Th´eor`eme 1.1

(1)

Ecole Normale Sup´erieure 20056-2007

Cours d’Analyse Fonctionnelle et EDP mai 2007

Chapitre 6 - Espaces de Sobolev et probl`emes variationnels

1 - Le Laplacien avec condition de Dirichlet dans un ouvert born´e.

Théorème 1.1. L’espaceH¹(Ω) est un espace de Hilbert séparable. L’espaceW^1,p(Ω), 1< p <∞est un espace réflexif séparable. L’espaceW^1,1(Ω) est un espace de Banach séparable et l’espaceW^1,∞(Ω) est un espace de Banach non séparable.

Preuve du Théorème 1.1. • Montrons que W^1,p(Ω), 1 < p < ∞ est réflexif. En effet, l’application T : W^1,p(Ω) → L^p(Ω)^N⁺¹, u7→ [u, ∂1u, ..., ∂Nu] est une isométrie. Donc T(W^1,p(Ω)) est un sev fermé de L^p(Ω)^N⁺¹ qui est réflexif comme produit fini d’espaces réflexifs. On en déduit que T(W^1,p(Ω)) est réflexif et donc égalementW^1,p(Ω).

• Montrons queW^1,p(Ω), 1≤p <∞ est séparable. En effet, T(W^1,p(Ω)) est séparable et donc également

W^1,p(Ω). ⊔⊓

Remarques 1. (i) Soit (un) une suite deW^1,p, 1≤p≤ ∞, telle queun →udans L^p et (∇un) admet une limite dans (L^p)^N, alorsu∈W^1,p etun→udansW^1,p. On peut remplacer les convergences dans L^p par des convergences au sensσ(L^p, L^p^′). En particulier, si 1< p≤ ∞, (un) est une suite born´ee de W^1,pet un⇀ u σ(L^p, L^p^′) alorsu∈W^1,p.

(ii) Pour 1< p <∞et (un) une suite deW^1,p, il y a équivalence (à extraction d’une sous-suite près) entre (1)un⇀ uau sensσ(W^1,p,(W^1,p)^′);

(2)un⇀ uet ∇un⇀∇uau sensσ(L^p, L^p^′);

(3) (un) est born´ee dansW^1,p.

En effet, (3) est équivalent à dire que (un) et (∇un) sont bornées dansL^p, qui est équivalent à son tour à (2) grâce à la compacité faible de la bouleBL^p d’une part et grâce à un corollaire de Banach-Steinhaus d’autre part. L’équivalence entre (1) et (3) est vraie pour les mêmes raisons.

(iii) Pour p = ∞, on garde l’équivalence entre (2) et (3). Plutôt que (1) on s’attend à une convergence faible∗. La question reste donc: W^1,∞ est-il le dual d’un espace de Banach?

(iv) Pour 1≤p≤ ∞,fj ∈L^p^′, 0≤j ≤ ∞, l’application u∈W^1,p 7→ Λ(u) :=

Z

Ω

f0u+

N

X

i=1

Z

Ω

fi∂iu

est une forme linéaire continue surW^1,p, donc un élément de (W^1,p)^′. En choisissantfj= 0 pour toutj6=i, on obtient ainsi que (1) implique (2) également dans le casp= 1.

(v) On voit que pour toutϕ∈ D(Ω)

Λ(ϕ) =hf0, ϕi+X

i

hfi, ∂iϕi=hf0−X

i

∂i{fi}, ϕi,

de sorte que

Λ|_D(Ω)∈W˜^−1,p^′(Ω) :={T ∈ D^′(Ω); T =f0−X

i

∂i{fi}, fj ∈L^p^′}.

SiD(Ω) est dense dans W^1,p(Ω) on a Λ∈W˜^−1,p^′.

Th´eor`eme 1.2 (Friedrichs). Soitu∈W^1,p(Ω) 1≤p <∞. Il existe une suite (un) de D(Ω)⊂ D(R^N) telle que

(2)

(i)un →udansL^p(Ω);

(ii)∇un|ω→ ∇u|ω dansL^p(ω)^N pour toutω⊂⊂Ω.

