularit´e 186

3. Construction de mesures 189

4. Mesures produits et th´eor`eme de Fubini “g´en´eral” 198

Chapitre 1

Vocabulaire

1. D´enombrabilit´e

1.1. Ensembles d´enombrables. Un ensemble D est dit d´enombrable si ou bien D “ H, ou bien on peut ´enum´erer les ´el´ements de D comme les termes d’une suite, i.e.´ecrireD“ tx0, x1, x2, . . .u “ txn; nPNu. Si D‰ H, il revient au mˆeme de dire qu’il existe une surjection s:NÑDde Nsur D(on prend alors x_n:“spnq).

Exemple 1. Par d´efinition, Nest d´enombrable.

Exemple 2. Zest d´enombrable carZ“ t0,1,´1,2,´2, . . .u.

Remarque 1. Tout ensemble fini est d´enombrable : si D “ ta1, . . . , aNu, on peut

´

ecrire D“ ta₁, . . . , a_N, a_N, a_N, . . .u.

Remarque 2. En fait, un ensemble Dest d´enombrable si et seulement si il est fini ou en bijection avec N.

D´emonstration. Il suffit de montrer que tout ensemble d´enombrable infiniDest en bijection avec N. En ´ecrivant D“ tx0, x1, x2, . . .u, on d´efinit une bijection σ :NÑD en posant σp0q “ x₀ et σpnq “ x_ipnq pour n ě 1, o`u ipnq est le plus petit entier iąipn´1q tel quex_i ‰x_j pour tout jăi(v´erifier).

Remarque 3. Tout sous-ensemble d’un ensemble d´enombrable est d´enombrable.

D´emonstration. Soit D¹ une partie d’un ensemble d´enombrable D. Si D¹ “ H, il n’y a rien `a d´emontrer ; on suppose donc D<sup>1</sup> ‰ H et on choisit un point a P D<sup>1</sup>. Si D “ tx0, x1, x2, . . .u, on peut alors ´enum´erer D<sup>1</sup> comme D<sup>1</sup> “ tx<sup>1</sup><sub>0</sub>, x<sup>1</sup><sub>1</sub>, x<sup>1</sup><sub>2</sub>, . . .u, o`u x¹_n“x_n si x_nPD¹ etx¹_n“asix_nRD¹. Remarque 4. Si on peut ´ecrire D “ tx_i; i P Iu avec un ensemble d’indices I d´enombrable, alorsD est d´enombrable.

D´emonstration. C’est ´evident : comme I est d´enombrable, on peut ´ecrire I “ ti0, i1, i2, . . .u, et doncD“ tz0, z1, z2, . . .u o`u zn:“xin.

Proposition 1.1. L’ensemble NˆNest d´enombrable.

D´emonstration. On peut ´enum´ererNˆNen “serpentant” le long des anti-diagonales

∆i :“ tpm, nq; m`n“iu, iPN; autrement dit, en ´ecrivant

NˆN“ tp0,0q,p1,0q,p0,1q,p0,2q,p1,1q,p2,0q,p3,0q,p2,1q, . . .u.

Corollaire 1.2. Tout produit finid’ensembles d´enombrables est d´enombrable : si D1, . . . , DN sont d´enombrables, alorsD1ˆ ¨ ¨ ¨ ˆDN aussi.

5

D´emonstration. Par une r´ecurrence instantan´ee, il suffit de traiter le casN “2 ; et ce cas d´ecoule imm´ediatement de la proposition puisqueD1ˆD2 s’´enum`ere parNˆN

si D₁ etD₂ sont d´enombrables.

Corollaire 1.3. Q est d´enombrable.

D´emonstration. C’est clair puisqueQ“ ^p_q; pp, qq PZˆN^˚(

.

Corollaire 1.4. Toute r´eunion d´enombrable d’ensembles d´enombrables est un ensemble d´enombrable : si pA_iqiPI est une famille d’ensembles d´enombrables index´ee par un ensemble I lui mˆeme d´enombrable, alorsA“Ť

iPIAi est d´enombrable.

D´emonstration. Pour tout iP I, on choisit une ´enum´eration deA_i par N, disons Ai“ txi,n; nPNu. AlorsA“ txi,n; pi, nq PIˆNu, doncAest d´enombrable carIˆN

l’est.

Exemple 3. Rn’est pas d´enombrable.

D´emonstration. Il existe de nombreuses preuves de ce fait essentiel. Voici une des plus exp´editives : si x P R, alors Rztxu est un ouvert dense de R car R n’a pas de point isol´e ; par cons´equent, siD“ txn; nPNuest une partie d´enombrable deR, alors RzD “ Ş

nPNRztx_nu est une intersection d´enombrable d’ouverts denses, et est donc encore dense dans R par leth´eor`eme de Baire; en particulier, RzD‰ H.

Exemple 4. L’ensemble t0,1u^N de toutes les suites infinies de 0 et de 1 n’est pas d´enombrable.

D´emonstration. Soit D “ txn; n P Nu une partie d´enombrable quelconque de t0,1u^N. Il s’agit de montrer que D‰ t0,1u^N, autrement dit de trouverxP t0,1u^N qui soit diff´erent de tous lesxn. Si on ´ecrit chaque xn sous la forme

x_n“ px_np0q, x_np1q, x_np2q, . . .q,

il suffit de d´efinir x “ pxp0q, xp1q, xp2q, . . .q de sorte que x diff`ere de xn sur la coor- donn´ee d’indice n, pour toutnPN. Autrement dit, on pose pour tout nPN :

xpnq “

"

1 si x_npnq “0, 0 si xnpnq “1.

Remarque. Cette m´ethode de d´emonstration, dˆue `a Cantor, s’appelle lam´ethode de la diagonale. La raison est la suivante : si on ´ecrit les suites x₀, x₁, . . . en ligne, on obtient le tableau infini

x0p0q x0p1q x0p2q . . . x₁p0q x₁p1q x₁p2q . . . x2p0q x2p1q x2p2q . . . . . . ..

La suite x“ pxp0q, xp1q, xp2q, . . .q de la preuve pr´ec´edente est la suite obtenue en changeant tous les 0 en 1 et tous les 1 en 0 dans la diagonale de ce tableau.

Exercice 1. Soit ϕ:t0,1u^NÑRl’application d´efinie par ϕpαq “

8

ÿ

n“0

α_n

3ⁿ pour α“ pα₀, α₁, α₂, . . .q P t0,1u^N.

1. D ´ENOMBRABILIT ´E 7

Montrer que siα‰α¹, alors|ϕpαq ´ϕpα¹q| ě _2ˆ3¹n0, o`un₀ est le premier entier tel que α_n0 ‰α¹_n0. Conclure queϕest injective, et en d´eduire une autre preuve du fait queR n’est pas d´enombrable.

Exercice 2. Montrer que l’ensemble de tous les polynˆomes `a coefficients rationnels est d´enombrable, et en d´eduire qu’il existe des nombres r´eels x qui ne sont racines d’aucune ´equation Ppxq “0, o`u P est un polynˆome non nul `a coefficients rationnels.

(De tels nombres x sont ditstranscendants.)

1.2. Espaces m´etriques s´eparables. Un espace m´etrique Ω est dits´eparable s’il existe un ensemble DĎΩ `a la fois d´enombrable et dense dans Ω. Par exemple, R est s´eparable car Qest dense dans R; et R^N est s´eparable pour tout N ě1, carQ^N est dense dans R^N.

