Int´egration et probabilit´es
ENS Paris, 2013-2014TD — Int´egration, th´eor`emes de convergence – Corrig´e
E
xercice 0. (Mesure image)Soient (E,A, µ) un espace mesur´e, (F,B) un espace mesurable et f : E → F une fonion mesurable.
On rappelle que l’on d´efinit sur (F,B) une mesure νf appel´ee mesure image de µ par f par νf(B) = µ(f−(B)), B∈ B.Soitφ:F→R+une fonion mesurable. Montrer que
Z
F
φ(x)νf(dx) = Z
E
φ(f(x))µ(dx).
Corrig´e :
Par d´efinition la formule que l’on cherche `a obtenir ev´erifi´ee pour les fonions indicatrices et par lin´earit´e, pour les fonions ´etag´ee (positives). Soit φ :F →R+ une fonion mesurable. Il exie une suite de fonions ´etag´ees positives (φn)n≥telle queφntende en croissant versφ. On a alors pour tout n≥,
Z
F
φn(x)νf(dx) = Z
E
φn(f(x))µ(dx)
En utilisant le th´eor`eme de convergence monotone on montre que l’´egalit´e ev´erifi´ee pourφ.
1 – Petites questions
) Soit (fn)n≥ une suite de fonions continues sur [,], `a valeurs r´eelles, avec≤fn≤pour tout n, qui converge simplement vers. Montrer que limn→∞
R
fn(x)dx=.
) On d´efinit sur un espace mesur´e (E,A, µ) une suite de fonions mesurables (fn)n≥et une fonion mesurablef telle quefn→f µ-p.p. quandn→ ∞. On suppose que supn≥
R
E|fn|dµ <∞.Montrer quef eint´egrable.
)(In ´egalit ´e de Markov)Soitf ∈L(E,A, µ). Montrer que pour toutA >,µ({|f| ≥A})≤
A
R
E|f|dµ.
) Soitf ∈L(E,A, µ). Montrer queµ({f = +∞}) =.Que dire de la r´eciproque ? Corrig´e :
) C’eune application imm´ediate du th´eor`eme de convergence domin´ee.
) Il suffit d’utiliser le lemme de Fatou : comme|f(x)|= lim|fn(x)|presque partout : Z
|f|dµ= Z
lim inf|fn|dµ≤lim inf Z
|fn|
! , et cette derni`ere quantit´e efinie puisqu’elle eplus petite que supnR
|fn|dµ.
) Il suffit d’´ecrire : Z
E
|f|dµ≥ Z
E
|f|1{|f|≥A}dµ≥ Z
E
A1{|f|≥A}dµ=Aµ({|f| ≥A}).
Pour des queions, demande de pr´ecisions ou explications, n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail `a igor.kortchemski@ens.fr , ou bien `a venir me voir au bureau V.
) D’apr`es l’in´egalit´e de Markov,
µ({|f| ≥n})≤ n
Z
|f|dµ −→
n→∞ .
On a d’autre part µ({f = +∞}) ≤ µ({|f| = +∞}) = limn→∞µ({|f| ≥ n}) (en effet, les ensembles {|f| ≥ n} sont d´ecroissants enn, d’interseion ´egale `a{|f|= +∞}et ils sont de mesure finie d’apr`es l’in´egalit´e de Markov). La r´eciproque eclairement fausse (prendre la fonion conante ´egale `asur (R,B(R), λ).
2 – Int´egration, th´eor`emes de convergence
E
xercice 1.) Soitf une fonion d´erivable sur [,], de d´eriv´eef0 born´ee. Prouver queR
f0(x)dx=f()−f().
) (?) Trouver une fonion continuepresque partout d´erivable sur [,] telle quef() =, f() = etR
f0(x)dx=.
Corrig´e :
) On d´efinit sur [,] la suite (gn)n≥ par gn(x) = n(f(x+/n)−f(x)) si x ≤ −/n et sinon.
Pourx∈[,[ fix´e,gn(x) converge versf0(x). SoitM = supx∈[,]|f0(x)|, qui efini par hypoth`ese.
D’apr`es le th´eor`eme des accroissements finis,|gn(x)| ≤M pour toutx≤−/n, et cette in´egalit´e eclairement vraie pourx∈[−/n,]. Ainsi,|gn(x)| ≤Mpour toutx∈[,]. D’apr`es le th´eor`eme de convergence domin´ee,
Z
f0(x)dx= lim
n→∞
Z
gn(x)dx.
