5·1[−1,2[(x)−2·1[1,4[(x), o`u1A(x)d´esigne la fonction indicatrice de l’ensembleA

Th´eorie de la mesure (L3),Universit´e de Cergy–Pontoise

Examen du 16 d´ecembre 2020, dur´ee : 3 heures Aucun document n’est autoris´e

Tous les calculs et toutes les r´eponses doivent ˆetre justifi´es

Une r´edaction succincte et propre est demand´ee pour avoir la note maximale Exercice 1. (4 points)Soitf :R→Rune fonction d´efinie par

f(x) = 5·1[−1,2[(x)−2·1[1,4[(x), o`u1A(x)d´esigne la fonction indicatrice de l’ensembleA.

(a) La fonctionf, est-elle ´etag´ee ?

(b) Trouver une repr´esentation def sous la forme f(x) =

󰁛n j=1

aj1Aj(x), (1)

o`u Aj sont des ensembles disjoints etaj sont des r´eels diff´erents.

(c) D´ecrire explicitement l’ensemble{x∈R:f(x)<4}. Exercice 2. (3 points)On d´efinit un ensembleA⊂Rpar

A=

󰁟∞ n=0

An, An=󰀅

n−2ⁿ⁺¹, n+ 3⁻ⁿ⁻¹󰀆 .

(a) Montrer queAest bor´elien.

(b) Trouver la mesure de Lebesgue deA. Indication: comparer A0 etAn.

Exercice 3. (1 point)Enoncer le th´eor`eme de Lebesgue sur la convergence´ domin´ee pour les suites de fonctions.

Exercice 4. (3 points) Soit(E,E, µ) un espace mesur´e tel que µ(E) = 1 et f :E→Rune fonction de classeL²(E, µ).

(a) Montrer que

󰀕󰁝

E

fdµ

󰀖2

≤

󰁝

E

f²dµ. (2)

Indication: on pourra utiliser une in´egalit´e de H¨older.

1

(b) Simplifier l’expression 󰁝

E

󰀃f − 〈f〉^µ󰀄2

dµ, o`u〈f〉^µ=󰁕

Efdµ, et montrer que l’on a une ´egalit´e dans (2) si et seulement sif est constanteµ-presque partout.

Exercice 5. (2 points) Soit E = [0,1]muni de la tribu bor´elienne et de la mesure de Lebesgue. Soit N ∈ N^∗ et a1, . . . , aN ∈ E. On d´efinit la fonction mesurablef surE par

f(x) = 󰁛

n∈Nx

n, (3)

o`u N<sup>x</sup> = {n ∈ [[1, N]] : an > x} (si N<sup>x</sup> est vide, alors f(x) = 0). Calculer l’int´egrale def surE par rapport `a la mesure de Lebesgue.

Exercice 6. (3 points)SoitE= [0,1]muni de la tribu bor´elienneB(E)et δb

la masse de Dirac au pointb∈E. Trouver toutes les mesures sur(E,B(E))qui sont absolument continues par rapport `a la mesureν =δ0+δ1 et trouver les densit´es correspondantes.

Exercice 7. (6 points) Soit Π = [−1,1]×[−1,1] ⊂ R² muni de la tribu bor´elienne et de la mesure de LebesgueL2. On d´efinit une fonction mesurable f :Π→Rpar les formulesf(0,0) = 0et

f(x, y) = xy

(x²+y²)² pour(x, y)∕= (0,0).

(a) Enoncer le th´eor`eme de Fubini pour des fonctions int´egrables´ g:Π→R. (b) Calculer les int´egrales

󰁝 1

−1

󰀕󰁝 1

−1

f(x, y)dx

󰀖 dy,

󰁝 1

−1

󰀕󰁝 1

−1

f(x, y)dy

󰀖 dx.

(c) Le th´eor`eme de Fubini, est-il applicable `a la fonctionf ? Indication: ´etudier l’int´egrabilit´e de la fonctionf.

2

Corrig´e de l’examen pour le coursTh´eorie de la mesure

Exercice 1. Le fonctionf est une combinaison lin´eaire des fonctions indicatrices des intervalles, elle est donc ´etag´ee (1 point). La d´efinition def implique que

f(x) =

󰀻󰁁

󰁁󰀿

󰁁󰁁

󰀽

0 pourx <−1 etx≥4, 5 pour−1≤x <1, 3 pour1≤x <2,

−2 pour2≤x <4.