Proposition 1.5. (propri´et´e de Lindel¨of)

Soit pΩ, dq un espace m´etrique s´eparable. Si pO_iqiPI est une famille d’ouverts de Ω, alors il existe un ensemble d´enombrable d’indices I₀ ĎI tel que Ť

iPI0O_i “Ť

iPIO_i. D´emonstration. Soit DĎΩ un ensemble d´enombrable dense, et soit

Λ :“ pz, nq PDˆN^˚; DiPI : Bpz,1{nq ĎOi

(, o`uBpz,1{nq est la boule ouverte de centre z et de rayon 1{n.

Pour tout pz, nq PΛ, choisissons un indice ipz, nq P I tel que Bpz,1{nq Ď O_ipz,nq. AlorsI0:“ tipz, nq; pz, nq PΛuest d´enombrable car Λ l’est. On va voir queI0convient.

Soit x P Ť

iPIO_i quelconque. Choisissons i P I tel que x P O_i et r ą 0 tel que Bpx, rq ĎOi. Soit ´egalement nPN^˚ tel que 2{năr. CommeD est dense dans Ω, on peut trouver z PD tel que dpz, xq ă 1{n. Alors Bpz,1{nq Ď Bpx,2{nq par l’in´egalit´e triangulaire ; donc Bpz,1{nq Ď Bpx, rq Ď Oi. Par d´efinition de Λ, on voir donc que pz, nq PΛ. Donc i0 :“ipz, nq PI0; et commedpx, zq ă1{n, on a xPBpz,1{nq ĎOi0. Ainsi, pour tout xPŤ

iPIO_i, on peut trouveri₀ PI₀ tel quexPO_i0. Corollaire 1.6. Si Ω1, . . . ,ΩN sont des espaces m´etriques s´eparables, alors tout ouvert de Ω :“ Ω1ˆ ¨ ¨ ¨ ˆΩ_N est r´eunion d´enombrable de produits d’ouverts, i.e d’ensembles de la forme O₁ˆ ¨ ¨ ¨ ˆO_N, o`uO_j est ouvert dans Ω_j pourj“1, . . . , N.

D´emonstration. Soit O un ouvert de Ω. Pour tout x P O, on peut trouver un produit d’ouverts Ox tel que x P Ox et Ox Ď O. On a alors O “ Ť

xPOOx, d’o`u le r´esultat par la proposition appliqu´ee `a la famillepO_xqxPO. Corollaire 1.7. Tout ouvert de R^N, N ě 1 est r´eunion d´enombrable de pav´es ouverts, c’est `a dire d’ensembles de la forme P “ I<sub>1</sub>ˆ ¨ ¨ ¨ ˆI<sub>N</sub>, o`u I₁, . . . , I_N sont des intervalles ouverts born´es de R.

D´emonstration. Si Ω est un ouvert de R^N alors, pour tout xPΩ, on peut trouver un pav´e ouvert P_x tel que x P P_x et P_x Ď Ω ; donc le r´esultat est `a nouveau une cons´equence imm´ediate de la propri´et´e de Lindel¨of.

Exercice 1. Montrer qu’un espace m´etrique est s´eparable si et seulement si il v´erifie la propri´et´e suivante : pour tout ε ą 0, on peut trouver un ensemble d´enombrable Dε ĎΩ tel que Ω“Ť

zPDεBpz, εq. En d´eduire que tout espace m´etriquecompact est s´eparable.

Exercice 2. Montrer qu’un espace m´etrique est s´eparable si et seulement si il poss`ede la propri´et´e de Lindel¨of.

2. La “droite num´erique achev´ee”

Par d´efinition, la droite num´erique achev´ee est l’ensembleRobtenu en rajoutant `a R deux points not´es8 et´8 :

R“ t´8u YRY t8u.

2.1. Extension `a R de l’ordre de R. On ´etend l’ordre usuel de R `a R en d´ecr´etant qu’on a

´8 ăxă 8 pour toutxPR.

Les intervalles de Rsont d´efinis de mani`ere ´evidente. En particulier, on a R“ r´8,8s.

L’int´erˆet de cette extension de l’ordre est que maintenant tout ensemble non vide AĎRposs`ede une borne sup´erieure et une borne inf´erieure dansR. Pour un ensemble (non vide) AĎR, on a supAă 8 si et seulement si A est major´e, et infAą ´8 si et seulement si A estminor´e.

Exercice. SoitI ĎR. Montrer queI est un intervalle si et seulement si la propri´et´e suivante a lieu : pour tous u, vPI v´erifiant uăv, on asu, vr ĎI.

2.2. Convergence des suites. On dit qu’une suite pxnqnPN d’´el´ements de R converge dans Rsi

‚ ou bien xn P R `a partir d’un certain rang et pxnq converge dans R au sens usuel ;

‚ ou bienx_nÑ 8, ce qui s’´ecrit @AP s0,8r DN @něN : x_nąA;

‚ ou bienxnÑ ´8, ce qui s’´ecrit@AP s0,8r DN @něN : xnă ´A.

Exercice. Soit pxnqnPNĎRet soitlPR. Montrer quexnÑl si et seulement si

@α, β tels que αălăβ on a αăx_năβ `a partir d’un certain rang. La preuve du th´eor`eme suivant est laiss´ee en exercice.

Th´eor`eme 2.1. Toute suite croissante px_nq Ď R converge dans R vers sa borne sup´erieure, et tout suite d´ecroissante converge vers sa borne inf´erieure.

Notons enfin que, comme pour les suites de nombres r´eels, les in´egalit´es larges se conservent `a la limite : si x<sub>n</sub> Ñl et si x<sub>n</sub>ďβ `a partir d’un certain rang, alorslďβ; et de mˆeme, si xnÑl et sixněα `a partir d’un certain rang, alorslěα.

2.3. Topologie de R. Il est tr`es facile de d´efinir une distance raisonnable sur R, de la fa¸con suivante. Soitφ:RÑ s ´a, arune bijection continue strictement croissante de R sur un intervalle ouvert born´e s ´a, ar Ď R. (Par exemple, on peut prendre φpxq “ arctanpxq et a “ π{2.) On prolonge φ en une bijection de R sur r´a, as en posant φp8q “aetφp´8q “ ´a; et pourx, yPR, on pose alors

d_φpx, yq:“ |φpyq ´φpxq|.

Lemme 2.2. Si φ:RÑ s ´a, arest une bijection continue strictement croissante, alorsd_φest une distance surRet les suites convergentes pourd_φsont les suites conver- gentes au sens d´efini plus haut.

2. LA “DROITE NUM ´ERIQUE ACHEV ´EE” 9

D´emonstration. Le fait que d_φ soit une distance est un exercice facile, qui utilise uniquement le fait que la fonction φest injective.

Soitpx_nq ĎRconvergeant verslPRau sens de la section pr´ec´edente. SilPR, alors x_nÑlau sens usuel, doncφpx_nq Ñφplq par continuit´e deφ, et doncd_φpx_n, lq Ñ0. Si l“ 8, alorsφpxnq Ñaet doncd_φpxn,8q “ |φpxnq ´a| Ñ0 ; et de mˆeme sil“ ´8.

Inversement, si pxnq ĎRconverge vers lau sens de d_φ, on montre que xn Ñl au sens de la section pr´ec´edente en utilisantla continuit´e de φ^´1. Dans la suite, on munitRde la topologie d´efinie par n’importe quelle distance com- patible avec la convergence des suites (i.e.v´erifiant la conclusion du lemme pr´ec´edent).

Th´eor`eme 2.3. L’espaceR est compact.

D´emonstration. Soitpx_nqune suite quelconque d’´el´ements deR. Alors ou bienpx_nq admet une sous-suite qui tend vers8, ou bienpxnqadmet une sous-suite qui tend vers

´8, ou bien x_n P R `a partir d’un certain rang n<sub>0</sub> et la suite px<sub>n</sub>qněn0 est born´ee, auquel cas pxnq poss`ede une sous-suite convergente d’apr`es le th´eor`eme de Bolzano- Weierstrass. Dans tous les cas, pxnq admet une sous-suite qui converge dansR.