Mais, en notantF(x) =Rx
f(t)dt, Z
gn(x)dx = n
Z −/n
f(x+/n)dx−n
Z −/n
f(x)dx
= n Z
/nf(x)dx−n
Z −/n
f(x)dx
= n(F()−F(−/n))−n(F(/n)−F()),
qui converge vers f()−f() lorsque n → ∞. En effet, la continuit´e de f en et implique F0() =f() etF0() =f(). Le r´esultat s’ensuit.
Remarque : - SoitG(t) =Rt
f0(u)du. En ´ecrivant (G(t+)−G(t))/=R
f0(t+u)du, on ne peut pas utiliser le th´eor`eme de convergence domin´ee pour dire que cette quantit´e converge versf0(t) lorsque →. En effet, on a aucune hypoth`ese sur la continuit´e def0.
) Un exemple, l’escalier du diable :
Il s’agit d’une application continue croissante f telle que f() = , f() = , de d´eriv´ee nulle sur le compl´ementaire de l’ensemble de Cantor K vu au TD . Ainsi, f0 = presque partout ! Voir http:
//fr.wikipedia.org/wiki/Escalier_de_Cantorpour la conruion.
E
xercice 2. (Borel-Cantelli is back) Soientf : (R,B(R))→(R,B(R)) une fonion int´egrable pour la me- sure de Lebesgue etα >. Montrer que pour presque toutx∈R, limn→∞n−αf(nx) =.Indication donn´ee`a titre indicatif :on pourra consid´erer, pourη >, les ensemblesAη,n={x∈R:n−α|f(nx)|> η}, n≥.
Corrig´e :
Pourη >etn≥, on aAη,n= n
y∈R:n−α|f(y)|> η .D’apr`es l’in´egalit´e de Markov, la mesure de An,ηemajor´ee par
λ(Aη,n) = nλ(
y∈R:|f(y)|> ηnα )≤ n
ηnα
Z
R
|f|dλ= nα+
η
Z
R
|f|dλ.
Ainsi, la s´erie de terme g´en´eralλ(An,η) esommable. D’apr`es le lemme de Borel-Cantelli, λ lim sup
n Aη,n
!
=.
On a donc montr´e que, pour toutη >, pourλ-presque toutx∈R, lim supn→∞n−αf(nx)≤η. Ainsi, pour λ-presque tout x∈R, pour toutp∈N∗, lim supn→∞n−αf(nx)≤/p ce qui signifie que pourλ-presque
toutx∈R, limn→∞n−αf(nx) =.
Rappel :Il a ´et´e vu en TD qu’une union quelconque d’ensembles de mesure nulle n’epas forc´ement de mesure nulle (penser `aRqui el’union des singletons) et qu’on ne peut pas intervertirpour toutet
pour presque tout.
E
xercice 3. (Uniforme continuit ´e de l’int ´egrale)Soient (E,A, µ) un espace mesur´e etf : (E,A, µ)→(R,B(R)) une fonion int´egrable.
) Montrer que lim
n→∞
Z
|f|1{|f|>n}dµ=.
) Montrer que∀ε >, ∃δ >,∀A∈ A, µ(A)< δ⇒R
A|f|dµ < ε.
) Si f : (R,B(R))→(R,B(R)) e int´egrable pour la mesure de Lebesgue, que peut-on dire de la fonionF:u→R
[,u]f dλ?
Corrig´e :
) La fonionf ´etant int´egrable, elle efinieµ-p.p et donc1{|f|>n}→µ-p.p. quandn→ ∞. Ainsi,
|f|1{|f|>n}→µ-p.p. quandn→ ∞et d’apr`es le th´eor`eme de convergence domin´ee, Z
E
|f|1{|f|>n}dµ −→
n→∞.
) Soitε >. Il exie doncnε∈Ntel queR
E|f|1{|f|>nε}dµ≤ ε
.Posonsδε=ε/(nε). Alors, pourA∈ A de mesureµ(A)< δε,
Z
A
|f|dµ= Z
A∩{|f|>nε}
|f|dµ+ Z
A∩{|f|≤nε}
|f|dµ≤ Z
E
|f|1{|f|>nε}dµ+nεµ(A)< ε.
) Montrons queFeuniform´ement continue. Soitε >. On choisitδ >tel que
∀A∈ B(R), λ(A)< δ⇒ Z
A
|f|dµ < ε.