(iii) Par la réciproque du théorème de convergence dominée on peut donc également affirmer que

|un| ≤v∈L^p(Ω), un→up.p. dans Ω,|∂iun| ≤wi∈L^p_loc(Ω), ∂iun →∂iup.p. dans Ω.

Preuve du Théorème 1.2. On reprend la suiteun:=ρn∗(ζnu), avecζ=1Kn, (Kn) une suite exhaustive de compacts de Ω telle que dist(Kn,Ω^c)≥2/n, et (ρn) une suite régularisante,ρn=n^Nρ(n x), 0≤ρ∈ D(R^N), suppρ⊂B(0,1), kρk_L¹ = 1, utilisée dans la preuve de la densité de D(Ω) dans D^′(Ω). On remarque que vn=ζnu→udansL^p, par convergence dominée et puisqueu∈L^p(Ω), puis

kρn∗vn−uk_L^p_(Ω) ≤ kρn∗(vn−u)k¯ _Lp(R^N)+kρn∗u¯−uk¯ _Lp(R^N)→0, d’o`u (i). De plus,

∇un =ρn∗(u∇ζn+ζn∇u) dans ω⊂⊂Ω,

avec n⁻¹ < dist(K_n^c,ω) et¯ n⁻¹ < dist(¯ω,Ω^c) de sorte que ζn ≡ 1 sur ¯ω+B(0,1/n). Alors d’une part, ρn∗(ζn∇u) = ρn∗(∇u) → ∇udans L^p(ω). Et d’autre part, puisque ∇ζn = 0 sur ¯ω+B(0,1/n), on a ρn∗(u∇ζn) = 0 sur ω. On a donc (ii). L’assertion (iii) est alors une cons´equence de la ”r´eciproque du

théorème de convergence dominée”. ⊔⊓

Proposition 1.3. Soitu∈L^p(Ω) avec 1< p≤ ∞. Les propriétés suivantes sont équivalentes (i)u∈W^1,p(Ω);

(ii)∃Ctelle que Z

Ω

u ∂iϕ

≤Ckϕk_Lp′ ∀ϕ∈ D(Ω);

(iii)∃C telle que∀ω⊂⊂Ω,∀h∈R^N |h|<dist(¯ω,Ω^c) on akτhu−uk_L^p_(ω)≤C|h|.

De plus, dans le casp= 1, on a (i) ⇒(ii)⇔(iii).

Preuve de la Proposition 1.3. L’implication (i)⇒(ii) est une conséquence immédiate de la définition d’une fonction deW^1,p(Ω), 1≤p≤ ∞.

Montrons (i)⇒(iii). Siu∈C_c¹(R^N) et 1≤p <∞, on ´ecrit u(x−h)−u(x) =−

Z 1 0

h· ∇u(x−t h)dt.

Par H¨older, il vient

|τhu(x)−u(x)|^p≤ |h|^p Z 1

0

|∇u(x−t h)|^pdt, et apr`es int´egration sur le domaine

kτhu−uk^p_Lp(ω)≤ |h|^p Z

ω

Z 1 0

|∇u(x−t h)|^pdtdx≤ |h|^p Z 1

0

Z

Ω

|∇u(y)|dy dt=|h|^pk∇uk^p_Lp(Ω). Siu∈W^1,p(Ω) et 1≤p <∞on raisonne par densité en utilisant le théorème de Friedrichs. Siu∈W^1,∞(Ω) on applique ce qui précède dansW^1,p(Ω∩BR) avecR, p <∞et on laisse tendrep→ ∞, puisR→ ∞.

Montrons (ii) ⇒ (i). De (ii), on d´eduit que la distribution Ti:ϕ∈ D(Ω)7→ − Z

Ω

u ∂iϕ dx s’étend en une forme linéaire continue de L^p^′(Ω), elle s’identifie donc à un élement de L^p(Ω): ∃vi ∈ L^p(Ω) telle que

∂iu=Ti={vi}. Doncu∈W^1,p(Ω).