Exercice. Montrer que siA est une partie deR, alors supA et infA appartiennent

`

a A, l’adh´erence de Adans R.

2.4. Limites sup´erieures et limites inf´erieures. Si px_nqnPN est une suite d’´el´ements de R, on note limx_net limx_n les ´el´ements de Rd´efinis par

limxn:“ inf

mPN

sup

něm

xn et limxn“sup

mPN

něminf xn.

On dit que limx_n est la limite sup´erieure de la suite px_nq, et que limx_n est sa limite inf´erieure. Cette terminologie sera expliqu´ee par le lemme 2.4ci-apr`es.

Remarque 1. Supposons quepx_nqsoit une suite de nombres r´eels. On voit facilement qu’on a limx_n ă 8 si et seulement si la suite px_nq est major´ee par un nombre r´eel, et qu’on a limxną ´8si et seulement si pxnq estminor´ee. Par cons´equent, limxn et limx_n appartiennent tous les deux `a Rsi et seulement si la suitepx_nq est born´ee.

Remarque 2. On a toujours limx_nďlimx_n.

D´emonstration. Si on pose L_m :“sup_němx_n etl_m:“inf_němx_n, alorsL_m d´ecroit vers limx_n et l_m croit vers l :“ limx_n. D’o`u le r´esultat puisque l_m ď L_m pour tout

mPN.

Lemme 2.4. Si px_nqnPN est une suite d’´el´ements de R, alors limx_n et limx_n sont des valeurs d’adh´erence de pxnqdansR. Plus pr´ecis´ement,L est la plus grande valeur d’adh´erence de pxnq dans R, et limxn est la plus petite valeur d’adh´erence de pxnq dans R.

D´emonstration. Rappelons d’abord le fait g´en´eral suivant.

Fait. Sipz_nqest une suite dans un espace m´etriqueK, alors l’ensemble des valeurs d’adh´erence de pznq est ´egal `a

č

kPN

tzn; něku.

Maintenant, posonsL:“limx_netl:“limx_n. Posons ´egalementL_m :“sup_němx_n et lm :“infněmxn. AlorsLm ÑLetlm Ñl.

Si k P N, on a pour tout m ě k : L_m P tx_n; němu Ď tx_n; něku. En faisant tendremvers l’infini, on en d´eduit queL“limL_m appartient `atx<sub>n</sub>; někupour tout k PN, et donc que L est une valeur d’adh´erence de pxnq d’apr`es le Fait. De mˆeme, l est une valeur d’adh´erence depx_nq.

Soit maintenant aune valeur d’adh´erence quelconque depx_nq dansR, et soitpn_kq une suite strictement croissante d’entiers telle que xn_k Ña. Si m PN^˚ est fix´e, alors n_k ěm pour kassez grand, et donc x_nk ďL_m“sup_němx_n. En faisant tendrek vers l’infini, on obtient aď Lm pour tout m P N, et donc aď infmLm “ L. On montre de mˆeme que aěl. Ainsi l ďaďL pour toute valeur d’adh´erencea de px_nq, ce qui

prouve la deuxi`eme partie du lemme.

Corollaire 2.5. Une suitepxnq ĎRconverge dans Rsi et seulement si limxn“ limx_n.

D´emonstration. Comme R est compact, la suite pxnq converge si et seulement si elle a exactement une valeur d’adh´erence dansR,i.elimxn“limxn. Exercice 1. Montrer que les in´egalit´es larges sont pr´eserv´ees par “passage `a la limsup” et “passage `a la liminf”.

Exercice 2. Montrer que sipa_nq et pb_nq sont deux suites born´es de nombres r´eels, alors

liman`limbnďlimpan`bnq ďliman`limbnďlimpan`bnq ďliman`limbn. En d´eduire que si la suite pa_nq est convergente, alors

limpa_n`b<sub>n</sub>q “lima<sub>n</sub>`limb_n et limpa_n`b<sub>n</sub>q “lima<sub>n</sub>`limb_n.

Exercice 3. Soit px_nq une suite born´ee de nombres r´eels, et soit α P r0,1r. On suppose que xn`α x2n Ñ 1 quand n Ñ 8. Montrer que si on pose l :“ limxn et L:“limx<sub>n</sub>, alorsl`αLě1ěL`αl; puis montrer que px_nq converge et trouver sa limite.

2.5. Extension des op´erations de R `a R. Il n’est pas difficile d’´etendre l’ad- dition et la multiplication de R`a R, en faisant tout de mˆeme un peu attention.

Pour l’addition, on adopte les conventions suivantes : a` 8 “ 8 `a“ 8 si aPRY t8u, a` p´8q “ ´8 “ ´8 `a siaPRY t´8u. Comme il est naturel :

8 ` p´8q et´ 8 ` 8 ne sont pas d´efinis. Pour la multiplication, on convient ´evidemment que

aˆ 8 “ 8 “ 8 ˆa et aˆ p´8q “ ´8 “ p´8q ˆa siaą0, aˆ 8 “ ´8 “ 8 ˆa et aˆ p´8q “ 8 “ p´8q ˆa siaă0. Enfin, et on verra que ceci est particuli`erement important, on convient que

0ˆ 8 “0“ 8 ˆ0.

Exercice 1. Montrer que l’addition est continue sur r0,8s ˆ r0,8s, mais que la multiplication n’est pas continue.

3. SOMME D’UNE FAMILLE DE NOMBRES POSITIFS 11

Exercice 2. Montrer que si px_nq est une suite d’´el´ements de R, alors limp´xnq “ ´limxn et limp´xnq “ ´limxn.

Exercice 3. Montrer que pa_nq et pb_nq sont deux suites minor´ees d’´el´ements de s ´ 8,8s ou bien deux suites major´ees d’´el´ements de r´8,8r, alors limpan`bnq ď lima<sub>n</sub>`limb_nďlimpa_n`b_nq.

3. Somme d’une famille de nombres positifs

Dans cette section et dans tous les chapitres suivants, on appelleranombre positif tout ´el´ement der0,8s.

3.1. Somme d’une s´erie. Sipx_iqiPN est une suite de nombres positifs, on pose

8

ÿ

i“0

x_i:“ lim

nÑ8 n

ÿ

i“0

x_i.

Cette d´efinition a un sens car la suite des sommes partielles S_n :“ ř_n

i“0x_i est croissante, donc admet une limite dans r0,8s.

Si les xi sont des nombres r´eels positifs, alors ÿ8

i“0

x_i ă 8 ðñ la s´erie ř

x_i converge au sens usuel.

3.2. Somme d’une famille quelconque. Sipx_iqiPI est une famille de nombres positifs index´ee par un ensembleI ‰ Hquelconque, on pose

ÿ

iPI

x_i :“sup

# ÿ

iPF

x_i; F ĎI , F fini +

.

Il s’agit d’un nombre positif bien d´efini, car tout ensemble non vide A Ď r0,8s poss`ede une borne sup´erieure dansr0,8s.

Exemple. SiI “N, alors ř

iPN

x_i “ ř8 i“0

x_i “ lim

nÑ8

řn i“0

x_i. D´emonstration. Pour toutnPN, on ař_n

i“0x_i “ř

iPr0,nsx_iďř

iPNx_ipar d´efinition de ř

iPNx_i; doncř₈

i“0x_i “lim_nÑ8ř_n

i“0x_i ďř

iPIx_i. Inversement, tout ensemble fini F ĎN est contenu dans r0, nspour un certain n, donc ř

iPFxi ďř_n

i“0xi ďř₈

i“0xi; d’o`u ř

iPNx_iďř₈

i“0x_i en prenant le “sup en F”.