En particulier, si≤y−x < δalors|F(y)−F(x)|= R
[x,y]f dλ
≤R
[x,y]|f|dλ < ε.
E
xercice 4. (Probl `eme :convergence en mesure)Soit (E,A, µ) un espace mesur´e tel queµ(E)<∞. Soient (fn)n≥etf des fonions mesurables de (E,A) dans (R,B(R)). On dit que la suite (fn) converge versf en mesure si pour toutε >,
µ(|f −fn|> ε)−→.
. Montrer que siR
E|f −fn|dµ→, alorsfn→f en mesure. Remarquer que la r´eciproque efausse.
. Montrer que sifn→f µ-p.p., alorsfn→f en mesure. Remarquer que la r´eciproque efausse.
. En utilisant le lemme de Borel-Cantelli, montrer que sifn→f en mesure, alors on peut extraire une suite de (fn) qui convergeµ-p.p. versf.
. Un th´eor`eme de convergence domin´ee plus fort.On suppose quefn→f en mesure et qu’il exie une foniong:E→Rint´egrable telle que|fn| ≤g µ-p.p. pour toutn≥.
(a) Montrer que|f| ≤g µ-p.p.
(b) En d´eduire `a l’aide de la propri´et´e d’uniforme continuit´e de l’int´egrale que Z
E
|fn−f|dµ→.
. L’espaceL(E, µ). On note L(E, µ) l’ensemble des fonions mesurables quotient´e par la relation d’´egalit´eµ-p.p.
(a) Montrer que l’on d´efinit une diance surL(E, µ) par
δ(f , g) = inf{ε >, µ(|f −g|> ε)≤ε} et que celle-ci m´etrise la convergence en mesure.
(b) Montrer que (L(E, µ), δ) ecomplet.
(c) Montrer qu’il n’exie pas de diance surL(E, µ) qui m´etrise la convergenceµ-p.p.
Corrig´e :
. On suppose queR
E|fn−f|dµ→. Soitε >. D’apr`es l’in´egalit´e de Markov, µ(|fn−f|> ε)≤
ε Z
E
|fn−f|dµ,
ce qui implique queµ(|fn−f|> ε)→. R´eciproquement, consid´erons la suite de fonions (fn)n≥
d´efinie sur ([,],B([,])) par
fn=n1[,/n].
Alors (fn)n≥converge en mesure vers . En effet pour toutn≥, λ(fn>) =/n. En revanche, pour toutn≥,R
[,]fn(x)dx=.
. On suppose quefn→f µ-p.p. Soitε >. Alors, µ
\
n≥
[
m≥n
{|fm−f|> ε}
=.
Or, la suite (∪
m≥n{|fm−f|> ε})n≥ed´ecroissante pour l’inclusion etµeune mesure finie, donc on a,
nlim→∞µ
[
m≥n
{|fm−f|> ε}
=. En particulier, limn→∞µ({|fn−f|> ε}) =.
Une autre possibilit´e ed’appliquer le th´eor`eme de convergence domin´ee `a la suite de fonc- tions1|fn−f|>.
R´eciproquement, consid´erons la suite de fonions (fn,k)n≥,≤k≤nd´efinie sur ([,],B([,])) par fn,k=1[(k−)/n,k/n].
Alors (fn,k)n≥,≤k≤nconverge en mesure vers. En effet pour toutn≥et tout≤k≤n,λ(fn,k>
) =/n. En revanche lim supfn,k=1[,], donc la convergence n’a pas lieuµ-p.p.
. On peut conruire une suiteriement croissante d’entiers (nk)k≥telle que pour toutk≥, µ
fnk−f
>
k
≤−k.
Alors, d’apr`es le lemme de Borel-Cantelli, pourµ-presque toutx, il exiek(x) tel que pour tout k≥k(x),|fnk(x)−f(x)| ≤/k. Cela implique quefnk →f µ-p.p. quandk→ ∞.
. Premi`ere m´ethode : par l’absurde. On suppose qu’il exieε >et une suite extraite (fnk)k≥telle que pour toutk≥,
Z
E
fnk−f
dµ≥ε. ()
Orfnk →f en mesure quandk→ ∞donc d’apr`es la queion., on peut extraire une sous-suite (fn
kj)j≥de (fnk) telle quefn
kj →f µ-p.p. Or|fn
kj| ≤gpour toutj≥. Donc d’apr`es le th´eor`eme de convergence domin´ee,
Z
E
fn
kj −f
dµ −→
j→∞.
