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2 – Int´egration, th´eor`emes de convergence

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Academic year: 2022

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(1)

Int´egration et probabilit´es

ENS Paris, 2013-2014

TD  — Int´egration, th´eor`emes de convergence – Corrig´e

E

xercice 0. (Mesure image)

Soient (E,A, µ) un espace mesur´e, (F,B) un espace mesurable et f : EF une fonion mesurable.

On rappelle que l’on d´efinit sur (F,B) une mesure νf appel´ee mesure image de µ par f par νf(B) = µ(f(B)), B∈ B.Soitφ:F→R+une fonion mesurable. Montrer que

Z

F

φ(x)νf(dx) = Z

E

φ(f(x))µ(dx).

Corrig´e :

Par d´efinition la formule que l’on cherche `a obtenir ev´erifi´ee pour les fonions indicatrices et par lin´earit´e, pour les fonions ´etag´ee (positives). Soit φ :F →R+ une fonion mesurable. Il exie une suite de fonions ´etag´ees positives (φn)ntelle queφntende en croissant versφ. On a alors pour tout n≥,

Z

F

φn(x)νf(dx) = Z

E

φn(f(x))µ(dx)

En utilisant le th´eor`eme de convergence monotone on montre que l’´egalit´e ev´erifi´ee pourφ.

1 – Petites questions

) Soit (fn)n une suite de fonions continues sur [,], `a valeurs r´eelles, avec≤fn≤pour tout n, qui converge simplement vers. Montrer que limn→∞

R

fn(x)dx=.

) On d´efinit sur un espace mesur´e (E,A, µ) une suite de fonions mesurables (fn)net une fonion mesurablef telle quefnf µ-p.p. quandn→ ∞. On suppose que supn

R

E|fn|dµ <.Montrer quef eint´egrable.

)(In ´egalit ´e de Markov)Soitf ∈L(E,A, µ). Montrer que pour toutA >,µ({|f| ≥A})≤

A

R

E|f|dµ.

) Soitf ∈L(E,A, µ). Montrer queµ({f = +∞}) =.Que dire de la r´eciproque ? Corrig´e :

) C’eune application imm´ediate du th´eor`eme de convergence domin´ee.

) Il suffit d’utiliser le lemme de Fatou : comme|f(x)|= lim|fn(x)|presque partout : Z

|f|= Z

lim inf|fn|≤lim inf Z

|fn|

! , et cette derni`ere quantit´e efinie puisqu’elle eplus petite que supnR

|fn|dµ.

) Il suffit d’´ecrire : Z

E

|f|≥ Z

E

|f|1{|f|≥A}≥ Z

E

A1{|f|≥A}=Aµ({|f| ≥A}).

Pour des queions, demande de pr´ecisions ou explications, n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail `a igor.kortchemski@ens.fr , ou bien `a venir me voir au bureau V.

(2)

) D’apr`es l’in´egalit´e de Markov,

µ({|f| ≥n})≤ n

Z

|f| −→

n→∞ .

On a d’autre part µ({f = +∞}) ≤ µ({|f| = +∞}) = limn→∞µ({|f| ≥ n}) (en effet, les ensembles {|f| ≥ n} sont d´ecroissants enn, d’interseion ´egale `a{|f|= +∞}et ils sont de mesure finie d’apr`es l’in´egalit´e de Markov). La r´eciproque eclairement fausse (prendre la fonion conante ´egale `asur (R,B(R), λ).

2 – Int´egration, th´eor`emes de convergence

E

xercice 1.

) Soitf une fonion d´erivable sur [,], de d´eriv´eef0 born´ee. Prouver queR

f0(x)dx=f()−f().

) (?) Trouver une fonion continuepresque partout d´erivable sur [,] telle quef() =, f() = etR

f0(x)dx=.

Corrig´e :

) On d´efinit sur [,] la suite (gn)n par gn(x) = n(f(x+/n)−f(x)) si x ≤ −/n et  sinon.

Pourx∈[,[ fix´e,gn(x) converge versf0(x). SoitM = supx[,]|f0(x)|, qui efini par hypoth`ese.