Exercice 1. Montrer que si σ :I Ñ I est une permutation de I,i.e.une bijection de I sur I, alorsř

iPIx_σpiq“ř

iPIxi.

Exercice 2. Montrer que si A et B sont deux parties de I telles que AXB “ H, alors ř

iPAYBxi“ř

iPAxi`ř

iPBxi.

Le lemme suivant semble ´evident, mais demande quand mˆeme une preuve.

Lemme 3.1. (additivit´e)

Si px_iqiPI et py_iqiPI sont deux familles de nombres positifs index´ees par le mˆeme en- semble I, alors ř

iPIpxi`yiq “ř

iPIxi`ř

iPIyi.

D´emonstration. On a pour tout ensemble fini F ĎI : ÿ

iPF

px_i`y_iq “ÿ

iPF

x_i`ÿ

iPF

y_i ďÿ

iPI

x_i`ÿ

iPI

y_i; d’o`u ř

iPIpx_i`y_iq ďř

iPIx_i`ř

iPIy_i en prenant le “sup enF”.

Inversement, si F, F¹ ĎI sont des ensembles finis quelconques, alors ÿ

iPF

xi` ÿ

iPF¹

yi ď ÿ

iPFYF¹

xi` ÿ

iPFYF¹

yi“ ÿ

iPFYF¹

pxi`yiq ď ÿ

iPI

pxi`yiq; d’o`uř

iPIxi`ř

iPIyiďř

iPIpxi`yiqpar “double passage au sup” (d’abord enF, puis

en F¹; ou le contraire).

Voici maintenant un r´esultat qui nous sera extrˆemement utile.

Proposition 3.2. (convergence monotone pour les sommes)

Soit pf_nqnPN une suite de fonctions positives, f_n :I Ñ r0,8s. On suppose que la suite pf_nq est croissante (i.e. f_npiq ď f_n`1piq pour tout n et pour tout i P I), et on pose fpiq:“limnÑ8fnpiq (qui existe dans r0,8s). Alors

ÿ

iPI

fpiq “ lim

nÑ8

ÿ

iPI

f_npiq.

Autrement dit : pour une suite croissantede fonctions positives, on a toujours le droit d’´ecrire

ÿ

iPI

nÑ8lim f_npiq “ lim

nÑ8

ÿ

iPI

f_npiq. D´emonstration. Notons d’abord que la limite lim_nÑ8ř

iPIf_npiqexiste dansr0,8s car un:“ř

iPIfnpiq est une suite croissante de nombres positifs.

Comme la suite pfnqcroit versf, on a fnďf et donc ÿ

iPI

f_npiq ďÿ

iPI

fpiq pour toutnPN; d’o`u limnÑ8

ř

iPIfnpiq ďř

iPIfpiq.

Inversement, on a pour tout ensemble fini F ĎI : ÿ

iPF

fpiq “ lim

nÑ8

ÿ

iPF

f_npiq ď lim

nÑ8

ÿ

iPI

f_npiq; d’o`u ř

iPIfpiq ďlim_nÑ8ř

iPIf_npiq en prenant le sup enF.

Corollaire 3.3. (interversion s´erie-somme)

Si px_i,kq_pi,kqPIˆN est une famille double de nombres positifs index´ee parIˆN, alors ÿ

iPI

˜ 8

ÿ

k“0

x_i,k

¸

“

8

ÿ

k“0

˜ ÿ

iPI

x_i,k

¸ .

D´emonstration. On applique la proposition aux fonctions f_n :I Ñ r0,8s d´efinies par fnpiq “ř_n

k“0xi,k. La suitepfnq est croissante car les xi,k sont positifs, etfnpiq Ñ

4. NOTATIONS ET TERMINOLOGIE “ENSEMBLISTES” 13

fpiq:“ř₈

k“0x_i,k pour tout iPI. Donc ÿ

iPI

˜ ₈ ÿ

k“0

x_i,k

¸

“ lim

nÑ8

ÿ

iPI

˜ _n ÿ

k“0

x_i,k

¸

par convergence monotone

“ lim

nÑ8 n

ÿ

k“0

˜ ÿ

iPI

xi,k

¸

par additivit´e

“

8

ÿ

k“0

˜ ÿ

iPI

x_i,k

¸ .

Exercice 1. Pour są1, on pose ζpsq:“

ř8 k“1

1

k^s. D´eterminer lim_sÑ1`ζpsq.

Exercice 2. Montrer que sipfnqest une suite de fonctions positives sur un ensemble I, alors

ÿ

iPI

limfnpiq ďlim ÿ

iPI

fnpiq.

Exercice 3. Montrer que si px_λqλPΛ est une famille de nombres positifs et sipΛiqiPI

est une partition de Λ, alors ÿ

λPΛ

x_λ “ÿ

iPI

˜ ÿ

λPΛi

x_λ

¸ .

En d´eduire que sipx_i,jqpi,jqPIˆJ est une “famille double” de nombres positifs, alors ÿ

iPI

˜ ÿ

jPJ

x_i,j

¸

“ ÿ

pi,jqPIˆJ

x_i,j “ ÿ

iPJ

˜ ÿ

iPI

x_i,j

¸ .

4. Notations et terminologie “ensemblistes”

‚ Pour tout ensemble Ω, on notera PpΩq l’ensemble de toutes les parties de Ω.

Donc, “APPpΩq” est synonyme de “AĎΩ”.

‚ SiAPPpΩq, on noteA^cou ΩzA le compl´ementaire de Adans Ω.

‚ SiA, B ĎΩ, on pose BzA:“BXA^c“BX pΩzAq. Cette notation ne n´ecessite pas d’avoir AĎB.

‚ SipAiqiPI est une famille de parties de Ω, on noteŤ

iPIAi la r´eunion de tous les A_i etŞ

iPIA_i leur intersection. Lorsque I “N, on ´ecrit aussi Ť₈

i“0A_i etŞ₈

i“0A_i. Il est tr`es important d’avoir parfaitement compris que le symbole de r´eunion Ť correspond au quantificateur “existentiel” D, et que le symbole d’intersection Ş

cor- respond au quantificateur “universel” @ :

xPď

iPI

A_i ðñ DiPI : xPA_i, xP

č

iPI

Ai ðñ @iPI : xPAi.

Exercice. Soit pf_nq une suite de fonctions, f_n : Ω Ñ R. ´Ecrire avec des unions et des intersections l’ensemble A:“ txPΩ; fnpxq Ñ0 quand nÑ 8u.

‚ Sif : ΩÑΩ¹ est une application d’un ensemble Ω dans un ensemble Ω¹, on pose pour tout AĎΩ¹ :

f^´1pAq:“ txPΩ; fpxq PAu.

Cette notation ne n´ecessite pas que l’application f soit bijective. On dit que f^´1pAq est l’image r´eciproque de A par l’applicationf.

Il est important de se souvenir que, contrairement aux images directes, les images r´eciproques se comportent parfaitement bien par rapport aux op´erations ensemblistes :

f^´1pA^cq “f^´1pAq^c, f^´1

˜ ď

iPI

Ai

¸

“ ď

iPI

f^´1pAiq,

f^´1

˜ č

iPI

Ai

¸

“č

iPI

f^´1pAiq.

‚ Soit Ω un ensemble. Pour tout ensemble A Ď Ω, on note 1A : Ω Ñ t0,1u la fonction indicatrice de A, qui est d´efinie par

1_Apxq “

"

1 sixPA, 0 sixRA.

