Examen, 1 f´evrier 2007
Int´egration et th´eorie de la mesure LM363 Dur´ee 3 heures. Tous documents interdits.
Toute application d’un r´esultat prouv´e ou ´enonc´e pendant le cours doit ˆetre signal´ee et justifi´ee avec pr´ecision.
Exercice 1
1. Quelle est la tribu de [0,1] engendr´ee par {[0,1/2],[1/2,1]}?
2. Prouver en d´etail que les ensembles suivants sont des bor´eliens deR: [0,1], ]0,1[, [0,1[, Q, [1,+∞[, [1,+∞[\N.
3. Soita∈R. Prouver que l’applicationR3x7→x−aest bor´elienne et que siB ⊆R est un bor´elien deR, alors a+B est un bor´elien deR.
Exercice 2
1. Soitα >2. Calculer l’int´egrale : Z
]1,∞[2
(x+y)−αdx dy de deux fa¸cons :
a) `a l’aide du Th´eor`eme de Fubini,
b) `a l’aide du changement de variable (x, y)7→(x+y, y).
2. Soitβ >1. Calculer en coordonn´ees polaires l’int´egrale : Z
]0,∞[2
(1 +x2+y2)−βdx dy
Exercice 3 Calculer les limites suivantes avec des justifications compl`etes.
limn
Z ∞
0
sin(x/n)
x+x2 dx, lim
n n
X
k=0
Z 1−1
n
0
xk
k! dx, lim
n n
X
k=0
(−1)k Z 1−1
n
0
xk k! dx.
Prouver que la fonction f(x) := 1
x(x+ 1) = 1 x − 1
x+ 1, x≥1, est int´egrable sur [1,∞[, et calculer R
[1,∞[f dx.
1
Exercice 4 On consid`ere ici l’espace mesur´e ([0,1],B([0,1]), λ).
1. Pour toutef ∈L2([0,1]), prouver que Z
[0,1]
f dx
!2
≤ Z
[0,1]
|f|dx
!2
≤ Z
[0,1]
f2dx.
2. Soitα∈RetFαl’ensemble desf ∈L2([0,1]) telles queR
[0,1]f dx=α.
Calculer :
m:= min
f∈Fα
Z
[0,1]
f2dx.
3. Quelles sont les f ∈Fα telles quem=R
[0,1]f2dx?
Exercice 5 Soientfn,f fonctions mesurables sur un espace mesur´e (X,A, µ) avec f et fn∈Lp pour tout n∈N, o`up∈[1,∞[. On suppose que :
f = lim
n→∞fn µ−p.p., lim
n→∞kfnkp = kfkp. On veut prouver quef →fn dansLp quandn→ ∞.
1. D´eduire de la convexit´e de la fonction R3t7→ |t|p que : ϕn:= 2p−1(|f|p+|fn|p)− |f −fn|p ≥0, µ−p.p..
2. Appliquer le Lemme de Fatou `a (ϕn) et prouver que lim sup
n
Z
|fn−f|pdµ= 0.
3. Conclure.
2