Montrons enfin (iii)⇒(ii). Pour toutϕ∈ D(Ω) ett >0,|t|<dist(suppϕ,Ω^c) on a

Z

Ω

(τt eiϕ−ϕ)u dx

= Z

Ω

(τt eiu−u)ϕ dx

≤C|t| kϕk_Lp′,

(3)

et on obtient (ii) en passant à la limitet→0. ⊔⊓ Définition 1.4. Soit 1≤p <∞. On définitW₀^1,p(Ω) comme étant la fermeture deC_c¹(Ω) dansW^1,p(Ω).

On noteH₀¹(Ω) =W₀^1,2(Ω). L’espaceW₀^1,p(Ω) est un espace réflexif, séparable comme sev fermé de l’espace W^1,p(Ω) et l’espaceH₀¹(Ω) est un espace de Hilbert. On montre sans difficulté en reprenant la preuve du Théorème 1.1 queW₀^1,p(R^N) =W^1,p(R^N), mais en généralW₀^1,p(Ω)6=W^1,p(Ω).

Remarques 2. (i) Par exemple,1Ω∈W^1,p\W₀^1,p si Ω est un ouvert born´e.

(ii) Pour 1 ≤p <∞, W₀^1,p est un sev fermé faible de W^1,p au sens oùun ∈W₀^1,p, un⇀ u dansL^p faible et (∇un) est bornée dans L^p implique u ∈ W₀^1,p. Indiquons deux preuves. Le plus simple est de dire que cela implique un⇀ u au sens σ(W^1,p,(W^1,p)^′) et de conclure grâce à un corollaire de Hahn-Banach.

Une deuxième preuve consiste à supposer de plus que un →u dansL^p, et donc∇un⇀∇u σ(L^p, L^p^′), et d’invoquer le lemme de Mazur, il existe une combinaison convexevN des (un)n≥N telle que∇vN → ∇udans L^p fort, et donc égalementvN →udansW^1,p. On a pas besoin de l’hypothèse supplémentaireun→udans L^pici. En effet, sivN =P

θ_i^Nuni etdest la distance associ´ee `a la convergence au sens de la topologie faible, on a

d(u, vN) =X

j

X

i

θ^N_i 2^−j|hwj, u−unii| ≤ sup

n≥Nd(u, un)→0 lorsque N → ∞,

ici (wj) est une suite dense deB_Lp′, donc encorevN⇀ uau sens faibleL^p. En itérant le lemme de Mazur, mais cette fois-ci avec la suite (vN), on construit une suite (wN) telle quewN →uen norme dansW^1,p. (iii) On a (W₀^1,p)^′ =W^−1,p^′ lorsque 1≤p <∞. On reprend l’isométrieT du théorème 1.1, qui est donc une bijection deW₀^1,psurG:=T(W₀^1,p)⊂(L^p)^N⁺¹. PourF ∈(W₀^1,p)^′ on définit∀v∈GΛ(v) :=hF, T⁻¹viqui est une application linéaire et continue. Par Hahn-Banach on étend Λ en un élément ¯Λ∈((L^p)^N+1)^′, avec kΛk((L^p)^N+1)^′ =kFk_(W¹

0)^′. Par le th´eor`eme de Riesz, il existefj ∈L^p^′, 0≤j≤N, telle que Λ(v) =¯

N

X

j=0

Z

vjfj ∀v ∈(L^p)^N⁺¹, avec donc kΛk¯ ((L^p)^N+1)^′ = max

0≤j≤Nkfjk_Lp′. On en d´eduit pour toutu∈W₀^1,p

hF, ui= Λ(T u) = Z

u f0+

N

X

j=1

Z

fj∂ju.

Or le terme de droite s’identifie à (est!) un élément deW^−1,p^′, d’où l’inclusion (W₀^1,p)^′ ⊂W^−1,p^′. L’inclusion

étant prouvé dans la remarque 1, on a bien établi l’existence d’une isométrie entre (W₀^1,p)^′ et W^−1,p^′. (iv) On doit pouvoir établir queW^1,∞= (W^−1,1)^′ (à vérifier ...).