D’apr`es le th´eor`eme des accroissements finis,|gn(x)| ≤M pour toutx≤−/n, et cette in´egalit´e eclairement vraie pourx∈[−/n,]. Ainsi,|gn(x)| ≤Mpour toutx∈[,]. D’apr`es le th´eor`eme de convergence domin´ee,

Z

f0(x)dx= lim

n→∞

Z

gn(x)dx.

Mais, en notantF(x) =Rx

f(t)dt, Z

gn(x)dx = n

Z /n

f(x+/n)dx−n

Z /n

f(x)dx

= n Z

/nf(x)dx−n

Z /n

f(x)dx

= n(F()F(−/n))−n(F(/n)F()),

qui converge vers f()−f() lorsque n → ∞. En effet, la continuit´e de f en  et  implique F0() =f() etF0() =f(). Le r´esultat s’ensuit.

Remarque : - SoitG(t) =Rt

f0(u)du. En ´ecrivant (G(t+)G(t))/=R

f0(t+u)du, on ne peut pas utiliser le th´eor`eme de convergence domin´ee pour dire que cette quantit´e converge versf0(t) lorsque →. En effet, on a aucune hypoth`ese sur la continuit´e def0.

) Un exemple, l’escalier du diable :

(3)

Il s’agit d’une application continue croissante f telle que f() = , f() = , de d´eriv´ee nulle sur le compl´ementaire de l’ensemble de Cantor K vu au TD . Ainsi, f0 =  presque partout ! Voir http:

//fr.wikipedia.org/wiki/Escalier_de_Cantorpour la conruion.

E

xercice 2. (Borel-Cantelli is back) Soientf : (R,B(R))→(R,B(R)) une fonion int´egrable pour la me- sure de Lebesgue etα >. Montrer que pour presque toutx∈R, limn→∞nαf(nx) =.Indication donn´ee

`a titre indicatif :on pourra consid´erer, pourη >, les ensemblesAη,n={x∈R:nα|f(nx)|> η}, n≥.

Corrig´e :

Pourη >etn≥, on aAη,n= n

y∈R:nα|f(y)|> η .D’apr`es l’in´egalit´e de Markov, la mesure de An,ηemajor´ee par

λ(Aη,n) = (

y∈R:|f(y)|> ηnα )≤  n

ηnα

Z

R

|f|=  nα+

η

Z

R

|f|dλ.

Ainsi, la s´erie de terme g´en´eralλ(An,η) esommable. D’apr`es le lemme de Borel-Cantelli, λ lim sup

n Aη,n

!

=.

On a donc montr´e que, pour toutη >, pourλ-presque toutx∈R, lim supn→∞nαf(nx)≤η. Ainsi, pour λ-presque tout x∈R, pour toutp∈N, lim supn→∞nαf(nx)≤/p ce qui signifie que pourλ-presque

toutx∈R, limn→∞nαf(nx) =.

Rappel :Il a ´et´e vu en TD qu’une union quelconque d’ensembles de mesure nulle n’epas forc´ement de mesure nulle (penser `aRqui el’union des singletons) et qu’on ne peut pas intervertirpour toutet

pour presque tout.

E

xercice 3. (Uniforme continuit ´e de l’int ´egrale)

Soient (E,A, µ) un espace mesur´e etf : (E,A, µ)→(R,B(R)) une fonion int´egrable.

) Montrer que lim

n→∞

Z

|f|1{|f|>n}=.

) Montrer que∀ε >, ∃δ >,∀A∈ A, µ(A)< δ⇒R

A|f|dµ < ε.

) Si f : (R,B(R))→(R,B(R)) e int´egrable pour la mesure de Lebesgue, que peut-on dire de la fonionF:u→R

[,u]f dλ?

(4)

Corrig´e :

) La fonionf ´etant int´egrable, elle efinieµ-p.p et donc1{|f|>n}→µ-p.p. quandn→ ∞. Ainsi,

|f|1{|f|>n}→µ-p.p. quandn→ ∞et d’apr`es le th´eor`eme de convergence domin´ee, Z

E

|f|1{|f|>n} −→

n→∞.

) Soitε >. Il exie doncnε∈Ntel queR

E|f|1{|f|>nε}ε

.Posonsδε=ε/(nε). Alors, pourA∈ A de mesureµ(A)< δε,

Z

A

|f|= Z

A∩{|f|>nε}

|f|+ Z

A∩{|f|≤nε}

|f|≤ Z

E

|f|1{|f|>nε}+nεµ(A)< ε.

