Prouver que l’application F : [0,1]×R×R7→R, F(x, y, z) :=y2+z2−f(x) est bor´elienne et en d´eduire queA∈ B(R3)

Examen, 8 janvier 2007

Int´egration et th´eorie de la mesure LM363 Dur´ee 3 heures. Documents interdits

Exercice 1 Soitf : [0,1]7→[0,+∞[ bor´elienne et A⊂R³ l’ensemble : A:={(x, y, z) : 0≤x≤1, y²+z²≤f(x)}

1. Prouver que l’application

F : [0,1]×R×R7→R, F(x, y, z) :=y²+z²−f(x) est bor´elienne et en d´eduire queA∈ B(R³).

2. Pour toutx∈[0,1] d´eterminer la sectionA_x :={(y, z) : (x, y, z)∈A}.

V´erifier queA_x ∈ B(R²) et calculer sa mesure de Lebesgue λ₂(A_x).

3. Calculer le volumeλ₃(A) de Aen fonction de f. 4. V´erifier queλ₃(A) = π

4, sif(x) =x³,x∈[0,1].

Exercice 2 Soitf :R₊7→[0,1] la fonction f(x) :=e^−x, x≥0.

1. Prouver quef est bor´elienne et que pour touts >0 : Z

R+

f^sdx = 1 s. En d´eduire que

1 1 +t =

Z

R+

e^−txf(x)dx, t∈[0,+∞[.

2. Montrer par r´ecurrence (avec un argument complet) que d^k

dt^k 1

1 +t = (−1)^k Z

R+

x^ke^−txf(x)dx, ∀t∈[0,∞[, k∈N.

3. Calculer directement par r´ecurrence d^k dt^k

1

1 +t et en d´eduire que Z _∞

0

x^ke^−xdx = k! ∀ k∈N. (1)

1

4. Prouver que pour touteg:R₊ 7→R₊ bor´elienne on a : Z _∞

0

g(e^−x)e^−xdx = Z ₁

0

g(y)dy. (2)

5. En d´eduire que : Z ₁

0

|lny|^kdy = k! ∀ k∈N. (3) Exercice 3 On consid`ere ici l’espace mesur´e ([0,1],B([0,1]), λ).

1. Dire pour quelsp∈[1,+∞] on af ∈L^p et pour quelsp∈[1,+∞] on af /∈L^p dans les cas :

– pourα >0,f(x) :=x^−α,x∈]0,1]

– f(x) := lnx,x∈]0,1] (on pourra utiliser la formule (3) ci-dessus).

2. Donner un exemple d’une suite (g_k)_k telle que g_k ∈ L¹ pour tout k mais pour toutp >1 il existek tel queg_k∈/L^p.

3. Construire, `a l’aide de la suite du point pr´ec´edent, un exemple d’une g∈L¹ telle que g /∈L^p pour toutp >1.

Exercice 4 Soient f_n, f fonctions mesurables positives sur un espace me- sur´e (X,A, µ) avec f ∈L¹. On suppose que :

f ≤lim inf

n→∞ f_n µ−p.p., lim sup

n→∞

Z

f_ndµ≤ Z

f dµ.

1. Prouver que Z

f dµ≤lim inf

n→∞

Z f_ndµ et en d´eduire que

n→∞lim Z

f_ndµ= Z

f dµ.

2. Prouver queµ−p.p. f = lim inf_n→∞f_n.

3. Prouver que pour tous a, b ∈ R : |a−b| = a+b−2 min{a, b} et en d´eduire quef_n→f dans L¹ si n→ ∞.

4. Montrer quef_n ne converge pas n´ecessairement versf µ−p.p.

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