Cela contredit l’in´egalit´e ().
Deuxi`eme m´ethode. Comme sugg´er´e dans l’´enonc´e.
(a) V´erifions tout d’abord que|f| ≤g µ-p.p. Pour toutε >, on a
µ(|f|> g+ε)≤µ(|f|>|fn|+ε)≤µ(|f −fn|> ε).
Donc,µ(|f|> g+ε) =. Ainsi,µ-p.p., pour toutn≥,|f| ≤g+/net donc|f| ≤g.
(b) Soitε >. On a Z
E
|fn−f|dµ = Z
{|fn−f|≤ε}
|fn−f|dµ+ Z
{|fn−f|>ε}
|fn−f|dµ
≤ εµ(E) + Z
{|fn−f|>ε}
|g|dµ
La foniong ´etant int´egrable, on a d’apr`es la propri´et´e d’uniforme continuit´e de l’int´egrale,
Z
{|fn−f|>ε}
|g|dµ −→
n→∞.
Ainsi, lim supn→∞
R
E|fn−f|dµ≤εµ(E) pour toutε >. DoncR
E|fn−f|dµ→.
()(a) Montrons que δeune diance surL(E, µ). Soientf , g∈L(E, µ). Il e ´evident queδ(f , f) = etδ(f , g) =δ(g, f). Supposonsδ(f , g) =. Alors pour toutn≥,µ(|f −g|>/n)≤/net la suite ({|f −g|>/n})n≥ecroissante pour l’inclusion donc on a
µ(f ,g) =µ
[
n≥
{|f −g|>/n}
= lim
n→∞µ(|f −g|>/n) =,
i.e.f =g µ-p.p. Soient maintenantf , g, h∈L(E, µ). Posonsa=δ(f , g) etb =δ(g, h). Alors, pour toutε >, on a
µ(|f −h|> a+b+ε) ≤ µ(|f −g|+|g−h|> a+b+ε)
≤ µ(|f −g|> a+ε) +µ(|g−h|> b+ε)
≤ a+b+ε.
Cela impliqueδ(f , h)≤δ(f , g) +δ(g, h). V´erifions queδm´etrise la convergence en mesure. Soient f ∈L(E, µ) et (fn)n≥ une suite d’´el´ements deL(E, µ). On suppose tout d’abord quefn→f en mesure. Soit ε > . Alors,µ(|fn−f| > ε) →. Donc, il exie n ∈ N tel que µ(|fn−f| > ε) ≤ ε pour toutn≥n. Ainsi,δ(fn, f)≤εpour toutn≥nce qui montre queδ(fn, f)→. Supposons maintenant queδ(fn, f)→. Soitη >fix´e. Pour toutε∈], η], il exientel queµ(|fn−f|> ε)≤ε pour toutn≥n. Ainsi, pour toutn≥n,
µ(|fn−f|> η)≤µ(|fn−f|> ε)≤ε, ce qui montre quefn→f en mesure.
()(b) On peut conruire une suite extraite (fnk)k≥ telle queµ(|fnk+−fnk|>−k)≤−k pour toutk≥ (s’en convaincre, c’eimportant). Notons
Ak=n
|fnk+−fnk|>−ko . AlorsP
k≥µ(Ak)<∞. Donc, d’apr`es le lemme de Borel-Cantelli,µ(lim supkAk) =. Ainsi, la s´erie X
k≥
|fnk+(x)−fnk(x)|
converge pourµ-presque toutx. Donc la suite (fnk(x))k≥converge pourµ-presque toutx. On note f sa limiteµ-p.p. (on posef =sur l’ensemble de mesure nulle o `uf n’epas d´efinie, noter que f ebien d´efinieµ-p.p.). Alors d’apr`es la queion .,fnk →f en mesure. Ainsiδ(fnk, f)→et doncδ(fn, f)→.
()(c) Supposons qu’il exie une diance d surL(E, µ) qui m´etrise la convergence µ-p.p. D’apr`es la queion., on peut conruire une suite de fonions mesurables (fn)n≥sur (E,A, µ) qui converge en mesure vers mais pas µ-p.p. Ainsi, il exie ε > et une suite extraite (fnk)k≥ telle que d(fnk,)≥εpour toutk≥. Orfnk →en mesure. Donc, d’apr`es la queion., on peut conruire une suite extraite (fn
kj)j≥qui convergeµ-p.p. vers. Cela contredit l’in´egalit´ed(fn
kj,)≥εpour
toutj≥.