) Montrons queFeuniform´ement continue. Soitε >. On choisitδ >tel que

A∈ B(R), λ(A)< δ⇒ Z

A

|f|dµ < ε.

En particulier, si≤yx < δalors|F(y)−F(x)|= R

[x,y]f dλ

≤R

[x,y]|f|dλ < ε.

E

xercice 4. (Probl `eme :convergence en mesure)

Soit (E,A, µ) un espace mesur´e tel queµ(E)<∞. Soient (fn)netf des fonions mesurables de (E,A) dans (R,B(R)). On dit que la suite (fn) converge versf en mesure si pour toutε >,

µ(|ffn|> ε)−→.

. Montrer que siR

E|ffn|→, alorsfnf en mesure. Remarquer que la r´eciproque efausse.

. Montrer que sifnf µ-p.p., alorsfnf en mesure. Remarquer que la r´eciproque efausse.

. En utilisant le lemme de Borel-Cantelli, montrer que sifnf en mesure, alors on peut extraire une suite de (fn) qui convergeµ-p.p. versf.

. Un th´eor`eme de convergence domin´ee plus fort.On suppose quefnf en mesure et qu’il exie une foniong:E→Rint´egrable telle que|fn| ≤g µ-p.p. pour toutn≥.

(a) Montrer que|f| ≤g µ-p.p.

(b) En d´eduire `a l’aide de la propri´et´e d’uniforme continuit´e de l’int´egrale que Z

E

|fnf|→.

. L’espaceL(E, µ). On note L(E, µ) l’ensemble des fonions mesurables quotient´e par la relation d’´egalit´eµ-p.p.

(a) Montrer que l’on d´efinit une diance surL(E, µ) par

δ(f , g) = inf{ε >, µ(|fg|> ε)ε} et que celle-ci m´etrise la convergence en mesure.

(b) Montrer que (L(E, µ), δ) ecomplet.

(c) Montrer qu’il n’exie pas de diance surL(E, µ) qui m´etrise la convergenceµ-p.p.

(5)

Corrig´e :

. On suppose queR

E|fnf|→. Soitε >. D’apr`es l’in´egalit´e de Markov, µ(|fnf|> ε)≤

ε Z

E

|fnf|dµ,

ce qui implique queµ(|fnf|> ε)→. R´eciproquement, consid´erons la suite de fonions (fn)n

d´efinie sur ([,],B([,])) par

fn=n1[,/n].

Alors (fn)nconverge en mesure vers . En effet pour toutn≥, λ(fn>) =/n. En revanche, pour toutn≥,R

[,]fn(x)dx=.

. On suppose quefnf µ-p.p. Soitε >. Alors, µ







\

n

[

mn

{|fmf|> ε}







=.

Or, la suite (∪

mn{|fmf|> ε})ned´ecroissante pour l’inclusion etµeune mesure finie, donc on a,

nlim→∞µ





 [

mn

{|fmf|> ε}







=. En particulier, limn→∞µ({|fnf|> ε}) =.

Une autre possibilit´e ed’appliquer le th´eor`eme de convergence domin´ee `a la suite de fonc- tions1|fnf|>.

R´eciproquement, consid´erons la suite de fonions (fn,k)n,knd´efinie sur ([,],B([,])) par fn,k=1[(k)/n,k/n].

Alors (fn,k)n,knconverge en mesure vers. En effet pour toutn≥et tout≤kn,λ(fn,k>

) =/n. En revanche lim supfn,k=1[,], donc la convergence n’a pas lieuµ-p.p.

. On peut conruire une suiteriement croissante d’entiers (nk)ktelle que pour toutk≥, µ

fnkf

>

k

≤k.

Alors, d’apr`es le lemme de Borel-Cantelli, pourµ-presque toutx, il exiek(x) tel que pour tout kk(x),|fnk(x)−f(x)| ≤/k. Cela implique quefnkf µ-p.p. quandk→ ∞.