Remarque. L’applicationAÞÑ1_Aest une bijection dePpΩq surt0,1u^Ω, l’ensemble de toutes les applications de Ω dans t0,1u. En particulier,PpNq est en bijection avec t0,1u^N.

Exercice 1. Montrer que si Ω un ensemble quelconque, alors il n’existe pas de surjection de Ω surPpΩq. (Pour toute applications“ΩÑPpΩq, on pourra consid´erer l’ensemble A :“ tx P Ω; x R spxqu.) En d´eduire une preuve du fait que t0,1u^N n’est pas d´enombrable ; puis montrer que cette preuve est en fait exactement la mˆeme que celle utilisant la m´ethode de la diagonale.

Exercice 2. Soit Ω un ensemble. Montrer que siA, B ĎΩ, alors 1_AXB“1_A1_B,

1_AYB “1_A`1_B´1_A1_B.

Montrer ´egalement que si on pose A∆B :“ pAzBq Y pBzAq, alors 1A∆B“ |1A´1B|.

Exercice 3. Soit Ω un ensemble, et soit pA_nq une suite de parties de Ω. On pose limAn:“ č

mPN

ď

něm

An et limAn:“ ď

mPN

č

něm

An. Montrer qu’on a

1_limA

n “lim1_An et 1_limAn “lim1_An.

Exercice 4. Soit Ω un ensemble fini, et soientA₁, . . . , A_N des parties de Ω. Exprimer la fonction 1_{ΩzpA1Y¨¨¨YANq} `a l’aide des fonctions1Ai, et en d´eduire la formule suivante (en observant que #B“ř

xPΩ1_Bpxqpour tout BĎΩ) :

#pA₁Y ¨ ¨ ¨ YA_Nq “

N

ÿ

k“1

p´1q^k´1 ÿ

IPp^Nkq

#A_I,

4. NOTATIONS ET TERMINOLOGIE “ENSEMBLISTES” 15

o`u`_N

k

˘ est l’ensemble de toutes les parties det1, . . . , Nu`ak´el´ements etAI “Ş

iPIAi.

Chapitre 2

Ensembles bor´ eliens et mesures bor´ eliennes

1. Pourquoi ?

Ce chapitre ´etant assez abstrait, il n’est peut-ˆetre pas inutile d’essayer de “motiver”

les notions qui vont y ˆetre introduites. On va le faire en expliquant que l’on tombe tr`es vite sur d’assez gros ennuis lorsqu’on essaye de parler un peu s´erieusement de lamesure des aires.

1.1. Les aires, ce n’est pas si simple. Tout le monde a une id´ee intuitive de ce qu’est l’aire d’une partie raisonnablement simple du plan, disons un polygˆone ou un disque ; et au vu de cette “familiarit´e sensible”, il ne semble a priori pas tr`es choquant de parler de l’aire d’une partie quelconque du plan.

Mais en y r´efl´echissant un peu, les choses ne sont pas si simples. Pour une partie vraiment quelconque du plan, on ne voit a priori pas tr`es bien quel sens donner au mot “aire”.

On peut essayer de s’en tirer “axiomatiquement”, c’est `a dire en faisant une liste de propri´et´es que devrait “´evidemment” v´erifier l’aire, quelle que soit la d´efinition qu’on en donnerait. Quoi qu’il arrive, l’aire d’un ensembleAĎR<sup>2</sup>doit ˆetre un nombre positif (´eventuellement ´egal `a 8, par exemple si A “R²). Ensuite, une liste raisonnable de propri´et´es pourrait ˆetre la suivante :

(i) L’ensemble vide “n’a pas d’aire” : airepHq “0.

(ii) Les aires s’ajoutent : si pA_kq est une suite finie ou infinie de parties du plan deux `a deux disjointes, alors airepŤ

kAkq “ř

kairepAkq.

(iii) L’aire estinvariante par d´eplacements : si deux ensemblesAetA¹se d´eduisent l’un de l’autre par une translation ou une rotation, alors airepAq “airepA¹q.

(iv) Pour tout rectangle non trivial RĎR², on a 0ăairepRq ă 8.

Se pose alors le probl`eme suivant : comment peut-on d´efinir math´ematiquement l’aire de sorte que ces propri´et´es soient v´erifi´ees ? Et c’est l`a que les ennuis commencent : Proposition 1.1. Avec les r`egles les plus usuelles du jeu des math´ematiques, il n’existe pas d’application A ÞÑ airepAq d´efinie sur l’ensemble de toutes les parties de R<sup>2</sup> et v´erifiant les propri´et´es (i) `a (iv).

Autrement dit, les propri´et´es (i) `a (iv) empˆechent d’attribuer une aire `atoutes les parties du plan : quelle que soit la d´efinition choisie, il y aura toujours des ensembles suffisamment biscornus pour faire que ces 4 propri´et´es se contredisent entre elles.

Preuve de la Proposition 1.1. Pr´ecisons d’abord un peu ce qu’on entend par “les r`egles les plus usuelles du jeu des math´ematiques” : il s’agit de quelques postulats de base, qu’on appelle les axiomes de la th´eorie des ensembles, dont la plupart des math´ematiciens professionnels pensent qu’il est vraiment tr`es probl´ematique de les remettre en cause si on veut faire des math´ematiques. Autrement dit, des r`egles avec lesquelles une grande majorit´e de math´ematiciens acceptent de jouer au jeu des

17

math´ematiques, parce qu’ils consid`erent que sans elles, ils ne pourraient rien faire du tout ; et qui suffisent `a construire toutes les math´ematiques. (En r´ealit´e, les choses sont un peu plus compliqu´ees ; cf la Remarque 3 plus bas.)

Supposons qu’il existe une application A ÞÑ airepAq d´efinie sur toutes les parties de R², `a valeurs dansr0,8s et v´erifiant les propri´et´es (i) `a (iv). Il s’agit d’obtenir une contradiction.

Pour que les notations soient les moins lourdes possibles, il va ˆetre commode d’iden- tifier R² `a C.

Notons Ω le “disque unit´e” deC“R² priv´e de 0 : Ω :“ tuPC; 0ă |u| ă1u.

Posons ´egalementT:“ tγ PC; |γ| “1u. G´eom´etriquement,Ts’identifie au groupe des rotations deR² “Ccentr´ees en 0 : un nombre γ “e^iθ PTs’identifie `a la rotation rγ d’angle θ. PouruPC, on ´ecriraγ¨u au lieu de rγpuq(autrement dit,γ¨u“γu!) ; et pour tout ensemble E ĎΩ, on pose γ¨E:“ tγ¨u; uPEu.

Comme les rotations pr´eservent les longueurs, Ω est stable par n’importe quelle rotation. Autrement dit, le groupe T“agit” sur Ω.

Soit maintenant ΓĎT l’ensemble des “rotations rationnelles” : Γ :“ te^iθ; θP2πQu.

Visiblement, Γ est un sous-groupe deT. Donc on d´efinit unerelation d’´equivalence sur Ω en d´ecr´etant que

u„v si et seulement si Dγ PΓ : γ¨u“v .

NotonsCl’ensemble des classes d’´equivalence pour la relation„. Voici le point cl´e : grˆace `a une des r`egles du jeu des math´ematiques, il est possible de choisir un point uC dans chaque classe d’´equivalence C P C. Si on pose E :“ tuC; C P Cu, alors E rencontre chaque classe d’´equivalenceC PCen exactement un point (`a savoiru<sub>C</sub>). On en d´eduit que E poss`ede les propri´et´es suivantes :

(a) Ť

γPΓγ¨E“Ω ;

(b) les ensemblesγ¨E,γ PΓ sont deux `a deux disjoints.