(iv) Lorsque W₀^1,p 6= W^1,p on a W^−1,p^′ ⊂ (W^1,p)^′ sans avoir égalité, au moins dans le cas d’un ”ouvert régulier”. C’est un argument déjà rencontré dans le cadre fonctions continues/mesures de Radon. Soit donc un ouvert régulier Ω et acceptons l’existence d’un opérateur ”trace” (ou ”valeurs au bord”)γ:W^1,p(Ω)→ L^p(∂Ω) linéaire continu et tel queγu =u|∂Ω si u∈W^1,p(Ω)∩C( ¯Ω) On introduit l’espace vectoriel G:=

W₀^1,p+R1Ω 6= W₀^1,p puisque 1Ω ∈/ W₀^1,p. Alors γ(u+λ1Ω) = λ1∂Ω, ce qui permet de définir (grâce au théorème de Hahn-Banach) une forme linéaire continue ϕ : W^1,p → R telle que ϕ|G1∂Ω = γ|G. Alors si i : W₀^1,p → W^1,p est l’injection canonique, on voit que i^∗ϕ = 0 et pourtant ϕ 6= 0, cela prouve que i^∗ n’est pas injective. On peut être plus précis. En effet, acceptons l’existence d’un opérateur ”relèvement”

R : γW^1,p → W^1,p(Ω) lin´eaire continu et tel que ∀u ∈ γW^1,p(Ω) γ R u = u, de sorte que l’application P =Id−R◦γ :W^1,p →W^1,p est un projecteur sur W₀^1,p. En introduisant i: W₀^1,p→ W^1,p et j : V :=

(R◦γ) (W^1,p)→W^1,p les injections canoniques, on constate que Φ = (i^∗, j^∗) : (W^1,p)^′ →(W₀^1,p)^′×V^′ est un isomorphisme et donc (W₀^1,p)^′ s’identifie viai^∗`a un sev strict de (W^1,p)^′.

Théorème 1.5 (Inégalité de Poincaré). Supposons Ω borné (dans un moins une direction) et 1≤p <∞.

Alors il existe une constanteC=CΩ,ptelle que

∀u∈W₀^1,p(Ω) kukL^p(Ω)≤Ck∇ukL^p(Ω).

(4)

Remarque. L’inégalité de Poincaré est également vraie dans le cas où Ω est de mesure finie et régulier, c’est alors une conséquence de l’inégalité de Sobolev.

Preuve du Théorème 1.5. On peut supposer Ω borné dans la direction e1: Ω ⊂ {x∈ R^N,|x1| ≤R/2}.

Pouru∈C_c¹(Ω) on a alors

u(x) =u(x)−u(x1−R e1) =R Z 1

0

(∂1u)(x−R t e1)dt

et donc Z

Ω

|u|^p≤R^p Z

Ω

|∂1u|^pdx.

On raisonne ensuite par densit´eC_c¹(Ω)⊂W₀^1,p(Ω). ⊔⊓

Exemple 1.7. Soit Ω un ouvert borné. On considère le problème de Dirichlet homogène, i.e. étant donnée une fonctionf sur Ω, on cherche une fonctionu: ¯Ω→Rtelle que

(1) −∆u=f dans Ω, u= 0 sur ∂Ω.

Etape 1 (formulation variationnelle). Une solution classique est une fonctionu∈C²( ¯Ω) qui satisfait (1) en tout point. Une solution variationnelle est une fonctionu∈H₀¹(Ω) qui satisfait

(2)

Z

Ω

∇u∇v= Z

Ω

f v ∀v∈H₀¹(Ω).

Remarques 1.8. - La condition aux limitesu= 0 sur∂Ω est incluse dans le choix de l’espace dans lequel on travail: H₀¹(Ω) et non pasH¹(Ω) par exemple.

- Il est fondamental ici d’avoir le mˆeme espace pour la solution uet les fonctions tests v. Si l’espace des fonctions tests est plus petit, on parlera de solution faible. Par exemple, u∈H₀¹(Ω) est solution faible de (1) si

(3)

Z

Ω

∇u∇v= Z

Ω

f v ∀v∈ D(Ω), ou

(3^′)

Z

Ω

u(−∆v) = Z

Ω

f v ∀v∈ D(Ω).

Dans ce dernier cas, on parlera de solution au sens des distributions. Ici, il est évident qu’une solution u∈H₀¹(Ω) de (3^′) est une solution de (3) (il suffit d’utiliser la définition de∂iu), et qu’une solution de (3^′) est solution de (2) (par densité deD(Ω) dansH₀¹(Ω)). Attention, il n’est pas vrai qu’une solutionu∈H¹(Ω) de (3^′) est solution de (2), car on a perdu la condition aux limites.

