2 – Int´egration, th´eor`emes de convergence

Int´egration et probabilit´es

ENS Paris, 2013-2014

TD  — Int´egration, th´eor`emes de convergence

1 – Petites questions

) Soit (f_n)_n≥ une suite de fonions continues sur [,], `a valeurs r´eelles, avec≤f_n≤pour tout n, qui converge simplement vers. Montrer que

nlim→∞

Z _

 f_n(x)dx=.

) On d´efinit sur un espace mesur´e (E,A, µ) une suite de fonions mesurables (fn)_n≥et une fonion mesurablef telle quef_n→f µ-p.p. quandn→ ∞. On suppose que

sup

n≥

Z

E

|f_n|dµ <∞.

Montrer quef eint´egrable.

)(In ´egalit ´e de Markov)Soitf ∈L_(E,A, µ). Montrer que pour toutA >, µ({|f| ≥A})≤ 

A Z

E

|f|dµ.

) Soitf ∈L_(E,A, µ). Montrer queµ({f = +∞}) =.Que dire de la r´eciproque ?

2 – Int´egration, th´eor`emes de convergence

E

^{xercice 1.}

) Soitf une fonion d´erivable sur [,], de d´eriv´eef⁰ born´ee. Prouver que Z _

 f⁰(x)dx=f()−f().

) (?) Trouver une fonion continuepresque partout d´erivable sur [,] telle quef() =, f() = etR_

 f⁰(x)dx=.

Pour des queions, demande de pr´ecisions ou explications, n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail `a igor.kortchemski@ens.fr , ou bien `a venir me voir au bureau V.



E

^{xercice 2.} (Borel-Cantelli is back) Soientf : (R,B(R))→(R,B(R)) une fonion int´egrable pour la me- sure de Lebesgue etα >. Montrer que pour presque toutx∈R,

nlim→∞n^−αf(nx) =.

Indication donn´ee `a titre indicatif :on pourra consid´erer, pourη >, les ensembles A_η,n={x∈R:n^−α|f(nx)|> η}, n≥.

E

^{xercice 3.} (Uniforme continuit ´e de l’int ´egrale)

Soient (E,A, µ) un espace mesur´e etf : (E,A, µ)→(R,B(R)) une fonion int´egrable.

) Montrer que

nlim→∞

Z

|f|1{|f|>n}dµ=.

) Montrer que

∀ε >, ∃δ >,∀A∈ A, µ(A)< δ⇒ Z

A

|f|dµ < ε.

) Si f : (R,B(R))→(R,B(R)) e int´egrable pour la mesure de Lebesgue, que peut-on dire de la fonionF:u→R

[,u]f dλ?

E

^{xercice 4.} (Probl `eme :convergence en mesure)

Soit (E,A, µ) un espace mesur´e tel queµ(E)<∞. Soient (f_n)_n≥etf des fonions mesurables de (E,A) dans (R,B(R)). On dit que la suite (f_n) converge versf en mesure si pour toutε >,

µ(|f −f_n|> ε)−→.

. Montrer que siR

E|f −f_n|dµ→, alorsf_n→f en mesure. Remarquer que la r´eciproque efausse.

. Montrer que sif_n→f µ-p.p., alorsf_n→f en mesure. Remarquer que la r´eciproque efausse.

. En utilisant le lemme de Borel-Cantelli, montrer que sif_n→f en mesure, alors on peut extraire une suite de (f_n) qui convergeµ-p.p. versf.

. Un th´eor`eme de convergence domin´ee plus fort.On suppose quef_n→f en mesure et qu’il exie une foniong:E→Rint´egrable telle que|f_n| ≤g µ-p.p. pour toutn≥.

(a) Montrer que|f| ≤g µ-p.p.

(b) En d´eduire `a l’aide de la propri´et´e d’uniforme continuit´e de l’int´egrale que Z

E

|f_n−f|dµ→.

. L’espaceL^(E, µ). On note L^(E, µ) l’ensemble des fonions mesurables quotient´e par la relation d’´egalit´eµ-p.p.

(a) Montrer que l’on d´efinit une diance surL^(E, µ) par

δ(f , g) = inf{ε >, µ(|f −g|> ε)≤ε} et que celle-ci m´etrise la convergence en mesure.