. Premi`ere m´ethode : par l’absurde. On suppose qu’il exieε >et une suite extraite (fnk)ktelle que pour toutk≥,

Z

E

fnkf

ε. ()

Orfnkf en mesure quandk→ ∞donc d’apr`es la queion., on peut extraire une sous-suite (fn

kj)jde (fnk) telle quefn

kjf µ-p.p. Or|fn

kj| ≤gpour toutj≥. Donc d’apr`es le th´eor`eme de convergence domin´ee,

Z

E

fn

kjf

−→

j→∞.

Cela contredit l’in´egalit´e ().

Deuxi`eme m´ethode. Comme sugg´er´e dans l’´enonc´e.

(6)

(a) V´erifions tout d’abord que|f| ≤g µ-p.p. Pour toutε >, on a

µ(|f|> g+ε)µ(|f|>|fn|+ε)µ(|ffn|> ε).

Donc,µ(|f|> g+ε) =. Ainsi,µ-p.p., pour toutn≥,|f| ≤g+/net donc|f| ≤g.

(b) Soitε >. On a Z

E

|fnf| = Z

{|fnf|≤ε}

|fnf|+ Z

{|fnf|}

|fnf|

εµ(E) + Z

{|fnf|}

|g|

La foniong ´etant int´egrable, on a d’apr`es la propri´et´e d’uniforme continuit´e de l’int´egrale,

 Z

{|fnf|}

|g| −→

n→∞.

Ainsi, lim supn→∞

R

E|fnf|εµ(E) pour toutε >. DoncR

E|fnf|→.

()(a) Montrons que δeune diance surL(E, µ). Soientf , g∈L(E, µ). Il e ´evident queδ(f , f) = etδ(f , g) =δ(g, f). Supposonsδ(f , g) =. Alors pour toutn≥,µ(|fg|>/n)≤/net la suite ({|fg|>/n})necroissante pour l’inclusion donc on a

µ(f ,g) =µ





 [

n

{|fg|>/n}







= lim

n→∞µ(|fg|>/n) =,

i.e.f =g µ-p.p. Soient maintenantf , g, h∈L(E, µ). Posonsa=δ(f , g) etb =δ(g, h). Alors, pour toutε >, on a

µ(|fh|> a+b+ε) ≤ µ(|fg|+|gh|> a+b+ε)

µ(|fg|> a+ε) +µ(|gh|> b+ε)

a+b+ε.

Cela impliqueδ(f , h)δ(f , g) +δ(g, h). V´erifions queδm´etrise la convergence en mesure. Soient f ∈L(E, µ) et (fn)n une suite d’´el´ements deL(E, µ). On suppose tout d’abord quefnf en mesure. Soit ε > . Alors,µ(|fnf| > ε) →. Donc, il exie n ∈ N tel que µ(|fnf| > ε)ε pour toutnn. Ainsi,δ(fn, f)≤εpour toutnnce qui montre queδ(fn, f)→. Supposons maintenant queδ(fn, f)→. Soitη >fix´e. Pour toutε∈], η], il exientel queµ(|fnf|> ε)ε pour toutnn. Ainsi, pour toutnn,

µ(|fnf|> η)µ(|fnf|> ε)ε, ce qui montre quefnf en mesure.

()(b) On peut conruire une suite extraite (fnk)k telle queµ(|fnk+fnk|>k)≤k pour toutk≥ (s’en convaincre, c’eimportant). Notons

Ak=n

|fnk+fnk|>ko . AlorsP

kµ(Ak)<∞. Donc, d’apr`es le lemme de Borel-Cantelli,µ(lim supkAk) =. Ainsi, la s´erie X

k

|fnk+(x)−fnk(x)|

converge pourµ-presque toutx. Donc la suite (fnk(x))kconverge pourµ-presque toutx. On note f sa limiteµ-p.p. (on posef =sur l’ensemble de mesure nulle o `uf n’epas d´efinie, noter que f ebien d´efinieµ-p.p.). Alors d’apr`es la queion .,fnkf en mesure. Ainsiδ(fnk, f)→et doncδ(fn, f)→.

(7)

()(c) Supposons qu’il exie une diance d surL(E, µ) qui m´etrise la convergence µ-p.p. D’apr`es la queion., on peut conruire une suite de fonions mesurables (fn)nsur (E,A, µ) qui converge en mesure vers  mais pas µ-p.p. Ainsi, il exie ε >  et une suite extraite (fnk)k telle que d(fnk,)≥εpour toutk≥. Orfnk →en mesure. Donc, d’apr`es la queion., on peut conruire une suite extraite (fn

kj)jqui convergeµ-p.p. vers. Cela contredit l’in´egalit´ed(fn

kj,)εpour

toutj≥.