(La propri´et´e (a) est ´evidente puisque E rencontre chaque classe d’´equivalence.

Pour (b), supposons que γ ¨EXγ¹ ¨E ‰ H avec γ, γ¹ P Γ. Soient u, u¹ P E tels que γ ¨u “ γ¨u¹. Alors u „ u¹, donc u “u¹ car E rencontre chaque classe en au plus 1 point. Ainsi γu“γ¹u, et doncγ “γ¹ caru‰0.)

Comme Γ est d´enombrable, on doit avoir par (a), (b) et (ii) : airepΩq “ ÿ

γPΓ

airepγ¨Eq.

Mais par (iii), on a aussi airepγ¨Eq “airepEqpour toutγ PΓ. Comme Γ estinfini, on en d´eduit que la somme ř

γPΓairepγ¨Eq vaut ou bien 0 (si airepEq “ 0), ou bien 8 (si airepEq ą 0). Ainsi, airepΩq “0 ou 8. Pour conclure, on applique alors le fait suivant.

Fait. Si A Ď R² est born´e, alors airepAq ă 8; et si A ĎR² est d’int´erieur non vide, alors airepAq ą0.

Preuve du Fait. Il d´ecoule de (ii) que l’application A ÞÑ airepAq est croissante : si A Ď A¹, alors airepAq ď airepA¹q. (En effet A est la r´eunion disjointe de A¹ et de AzA¹, et donc airepAq “ airepA¹q `airepAzA¹q ě airepA¹q.) Par (iv), on en d´eduit

1. POURQUOI ? 19

imm´ediatement le r´esultat : siAĎR² est born´e, alorsAest contenu dans un rectangle R, donc airepAq ď airepRq ă 8; et si A est d’int´erieur non vide, alors A contient un

rectangle R non trivial, donc airepAq ěairepRq ą0.

Par le Fait, on a 0ăairepΩq ă 8, ce qui est la contradiction recherch´ee.

Remarque 1. La contradiction est venue du fait que l’ensemble E admet une aire, puisqu’on a suppos´e qu’on pouvait attribuer une aire `a toutes les parties du plan, y compris les plus bizarres.

Remarque 2. La r`egle du jeu autorisant `a choisir un point dans chaque classe d’´equivalence porte le nom d’axiome du choix. La morale de la d´emonstration pr´ec´edente est que l’axiome du choix permet de “construire” des ensembles vraiment tr`es ´etranges.

Remarque 3. Certains math´ematiciens consid`erent que l’axiome du choix n’est pas acceptable car il g´en`ere trop de pathologies.

Cependant, G¨odel a montr´e en 1936 que si les math´ematiques sans axiome du choix ne sont pas logiquement contradictoires, alors les math´ematiques avec axiome du choix ne le sont pas non plus. (Bien entendu, personne ne sait si les math´ematiques sont effectivement non contradictoires...) Par cons´equent, si on accepte les axiomes

“consensuels” de la th´eorie des ensembles, alors on ne pourra jamais montrer avec les r`egles de logique usuelles qu’on peut attribuer une aire `a toutes les parties du plan,

`

a moins de rajouter un axiome suppl´ementaire (qui sera forc´ement incompatible avec l’axiome du choix).

De fa¸con tout `a fait remarquable, ceci est essentiellement possible : Solovay a montr´e en 1970 que modulo un axiome suppl´ementaire stipulant l’existence d’ensembles

“vraiment tr`es gros”, axiome consid´er´e comme tr`es plausible par les sp´ecialistes de th´eorie des ensembles, il n’est pas contradictoire de supposer qu’on peut attribuer une aire `a toutes les parties du plan. On peut mˆeme conserver une version faible de l’axiome du choix, qu’on appelle l’axiome du choix d´enombrable (cet axiome autorise `a effectuer simultan´ement une infinit´e de choix, pourvu que cette infinit´e reste d´enombrable).

Remarque 4. On pourrait arguer que la propri´et´e d’“additivit´e d´enombrable” (ii) est trop forte, et qu’on pourrait se contenter d’exiger l’additivit´e finie : si A₀, . . . , A_n sont deux `a deux disjoints, alors airepA0Y ¨ ¨ ¨ YAnq “airepA0q ` ¨ ¨ ¨ `airepAnq. En notant (ii’) la propri´et´e d’additivit´e finie, il se passe alors une chose tr`es ´etrange. D’une part, Banach a montr´e (en utilisant l’axiome du choix !) qu’il est possible d’attribuer une aire `a toutes les parties du plan de fa¸con `a ce que (i), (ii’), (iii) et (iv) soient satisfaites ; mais d’autres part, Hausdorff a montr´e que ceci est impossible en dimension 3 : on ne peut pas attribuer un volume `a toutes les parties de R³ de sorte que la fonction volume soit finiment additive et invariante par rotations, et que le volume du cube unit´e soit fini et non nul. (Pour en savoir plus, le “mot cl´e” est paradoxe de Banach-Tarski.)

1.2. Pour sortir de l’impasse. Comme il a ´et´e dit, la Proposition 1.1 signifie que les propri´et´es (i) `a (iv) des aires empˆechent d’attribuer une aire `atoutes les parties du plan.

Pour autant, ce r´esultat ne doit pas ˆetre consid´er´e comme une catastrophe absolue : la Proposition 1.1 n’exclut pas que l’on puisse d´efinir l’aire de parties ´eventuellement tr`es compliqu´ees du plan, mais dit simplement que si on veut ´eviter de gros ennuis,

il faut accepter que certains ensembles n’aient pas d’aire. Autrement dit, on doit res- treindre la famille Bdes parties du plan auxquelles on peut attribuer une aire.

Cependant, on veut quand mˆeme que la famille B contienne au moins tous les polygones et tous les disques. Au vu de (ii), il serait ´egalement bon que B soitstable par r´eunions d´enombrables, autrement dit que pour toute suite pA_kq d’´el´ements de B, l’ensemble Ť

kA_k appartienne encore `a B. De plus, la propri´et´e (ii) sugg`ere aussi que si B ĎR² admet une airefinie et si AĎB admet une aire, alorsBzA doit admettre une aire, ´egale `a airepBq ´airepAq. Ainsi, il est raisonnable d’imposer queBzAPBd`es queAĎB sont dansBet airepBq ă 8. Mais si on veut listera priori les propri´et´es de la famille B(sans faire r´ef´erence `a l’aire), la condition airepBq ă 8n’a pas lieu d’ˆetre ; donc on “doit” imposer que BzAPB pour tous A, B PB v´erifiant A ĎB. Comme le plan R<sup>2</sup> admet ´evidemment une aire (´egale `a 8), i.e.R² PB, on voit que la famile B doit ˆetrestable par compl´ementation : siAPB, alors A^cPB. Enfin, pour ´eviter que la famille B contienne des ensembles trop pathologiques, on est amen´e `a imposer que B soit “la plus petite possible”, au sens o`u les seules op´erations autoris´ees si on ne veut pas sortir de B soient les r´eunions d´enombrables et les compl´ementations.

Ces consid´erations vont nous amener `a la notion de tribu bor´elienne. Ensuite, on d´efinira la notion demesure par analogie avec les propri´et´es (i) et (ii) des aires.

2. Tribu bor´elienne d’un espace m´etrique

2.1. D´efinition et commentaires. Dans ce qui suit, Ω est un espace m´etrique.

D´efinition 2.1. La tribu bor´elienne de Ω (on dit encore : la tribu de Borel) est la plus petitefamilleB de parties deΩcontenant tous les ouverts de Ωet v´erifiant les propri´et´es de stabilit´e suivantes.