E
xercice 5.Soitf :],[→Rune fonion positive, monotone et int´egrable.Quelle ela limite de la suite Z
f(xn)dx
!
n≥
?
Corrig´e :
La fonionf ´etant monotone, elle admet une limite `a droite enque nous noteronsα(α∈R∪{+∞}).
. Premier cas : la fonionf ed´ecroissante etα <∞. Alors la suite de fonions positives (fn)n≥
d´efinies par
fn(x) =f(xn), x∈],[,
ecroissante et convergeλ-p.p. versα. Donc d’apr`es le th´eor`eme de convergence monotone, Z
],[f(xn)dx −→
n→∞
Z
],[α dλ=α.
. Deuxi`eme cas : la fonionf ed´ecroissante etα=∞. Alors (fn)n≥↑+∞λ-p.p. donc d’apr`es le th´eor`eme de convergence monotone,
Z
],[f(xn)dx −→
n→∞+∞.
. Troisi`eme cas : la fonionf ecroissante (on aα <∞dans ce cas). Alors la suite de fonions (fn)n≥ed´ecroissante et convergeλ-p.p. versα. De plusf=f eint´egrable donc
Z
],[f(xn)dx −→
n→∞α.
– Compl´ements (hors TD)
E
xercice 8. Soit (X,A, µ) un espace mesur´e de masse totale finie etf :X→Rmesurable. Montrer que :f ∈L(X,A, µ) ⇐⇒ X
n≥
µ({|f| ≥n})<∞. Que se passe-t-il si la masse totale einfinie ?
Corrig´e :
On a
Z
E
|f|µ = X
n≥
Z
E
|f|1{n≤|f|<n+}dµ
≤ X
n≥
(n+)µ({n≤ |f|< n+})
= X
n≥
(n+)(µ({|f| ≥n})−µ({|f| ≥n+})
= X
n≥
µ({|f| ≥n}) +X
n≥
nµ({|f| ≥n})−X
n≥
(n+)µ({|f| ≥n+})
= µ(E) +X
n≥
µ({|f| ≥n}).
Pour la derni`ere ´egalit´e, on a utilis´e le fait queµ({|f| ≥}) =µ(E). On montre de la mˆeme mani`ere que Z
E
|f|dµ≥X
n≥
µ({|f| ≥n}).
On obtient l’´equivalence demand´ee.
Dans le cas o `uµ(E) =∞, on peut avoirP
n≥µ({|f| ≥n})<∞avecf non int´egrable. Consid´erer par
exemplef =1Rsur (R,B(R), λ).
E
xercice 9. (Quand e-ce que convergence p.p. implique convergence dansL?) Soit (E,A, µ) un espace mesur´e avecµ(E)<∞. Une famille (fi)i∈I) de fonions mesurables deEdansRediteuniform´ement int´egrablesiclim→∞sup
i∈I
Z
{|fi|≥c}
|fi|dµ=. ()
a) Montrer que toute famille finie deL(E,A, µ) (not´eL(µ) dans la suite) euniform´ement int´egrable.
b) Montrer que la famille (fi)i∈I) euniform´ement int´egrable si, et seulement si, les deux conditions suivantes sont satisfaites :
(i) sup
i∈I
Z
|fi|dµ <∞
(ii) ∀ε >,∃η >,∀A∈ A, µ(A)< η=⇒ ∀i∈I,R
A|fi|dµ < ε.
c) Montrer que si les familles (fi)i∈I et (gi)i∈I sont uniform´ement int´egrables, alors il en ede mˆeme pour la famille (fi+gi)i∈I).
d) Soit (fn)n≥une suite de fonions qui convergeµ-p.p. vers une fonionf. Montrer que (fn)n≥
euniform´ement int´egrable si, et seulement si,f ∈L(µ) et Z
E
|fn−f|dµ −→
n→∞ .
Corrig´e :
a) Si I e fini, il suffit de montrer que limc→∞
R
{|fi|≥c}|fi|dµ = pour i ∈ I fix´e. Ceci d´ecoule du th´eor`eme de convergence domin´ee, car
Z
{|fi|≥c}
|fi|dµ= Z
E
|fi|1{|fi|≥c}dµ,
et|fi|1{|fi|≥c}convergeµ-p.p. verslorsquec→ ∞en ´etant major´e par|fi|, qui eint´egrable.
b) Montrons d’abord l’implication. On remarque que pouri∈I etc≥, Z
E
|f|dµ≤cµ(E) + Z
{|fi|≥c}
|f|dµ.