E

xercice 5.

Soitf :],[→Rune fonion positive, monotone et int´egrable.Quelle ela limite de la suite Z

f(xn)dx

!

n

?

Corrig´e :

La fonionf ´etant monotone, elle admet une limite `a droite enque nous noteronsα(α∈R∪{+∞}).

. Premier cas : la fonionf ed´ecroissante etα <∞. Alors la suite de fonions positives (fn)n

d´efinies par

fn(x) =f(xn), x∈],[,

ecroissante et convergeλ-p.p. versα. Donc d’apr`es le th´eor`eme de convergence monotone, Z

],[f(xn)dx −→

n→∞

Z

],[α dλ=α.

. Deuxi`eme cas : la fonionf ed´ecroissante etα=∞. Alors (fn)n↑+∞λ-p.p. donc d’apr`es le th´eor`eme de convergence monotone,

Z

],[f(xn)dx −→

n→∞+∞.

. Troisi`eme cas : la fonionf ecroissante (on aα <∞dans ce cas). Alors la suite de fonions (fn)ned´ecroissante et convergeλ-p.p. versα. De plusf=f eint´egrable donc

Z

],[f(xn)dx −→

n→∞α.

 – Compl´ements (hors TD)

E

xercice 8. Soit (X,A, µ) un espace mesur´e de masse totale finie etf :X→Rmesurable. Montrer que :

f ∈L(X,A, µ) ⇐⇒ X

n

µ({|f| ≥n})<. Que se passe-t-il si la masse totale einfinie ?

Corrig´e :

(8)

On a

Z

E

|f|µ = X

n

Z

E

|f|1{n≤|f|<n+}

≤ X

n

(n+)µ({n≤ |f|< n+})

= X

n

(n+)(µ({|f| ≥n})−µ({|f| ≥n+})

= X

n

µ({|f| ≥n}) +X

n

nµ({|f| ≥n})−X

n

(n+)µ({|f| ≥n+})

= µ(E) +X

n

µ({|f| ≥n}).

Pour la derni`ere ´egalit´e, on a utilis´e le fait queµ({|f| ≥}) =µ(E). On montre de la mˆeme mani`ere que Z

E

|f|≥X

n

µ({|f| ≥n}).

On obtient l’´equivalence demand´ee.

Dans le cas o `uµ(E) =∞, on peut avoirP

nµ({|f| ≥n})<∞avecf non int´egrable. Consid´erer par

exemplef =1Rsur (R,B(R), λ).

E

xercice 9. (Quand e-ce que convergence p.p. implique convergence dansL?) Soit (E,A, µ) un espace mesur´e avecµ(E)<∞. Une famille (fi)iI) de fonions mesurables deEdansRediteuniform´ement int´egrablesi

clim→∞sup

iI

Z

{|fi|≥c}

|fi|=. ()

a) Montrer que toute famille finie deL(E,A, µ) (not´eL(µ) dans la suite) euniform´ement int´egrable.

b) Montrer que la famille (fi)iI) euniform´ement int´egrable si, et seulement si, les deux conditions suivantes sont satisfaites :

(i) sup

iI

Z

|fi|dµ <

(ii) ∀ε >,∃η >,∀A∈ A, µ(A)< η=⇒ ∀iI,R

A|fi|dµ < ε.

c) Montrer que si les familles (fi)iI et (gi)iI sont uniform´ement int´egrables, alors il en ede mˆeme pour la famille (fi+gi)iI).

d) Soit (fn)nune suite de fonions qui convergeµ-p.p. vers une fonionf. Montrer que (fn)n

euniform´ement int´egrable si, et seulement si,f ∈L(µ) et Z

E

|fnf| −→

n→∞ .

Corrig´e :

a) Si I e fini, il suffit de montrer que limc→∞

R

{|fi|≥c}|fi| =  pour iI fix´e. Ceci d´ecoule du th´eor`eme de convergence domin´ee, car

Z

{|fi|≥c}

|fi|= Z

E

|fi|1{|fi|≥c}dµ,

et|fi|1{|fi|≥c}convergeµ-p.p. verslorsquec→ ∞en ´etant major´e par|fi|, qui eint´egrable.