( ) B est stable par compl´ementation : si EPB alors E^cPB.

(σ) Beststable par r´eunions d´enombrables: pour toute famille d´enombrable pE_iqiPI d’´el´ements de B (i.e. l’ensemble d’indices I est d´enombrable), l’en- semble Ť

iPIEi appartient `a B.

On note BpΩq la tribu bor´elienne de Ω. Les ´el´ements de BpΩq s’appellent les bor´eliens deΩ.

Exemples. Les ouverts et les ferm´es de Ω sont bor´eliens. Tout ensembled´enombrable est bor´elien, car c’est une r´eunion d´enombrable de singletons (qui sont ferm´es).

La d´efinition de la tribu bor´elienne est assez brutale, et m´erite d’ˆetre un peu d´ecortiqu´ee.

‚De fa¸con g´en´erale, si Ω est un ensemble abstrait quelconque (non vide), on appelle tribu de parties de Ω toute famille non videBde parties de Ω v´erifiant les propri´et´es de stabilit´e ( ) et (σ) ci-dessus.

‚ Si C est une famille quelconque de parties de Ω, il y a toujours au moins une tribuBĎPpΩqqui contientC, `a savoirB:“PpΩq. De plus, il est tr`es facile de v´erifier que l’intersection detoutes les tribus de parties de Ω contenantC est encore une tribu, qui contient ´evidemment C. Par d´efinition, cette tribu, que l’on noteσpCq, est la plus petite tribu de parties de Ω contenantC. On dit queσpCq est la tribuengendr´eepar la famille C.

2. TRIBU BOR ´ELIENNE D’UN ESPACE M ´ETRIQUE 21

‚ La tribu bor´elienne d’un espace m´etrique Ω est donc par d´efinition la tribu engendr´ee parC:“OpΩq, la famille de tous les ouverts de Ω. En symboles :

BpΩq “σ` OpΩq˘

.

Exercice. Montrer que si Ω est un espace m´etrique, alors BpΩq est engendr´ee par les ferm´es.

Remarque 2.2. En raison de ( ), on peut remplacer, dans la d´efinition d’une tribu, la stabilit´e par r´eunions d´enombrables par la propri´et´e “duale” de stabilit´e par intersectionsd´enombrables. En particulier, toute intersection d´enombrable de bor´eliens est un bor´elien.

2.2. Jeux de tribus. La d´efinition de la tribu engendr´ee par une famille d’en- sembles est tr`es abstraite ; mais le mode d’emploi est tout `a fait simple. Par d´efinition, si Cest une famille de parties d’un ensemble Ω, alors la tribuσpCqest caract´eris´ee par les 2 propri´et´es suivantes :

‚ σpCq est une tribu contenantC;

‚ pour toute tribuBĎPpΩq contenant C, on aσpCq ĎB.

Par cons´equent, si on veut montrer que tous les ´el´ements de σpCq poss`edent une certaine propri´et´e (P), il suffit de v´erifier

- que tout ensembleC PC poss`ede la propri´et´e (P) ;

- que la famille de toutes les partiesB de Ω poss´edant la propri´et´e (P) est une tribu.

C’est toujours de cette fa¸con qu’on utilise la d´efinition.

De mani`ere plus “m´ecanique”, on peut aussi dire les choses comme suit : ´etant donn´e deux familles C₁ etC₂ de parties de Ω,

siC₁ĎσpC₂q, alorsσpC₁q ĎσpC₂q.

2.2.1. Produits de bor´eliens. Voici une premi`ere illustration typique de ce qu’on peut d´emontrer en jouant avec des tribus.

Proposition 2.3. Soient Ω1, . . . ,ΩN des espaces m´etriques. Si A1, . . . , AN sont des bor´eliens de Ω₁, . . . ,Ω_N respectivement, alors A₁ ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ A_N est bor´elien dans Ω1ˆ ¨ ¨ ¨ ˆΩN.

D´emonstration. Par une r´ecurrence imm´ediate, il suffit de prouver le r´esultat pour N “2.

SiA₁ĎΩ₁ etA₂ ĎΩ₂, alors

A1ˆA2“ pA1ˆΩ2q X pΩ1ˆA2q;

donc on est ramen´e `a montrer que siA1 etA2 sont bor´eliens, alorsA1ˆΩ2 et Ω1ˆA2

sont bor´eliens dans Ω₁ˆΩ₂.

Si on noteB₁la famille de tous les ensemblesAĎΩ1 tels queAˆΩ1PBpΩ₁ˆΩ2q, il est tr`es facile de v´erifier que B₁ est une tribu de parties de Ω₁ car BpΩ₁ ˆΩ₂q est une tribu. De plus B₁ contient tous les ouverts, car si OĎΩ₁ est ouvert alorsOˆΩ₂ est ouvert dans Ω1 ˆΩ2 et donc bor´elien. Donc B₁ contient BpΩ1q; autrement dit, A₁ˆΩ₂ est bor´elien dans Ω₁ˆΩ₂ pour tout bor´elien A₁ ĎΩ₁. On montre de mˆeme que Ω1ˆA2 est bor´elien pour tout bor´elienA2 ĎΩ2.

2.2.2. Bor´eliens d’un sous-espace. Si Ω est un espace m´etrique, alors tout ensemble E Ď Ω est lui-mˆeme un espace m´etrique, et poss`ede donc sa propre tribu bor´elienne BpEq. La proposition suivante montre que les bor´eliens de E se d´ecrivent tr`es simple- ment `a l’aide des bor´eliens du “gros” espace Ω. La preuve est `a nouveau un “jeu de tribus” typique.

Proposition 2.4. SoitΩ un espace m´etrique, et soit EĎΩ. Un ensemble AĎE est un bor´elien de E si et seulement si il est de la forme

A“BXE o`u B est un bor´elien de Ω.

D´emonstration. La preuve est d’autant plus claire qu’on la rend la plus abstraite possible. Pour toute famille C de parties de Ω, posons

C_E :“ tCXE; CPCu ĎPpEq. Avec cette notation, il s’agit de montrer qu’on a

BpEq “BpΩqE. Tout repose sur le fait suivant.

Fait. Pour toute famille CĎPpΩq, on aσpC_Eq “σpCqE.

Preuve du Fait. On v´erifie d’abord (exercice facile) que σpCqE est une tribu de parties de E car σpCq est une tribu de parties de Ω. Comme C_E Ď σpCqE puisque C ĎσpCq, on a donc σpC_Eq Ď σpCqE. Ensuite, on v´erifie (autre exercice facile) que la familleC^E :“ tAĎΩ; AXE PσpC_Equest une tribu de parties de Ω carσpC_Eq est une tribu de parties deE. CommeCĎC^E par d´efinition, on a doncσpCq ĎC^E; autrement

dit σpCq_E ĎσpC_Eq.

Maintenant, notonsOpEqla famille de tous les ouverts deE, etOpΩq la famille de tous les ouverts de Ω. On sait (propri´et´e de la topologie induite) qu’on a

OpEq “ tOXE; O POpΩqu; autrement dit :

OpEq “OpΩq_E. Par le Fait appliqu´e `a C:“OpΩq, on en d´eduit

BpEq “σpOpEqq “σpOpΩqq_E “BpΩq_E.

Corollaire 2.5. Si E Ď Ω est bor´elien, alors un ensemble A Ď E est bor´elien dans E si et seulement si il est bor´elien dans Ω.

2.3. Bor´eliens de R, R^N et R. Pour la suite, il sera important de savoir que certains sous-ensembles tr`es simples de R, R^N et R sont bor´eliens ; et aussi que les tribus bor´eliennes de ces espaces sont engendr´ees par d’autres familles d’ensembles que la famille des ouverts.