(b) Montrer que (L^(E, µ), δ) ecomplet.

(c) Montrer qu’il n’exie pas de diance surL^(E, µ) qui m´etrise la convergenceµ-p.p.



E

^{xercice 5.}

Soitf :],[→Rune fonion positive, monotone et int´egrable.Quelle ela limite de la suite Z _

 f(xⁿ)dx

!

n≥

?

3 – Exercices `a chercher pour la prochaine fois

E

^{xercice 6. (Partiel) Soit (E,E}, µ) un espace mesur´e etf :E→R₊une fonion mesurable.

. On suppose quef eint´egrable. ´Etudier la convergence de la suite I_n=n

Z

E

ln +f n

! dµ lorsquen→ ∞.

. Mˆeme queion losqueR

Ef dµ=∞.

E

^{xercice 7.}

. Dans le lemme de Fatou, montrer que si l’on remplace lim inf par lim sup,f_n≥parf_n≤et≥ par≤, le th´eor`eme ree vrai. Montrer en revanche, `a l’aide de contre-exemples, qu’on ne peut pas se permettre d’en changer certains mais pas les autres.

. Donner un exemple de fonions (fn)_n≥ pour lesquelles l’in´egalit´e e rie dans le lemme de Fatou.

. Dans le th´eor`eme de convergence domin´ee, v´erifier, en donnant des exemples et contre-exemples, que si l’on oublie une hypoth`ese la conclusion peut reer vraie, ou pas !

. Reprendre la queion pr´ec´edente avec le th´eor`eme de convergence monotone.

. Soit (f_n) une suite de fonions positives convergeantµ-pp versf. Supposons queR

f_ndµ−→c <∞. Montrer queR

f dµed´efinie eappartient `a [, c] mais ne vaut pas n´ecessairementc.

. Conruire une suite de fonions continuesf_nsur [,], avec≤f_n≤, et telle que lim

Z_

 f_n(x)dx=,

sans toutefois que la suite (f_n(x)) ne converge pour aucunxde [,].

 – Compl´ements (hors TD)

E

^{xercice 8. Soit (X,A}, µ) un espace mesur´e de masse totale finie etf :X→Rmesurable. Montrer que :

f ∈L_(X,A, µ) ⇐⇒ X

n≥

µ({|f| ≥n})<∞. Que se passe-t-il si la masse totale einfinie ?



E

^{xercice 9. (Quand e}-ce que convergence p.p. implique convergence dansL_?) Soit (E,A, µ) un espace mesur´e avecµ(E)<∞. Une famille (f_i)_i∈I) de fonions mesurables deEdansRediteuniform´ement int´egrablesi

clim→∞sup

i∈I

Z

{|f_i|≥c}

|f_i|dµ=. ()

a) Montrer que toute famille finie deL_(E,A, µ) (not´eL_(µ) dans la suite) euniform´ement int´egrable.

b) Montrer que la famille (f_i)_i∈I) euniform´ement int´egrable si, et seulement si, les deux conditions suivantes sont satisfaites :

(i) sup

i∈I

Z

|f_i|dµ <∞

(ii) ∀ε >,∃η >,∀A∈ A, µ(A)< η=⇒ ∀i∈I,R

A|f_i|dµ < ε.

c) Montrer que si les familles (f_i)_i∈I et (g_i)_i∈I sont uniform´ement int´egrables, alors il en ede mˆeme pour la famille (f_i+g_i)_i∈I).

d) Soit (f_n)_n≥une suite de fonions qui convergeµ-p.p. vers une fonionf. Montrer que (f_n)_n≥

euniform´ement int´egrable si, et seulement si,f ∈L_(µ) et Z

E

|f_n−f|dµ −→

n→∞ .

E

xercice 10. (?) Soient (E,A, µ) un espace mesur´e et (A_n)_n≥une suite d’´el´ements deA. Soitf : (E,A, µ)→ (R,B(R)) une fonion int´egrable telle que

Z

E

1A_n−f

dµ −→

n→∞ .

Montrer qu’il exieA∈ Atel quef =1A,µpresque partout.

Fin