D’apr`es (), il exieC >tel que supi∈I
R
{|fi|≥C}|fi|dµ <∞. On a alors sup
i∈I
Z
|fi|dµ≤Cµ(E) + sup
i∈I
Z
{|fi|≥C}
|fi|dµ <∞,
ce qui prouve (i).
Pour (ii), on imite la preuve de l’uniforme continuit´e de l’int´egrale : on fixe >et on choisit C >tel que supi∈I
R
{|fi|≥C}|fi|dµ < /. Siµ(A)≤/(Cµ(E)), on a pour touti∈I: Z
A
|fi|dµ≤ Z
A,|fi|≤C
|fi|dµ+ Z
|fi|≥C
|fi|dµ≤µ(A)Cµ(E) + Z
|fi|≥C
|fi|dµ≤.
Montrons maintenant la r´eciproque. Notonsγ= supi∈I
R |fi|dµ <∞. D’apr`es l’in´egalit´e de Mar- kov, pouri∈Ietc≥on aµ({|fi| ≥c})≤γ/c. Fixons >et soitη >tel que la condition (ii) soit v´erifi´ee. Pourc≥γ/ηon a alors ,µ({|fi| ≥c})≤ηpour touti∈I, ce qui implique
sup
i∈I
Z
{|fi|≥c}
|fi|dµ≤
grˆace `a (ii). Le r´esultat s’ensuit.
c) C’eune cons´equence facile de la queion b) en utilisant l’in´egalit´e triangulaire.
d) Montrons d’abord l’implication. En ´ecrivant |f| ≤ |fn|+|f −fn|, on voit ais´ement quef ∈ L(µ).
Soit >. On ´ecrit, pourc≥: Z
E
|fn−f|dµ≤ Z
X
min(|fn−f|, c)dµ+ Z
{|fn−f|≥c}
|fn−f|dµ.
D’apr`es a),f euniform´ement int´egrable, et donc d’apr`es c) la suite (fn−f)n≥euniform´ement int´egrable. Il exie doncC >tel que pour toutn≥,
Z
{|fn−f|≥C}
|fn−f|dµ≤.
On a donc Z
E
|fn−f|dµ≤ Z
X
min(|fn−f|, C)dµ+.
Mais le premier terme de la quantit´e de droite tend versd’apr`es le th´eor`eme de convergence domin´ee. On a donc R
E|fn−f|dµ ≤ pour n suffisamment grand, ce qui prouve l’implication d´esir´ee.
Montrons finalement la r´eciproque. La condition R
E|fn−f|dµ → garantit que la suite (fn− f)n≥ e uniform´ement int´egrable. Nous avons d´ej`a vu que f euniform´ement int´egrable. Il s’ensuit que la suite (fn−f +f)n≥= (fn)n≥euniform´ement int´egrable, ce qui conclut l’exercice.
E
xercice 10. (?) Soient (E,A, µ) un espace mesur´e et (An)n≥une suite d’´el´ements deA. Soitf : (E,A, µ)→ (R,B(R)) une fonion int´egrable telle queZ
E
1An−f
dµ −→
n→∞ .
Montrer qu’il exieA∈ Atel quef =1A,µpresque partout.
Corrig´e :
Montrons d’abord que |f| ≤ µ-p.p. `A cet effet, on remarque que d’apr`es l’in´egalit´e triangulaire {|f|>} ⊂ {|1An−f|>}, donc d’apr`es l’in´egalit´e de Markov
µ({|f|>})≤ Z
E
|1An−f|dµ −→
n→∞ .
Ainsi,µ({|f|>}) =, ce qui prouve que|f| ≤µ-p.p.
Pour prouver quef =1A,µ-p.p, nous allons d´emontrer quef =fµ−p.p.(et alorsA={f =}). `A cet effet, on ´ecrit
Z
E
|f −f|dµ ≤ Z
E
|f −1An|dµ+ Z
E
|f−1An|dµ
= Z
E
|f −1An|dµ+ Z
E
|f −1An| · |f +1An|dµ
≤ Z
E
|1An−f|dµ,
car|1An−f| ≤µ-p.p. Ainsi, on obtient le r´esultat.
Fin