(9)

b) Montrons d’abord l’implication. On remarque que pouriI etc≥, Z

E

|f|cµ(E) + Z

{|fi|≥c}

|f|dµ.

D’apr`es (), il exieC >tel que supiI

R

{|fi|≥C}|fi|dµ <∞. On a alors sup

iI

Z

|fi|Cµ(E) + sup

iI

Z

{|fi|≥C}

|fi|dµ <,

ce qui prouve (i).

Pour (ii), on imite la preuve de l’uniforme continuit´e de l’int´egrale : on fixe >et on choisit C >tel que supiI

R

{|fi|≥C}|fi|dµ < /. Siµ(A)/(Cµ(E)), on a pour toutiI: Z

A

|fi|≤ Z

A,|fi|≤C

|fi|+ Z

|fi|≥C

|fi|µ(A)Cµ(E) + Z

|fi|≥C

|fi|.

Montrons maintenant la r´eciproque. Notonsγ= supiI

R |fi|dµ <∞. D’apr`es l’in´egalit´e de Mar- kov, pouriIetc≥on aµ({|fi| ≥c})≤γ/c. Fixons >et soitη >tel que la condition (ii) soit v´erifi´ee. Pourcγ/ηon a alors ,µ({|fi| ≥c})≤ηpour toutiI, ce qui implique

sup

iI

Z

{|fi|≥c}

|fi|

grˆace `a (ii). Le r´esultat s’ensuit.

c) C’eune cons´equence facile de la queion b) en utilisant l’in´egalit´e triangulaire.

d) Montrons d’abord l’implication. En ´ecrivant |f| ≤ |fn|+|ffn|, on voit ais´ement quef ∈ L(µ).

Soit >. On ´ecrit, pourc≥: Z

E

|fnf|≤ Z

X

min(|fnf|, c)dµ+ Z

{|fnf|≥c}

|fnf|dµ.

D’apr`es a),f euniform´ement int´egrable, et donc d’apr`es c) la suite (fnf)neuniform´ement int´egrable. Il exie doncC >tel que pour toutn≥,

Z

{|fnf|≥C}

|fnf|.

On a donc Z

E

|fnf|≤ Z

X

min(|fnf|, C)dµ+.

Mais le premier terme de la quantit´e de droite tend versd’apr`es le th´eor`eme de convergence domin´ee. On a donc R

E|fnf| ≤ pour n suffisamment grand, ce qui prouve l’implication d´esir´ee.

Montrons finalement la r´eciproque. La condition R

E|fnf| → garantit que la suite (fnf)n e uniform´ement int´egrable. Nous avons d´ej`a vu que f euniform´ement int´egrable. Il s’ensuit que la suite (fnf +f)n= (fn)neuniform´ement int´egrable, ce qui conclut l’exercice.

(10)

E

xercice 10. (?) Soient (E,A, µ) un espace mesur´e et (An)nune suite d’´el´ements deA. Soitf : (E,A, µ)→ (R,B(R)) une fonion int´egrable telle que

Z

E

1Anf

−→

n→∞ .

Montrer qu’il exieA∈ Atel quef =1A,µpresque partout.

Corrig´e :

Montrons d’abord que |f| ≤  µ-p.p. `A cet effet, on remarque que d’apr`es l’in´egalit´e triangulaire {|f|>} ⊂ {|1Anf|>}, donc d’apr`es l’in´egalit´e de Markov

µ({|f|>})≤ Z

E

|1Anf| −→

n→∞ .

Ainsi,µ({|f|>}) =, ce qui prouve que|f| ≤µ-p.p.

Pour prouver quef =1A,µ-p.p, nous allons d´emontrer quef =fµp.p.(et alorsA={f =}). `A cet effet, on ´ecrit

Z

E

|ff| ≤ Z

E

|f −1An|+ Z

E

|f−1An|

= Z

E

|f −1An|+ Z

E

|f −1An| · |f +1An|

≤  Z

E

|1Anf|dµ,

car|1Anf| ≤µ-p.p. Ainsi, on obtient le r´esultat.

Fin



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