Calcul Int´egral (L3),Universit´e de Cergy–Pontoise Examen du 16 d´ecembre 2014, dur´ee : 3 heures1
Les notes de cours ne sont pas autoris´ees Les t´el´ephones portables doivent ˆetre ´eteints
Une r´edaction succincte et propre donnera jusqu’`a deux points de bonus Premi`ere partie
Questions. (5 points) Pour les questions 1–10, donner la r´eponse (vrai ou faux) sans aucune justification. Chaque bonne r´eponse donnera 0,5 point.
1. Soient x1 < x2 < · · · < xn des nombres r´eels et f : R → R une fonc- tion qui est constante sur tout intervalle ouvert ]xi, xi+1[ et z´ero sur le compl´ementaire de [x1, xn]. Alors f est bor´elienne.
2. Une fonction bor´elienne surRest born´ee sur tout intervalle born´e.
3. Soitfn(x) =x−3/2|sin(x/n)|. AlorsR∞
0 fn(x) dx→0 quandn→ ∞.
4. Soit {fn} une suite de fonctions bor´eliennes positives sur [0,1] telle que fn(x) = 0 pour toutx≥1/n. AlorsR1
0 fndx→0 quandn→ ∞.
5. Soit f : R → R une fonction int´egrable par rapport `a la mesure de Lebesgue. Alors|f(x)| →0 quand|x| → ∞.
6. Soit µ une mesure σ-finie sur R munie de la tribu bor´elienne. Alors µ([a, b])<∞pour tout intervalle born´e [a, b]⊂R.
7. Soient µ et ν deux mesures sur R. Alors µ est absolument continu par rapport `a µ+ν.
8. Soitµ une mesure sur [0,1] telle que la mesure de Lebesgue soit absolu- ment continue par report `aµ. Alorsµ(Γ) = 0 pour tout ensemble d´enom- brable Γ⊂[0,1].
9. Une mesure bor´elienneµsurR2 est totalement d´efinie par ses valeurs sur les bor´eliens de la forme Γ1×Γ2.
10. Une fonction bor´eliennef : [−1,1]×[−1,1]→Rest int´egrable par rapport
`
a la mesure de Lebesgue si et seulement si Z 1
−1
Z 1
−1
f(x, y) dx
dy <∞.
Questions de cours. (a) (4 points)Enoncer les th´´ eor`emes de Beppo-Levi (convergence monotone) et de Lebesgue (convergence domin´ee). Montrer que le premier r´esultat implique le deuxi`eme.
1La note de l’examenNEest calcul´ee par la formuleNE = min(N1,10) +N2, o`uN1et N2sont les notes pour les parties I et II.
1
(c) (1 point)Soienta, b∈Rtels quea < b+εpour toutε >0. Montrer que a≤b.
Questions de TD. (5 points)Soit F(x) =
Z ∞
0
dt
x2+t2+ (sint)2, x >0.
Montrer que F est d´erivable sur R∗+ et trouver une formule int´egrale pour sa d´eriv´ee.
Deuxi`eme partie Exercice 1. (5 points)
(a) Rappeler le th´eor`eme de Fubini, ainsi que ses hypoth`eses.
(b) Soita >0 etf : [0, a]→Rune fonction int´egrable par rapport `a la mesure de Lebesgue. Montrer que la fonction
g(x) = Z
[x,a]
f(t) t dt est bien d´efinie et continue sur l’intervalle ]0, a].
(c) Montrer quegest int´egrable sur [0, a] par rapport `a la mesure de Lebesgue et que
Z
[0,a]
g(x) dx= Z
[0,a]
f(x) dx.
Exercice 2. (5 points)On consid`ere l’intervalle [0,1] muni de la tribu bor´eli- enne. Soient{x1, . . . , xn} et {y1, . . . , ym} deux suites finies de [0,1] telles que xi6=xj etyi6=yj pouri6=j. On d´efinit les mesures
µ=
n
X
i=1
aiδxi, ν=
m
X
j=1
bjδyj,
o`uδzd´esigne la masse de Dirac au pointz∈Retai, bjsont des nombres positifs.
(a) En supposant que m = n = 2 and xi = yi pour tout i = 1,2, donner (avec justification) une condition n´ecessaire et suffisante sur ai, bi pour queµsoit absolument continue par rapport `aν. En d´eduire une condition n´ecessaire et suffisante pour l’´equivalence deµetν.
(b) Dans la situation g´en´erale, donner (avec justification) une condition n´eces- saire et suffisante sur xi, yj, ai, bj pour que µ soit absolument continue par rapport `a ν. En d´eduire une condition n´ecessaire et suffisante pour l’´equivalence deµetν.
(c) Sous l’hypoth`ese queµsoit absolument continue par rapport `a ν, trouver la densit´e dµdν.
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