On a donc la repr´esentation (1) avecn= 3(2 points). Il s’ensuit que {x∈R|f(x)<4}= ]− ∞,−1[∪[1,+∞[. (1 point)

Exercice 2. (a) L’ensemble A est bor´elien, car il est intersection d´enombrable des intervalles ferm´es (1 point).

(b) Pour trouver la mesure de LebesgueL(A) de A, on remarque que les intervalles forment une suite croissante, d’o`u il s’ensuit queA = [−2,¹₃]. On a doncL(A) = ⁷₃. (2 points)

Exercice 3. (1 point) Soit (E,E)un espace mesurable, µune mesure sur E et (fk)k≥1 une suite de fonctions telle que

fk(x)→f(x) quandk→ ∞, pour µ-presque toutx∈E,

|fk(x)|≤f(x) pour toutk≥1 etµ-presque toutx∈E.

Alors

klim→∞

󰁝

E

fk(x)dµ(x) =

󰁝

E

󰀓 lim

k→∞fk(x)󰀔

dµ(x). (4)

Exercice 4. (a)(1 point) Il suffit d’applique l’in´egalit´e de H¨older avecp=q= 2.

(b)Un calcul simple montre que

󰁝

E

󰀃f− 〈f〉^µ󰀄2

dµ=〈f²〉^µ− 〈f〉²µ, (1 point)

d’o`u on conclut que l’on a une ´egalit´e dans (2) si et seulement si f = 〈f〉^µ µ-presque partout (1 point).

Exercice 5. La fonction f peut ˆetre ´ecrit sous la forme

f(x) =

󰁛N n=1

n1[0,an[(x). (1 point)

3

Il s’ensuit que

󰁝

E

fdx=

󰁛N n=1

n

󰁝

E

1[0,an[(x)dx=

󰁛N n=1

nan. (1 point)

Exercice 6. Une mesureµest absolument continu par rapport `aνsi et seulement si elle s’´ecrit sous la forme µ = a0δ0+a1δ1, o`u a0, a1 ≥ 0 sont quelconques (1 point+1 point pour la justification). La densit´e est donn´ee par la fonction ρ(x) = a010(x) +a111(x), o`u 1r d´esigne la fonction indicatrice de l’ensemble {r}⊂E (1 point).

Exercice 7. (a) (2 points) Soit f :Π→Rune fonction int´egrable par rapport

`

a la mesure de LebesgueL2. Alors la fonctionx󰀁→f(x, y)est int´egrable pour L1-presque touty∈[−1,1], la fonctiony󰀁→󰁕1

−1f(x, y)dxest int´egrable, et

󰁝󰁝

Π

f(x, y)dL2(x, y) =

󰁝 1

−1

󰀕󰁝 1

−1

f(x, y)dx

󰀖 dy.

(b)(2 points) Comme les fonctionsx󰀁→f(x, y)ety󰀁→f(x, y)sont impaires, on a

󰁝 1

−1

f(x, y)dx= 0,

󰁝 1

−1

f(x, y)dy= 0.

Il s’ensuit que

󰁝 1

−1

󰀕󰁝 1

−1

f(x, y)dx

󰀖 dy=

󰁝 1

−1

󰀕󰁝 1

−1

f(x, y)dy

󰀖 dx= 0.

(c)(2 points) En utilisant le th´eor`eme de Fubini pour des fonctions positives et le fait que les int´egrales de Lebesgue et de Riemann sont ´egales pour des fonctions continues, pour toutδ∈(0,1)on peut ´ecrire

󰁝

Π|f|dL2≥

󰁝

x²+y²≥δ²

|xy|

(x²+y²)²dxdy=

󰁝 1 δ

󰁝 π/2 0

r²sinϕcosϕ r⁴ rdrdϕ

=

󰁝 1 δ

r⁻¹dr·1 2

󰁝 π/2 0

sin(2ϕ)dϕ=1 2lnδ⁻¹.

Comme lnδ → −∞ quand δ → 0⁺, on conclut que f n’est pas int´egrable et donc le th´eor`eme de Fubini ne s’applique pas.

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