2. TRIBU BOR ´ELIENNE D’UN ESPACE M ´ETRIQUE 23

2.3.1. Bor´eliens deR.

Proposition 2.6. Tous les intervalles de Rsont des bor´eliens.

D´emonstration. Le r´esultat est clair pour les intervalles ouverts et les intervalles ferm´es, puisque ce sont des ouverts et des ferm´es. Il reste donc `a traiter le cas d’un intervalle semi-ouvert, disons de la formera, bravec ´8 ăaăbď 8; mais le r´esultat est clair dans ce cas aussi car ra, br “ ra,8r X s ´ 8, brest l’intersection d’un ouvert et

d’un ferm´e.

Proposition 2.7. Les intervalles de R engendrent la tribu bor´elienne de R. Plus pr´ecis´ement, BpRq est engendr´ee par l’une quelconque des familles suivantes :

(i) la famille des intervalles ouverts born´es ; (ii) la famille des intervalles compacts ;

(iii) la famille des intervalles semi-ouverts de la forme rα, βr, α, β PR; (iii’) la famille des intervalles semi-ouverts de la forme sα, βs, α, β PR;

(iv) la famille des intervalles de la forme sα,8r, αPR; (v) la famille des intervalles de la forme rα,8r, αPR; (iv’) la famille des intervalles de la forme s ´ 8, βr, β PR;

(v’) la famille des intervalles de la forme s ´ 8, βs,β PR.

D´emonstration. (i) On sait que que tout ouvert deRest r´eunion d´enombrable d’in- tervalles ouverts born´es (cf le Corollaire1.7 du Chapitre1). Donc la tribu engendr´ee par les intervalles ouverts born´es contient tous les ouverts, et donc est ´egale `a la tribu bor´elienne.

(ii) Par (i), il suffit de montrer que tout intervalle ouvert born´e sa, br appartient

`

a la tribu engendr´ee par les intervalles compacts. Si on choisit une suite strictement d´ecroissantepα_nqet une suite strictement croissantepβ_nqtelles queα_nÑaetβ_nÑb, alors sa, br “Ť

nrα_n, β_ns; d’o`u le r´esultat.

(iii) Par (i), il suffit de montrer que tout intervalle ouvert born´e sa, br appartient

`

a la tribu engendr´ee par les intervalles semi-ouverts born´es rα, βr; ce qui se voit en

´

ecrivant sa, br “Ť

nrαn, br, o`u est une suite strictement d´ecroissante tendant versa. La preuve de (iii’) est identique.

(iv) Par (iii’), il suffit de montrer que tout intervalle semi-ouvert sa, bsappartient

`

a la tribu engendr´ee par les intervalles de la formesα,8r; ce qui est clair carsa, bs “ sa,8r XpRz sb,8rq. Les preuves de (v), (iv’) et (v’) sont identiques.

2.3.2. Bor´eliens de R^N. Dans R^N, les ensembles qui vont jouer le rˆole des inter- valles seront les pav´es, c’est `a dire les ensemblesP ĎR^N de la forme

P “I1ˆ ¨ ¨ ¨ ˆI_N,

o`uI₁, . . . , I_N sont des intervalles born´es deR. Un pav´eP “I₁ˆ¨ ¨ ¨ˆI_N sera ditouvert si les intervalles Ij sont ouverts,compactsi les Ij sont compacts, et semi-ouvert si les I_j sont semi-ouverts de la forme rα, βr.

Ainsi, un pav´e dans R est un intervalle born´e ; un pav´e dans R² est un rectangle

`

a cˆot´es parall`eles aux axes de coordonn´ees ; et un pav´e dans R<sup>3</sup> est un parall´el´epip`ede rectangle dont les arˆetes sont parall`eles aux axes de coordonn´ees.

Proposition 2.8. Tous les pav´es de R^N sont des bor´eliens.

D´emonstration. Comme on sait que les intervalles de R sont bor´eliens, le r´esultat

est imm´ediat par la Proposition2.3.

Proposition 2.9. Les pav´es de R^N engendrent la tribu bor´elienne de R^N. Plus g´en´eralement, siΩest un ouvert deR^N, alorsBpΩqest engendr´ee par l’une quelconque des familles suivantes : les pav´es ouverts contenus dansΩ; les pav´es compacts contenus dans Ω; les pav´es semi-ouverts contenus dans Ω.

D´emonstration. On sait (Corollaire1.7du Chapitre1) que tout ouvert deR^N, donc tout ouvert de Ω, est r´eunion d´enombrables de pav´es ouverts ; donc la tribu engendr´ee par les pav´es ouvertsP ĎΩ contient tous les ouverts de Ω, et est donc ´egale `a BpΩq.

Comme tout intervalle ouvert I Ď R est r´eunion d´enombrable d’intervalles com- pacts J_n (cf la preuve de la Proposition 2.7), on voit que tout pav´e ouvert P “ I1ˆ ¨ ¨ ¨ ˆIN est r´eunion d´enombrable de pav´es compacts : en ´ecrivant

I_k“ ď

nPN

J_k,n pour k“1, . . . , N o`u lesJ_k,n sont des intervalles compacts, on a

P “I1ˆ ¨ ¨ ¨ ˆIN “ ď

n1,...,nNPN

J1,n1ˆ ¨ ¨ ¨ ˆJN,nN.

Donc la tribu engendr´ee par les pav´es compacts contenu dans Ω contient tous les pav´es ouverts contenus dans Ω, et est donc ´egale `aBpΩq. On montre de mˆeme que les

pav´es semi-ouverts contenus dans Ω engendrentBpΩq.

Exercice 2.10. Soient Ω₁, . . . ,Ω_N des espaces m´etriquess´eparables. Montrer que la tribu bor´elienne de Ω1ˆ ¨ ¨ ¨ ˆΩN est engendr´ee par lesproduits d’ouverts, c’est-

`

a-dire les ensembles de la forme A “ O₁ˆ ¨ ¨ ¨ ˆO_N, o`u O_k est ouvert dans Ω_k pour k“1, . . . , N.

2.3.3. Bor´eliens de R. Grˆace `a la Proposition 2.4, on peut d´ecrire tr`es facilement les bor´eliens de R“RY t´8,8u`a l’aide des bor´eliens deR.

Proposition 2.11. Pour AĎR, les propri´et´es suivante sont ´equivalentes : (1) A est un bor´elien de R;

(2) AXR est un bor´elien de R;

(3) A est de la formeB ou BY t8u ouBY t´8u ou BY t´8,8u, o`uB est un bor´elien de R.

D´emonstration. L’implication p1q ùñ p2q d´ecoule de la Proposition 2.4. L’impli- cationp2q ùñ p3q est imm´ediate. Et l’implication p3q ùñ p1qvient du fait que tout bor´elien deRest bor´elien dansRpar la Proposition2.4(carRest ouvert dansR, donc bor´elien), et quet´8uett8u sont bor´eliens dans R(car ferm´es).

Proposition 2.12. La tribu bor´elienne de R est engendr´ee par les intervalles de la forme sα,8s, αPR, et aussi par les intervalles de la forme r´8, βr, β PR.

D´emonstration. SoitBla tribu engendr´ee par les intervallessα,8s,αPR. La tribu B contient t8u car t8u “ Ş

nPNsn,8s. Donc B contient tous les intervalles sα,8r, α P R car sα,8r “sα,8szt8u; et par cons´equent B contient tous les bor´eliens de R par la Proposition 2.7, car BXPpRq est une tribu de parties de R. Enfin, B contient

´

egalement t´8ucar t´8u “Ş

nPNpRz s ´n,8sq. Donc B“BpRq par la Proposition

2.11.