Proposition 1.9. Une solution classiqueu∈C²( ¯Ω) est une solution variationnelle.

Preuve de la Proposition 1.9. - On a d’une part, pour toutϕ∈C_c¹(Ω) grˆace `a la formule de Stokes Z

Ω

∇u∇ϕ=− Z

Ω

div(∇u)ϕ− Z

∂Ω

(n· ∇u)ϕ= Z

Ω

f ϕ

puisque le terme de bord est nul à cause de la condition de support deϕ. Donc par densité la même identité est vraie pour toutϕ∈H₀¹(Ω).

- Il faut montrer d’autre part queu∈H₀¹(Ω). On consid`ereGε:R→Rla primitive qui s’annule en 0 de la fonction paireG^′_ε(s) = 0 si s < ε,G^′_ε(s) =s/ε−1 siε≤s≤2ε,G^′_ε(s) = 1 sis >2ε. AlorsGε(u)∈C¹(Ω)

(5)

et Gε(u) = 0 en dehors du compact K := {x∈ Ω, |u(x)| ≤ ε} avec K∩Ω^c = ∅, donc K ⊂ Ω et enfin Gε(u)∈ C_c¹(Ω). Comme Gε(u) → udans L^p(Ω) et (∇Gε(u)) est born´ee, on en d´eduit que u ∈ W₀^1,p(Ω)

grˆace `a la Remarque 2. ⊔⊓

Etape 2 (existence et unicit´e d’une solution variationnelle). On d´efinit a:H₀¹(Ω)×H₀¹(Ω)→R, a(u, v) =

Z

Ω

∇u∇v et F :H₀¹(Ω)→R, F(v) = Z

Ω

f v.

Alorsaest une forme bilinéaire, continue et coercive, puisque d’après l’inégalité de Poincaré a(u, u) =

Z

Ω

|∇u|²≥ 1 2

Z

Ω

|∇u|²+CΩ

2 Z

Ω

u²≥1

2min(1, CΩ)kuk²_H¹

0,

et F est une forme linéaire et continue. On applique le théorème de Lax-Milgram qui affirme l’existence et l’unicité d’une solutionu∈H₀¹(Ω) à l’équation

a(u, v) =F(v) ∀v∈H₀¹(Ω),

c’est-à-dire précisément une solution variationnelle. De plus,uest alors la solution du problème de minimi- sation

E(u) = min

v∈H₀¹(Ω)E(v), E(v) =1 2

Z

Ω

|∇v|²− Z

Ω

f v.

Enfin, on remarque que de l’in´egalit´e 1

2min(1, CΩ)kuk²_H¹

0 ≤ Z

Ω

|∇u|²= Z

Ω

f u≤ kfkL²kukL²

on d´eduit kuk_H¹

0 ≤CkfkL², en particulier l’application f 7→uest continue de L² dans H₀¹. Ce probl`eme est donc bien pos´e au sens de Hadamard.

On dit qu’un problème (linéaire ou non linéare)

f ∈Y, u∈X, Λu=f

est bien posé au sens de Hadamard si pour toutf ∈Y ilexisteuneuniquesolutionu∈X à ce problème, et si de plus,f 7→uestcontinue.

Etape 3 (régularité de la solution). De manière imprécise, si les données du problème sont régulières alors la solution l’est également. Par exemple, on a le résultat suivant: si Ω est de classeC^m+2etf ∈H^m(Ω), m∈N, alorsu∈H^m+2(Ω). La preuve d’un tel résultat est fastidieuse car elle demande de prendre en compte la géométrie de l’ouvert, et ceci n’est jamais très agréable à écrire! A l’intérieure du domaine les choses sont plus facile à écrire. Donnons l’idée de la preuve.

On part du calcul formel suivant. On prendv=∂²_iiudans la formulation variationnelle, et il vient Z

Ω

|∇∂iu|²= Z

Ω

f ∂iiu≤ kfk_L²k∂iiuk_L² ≤ kfk_L²k∇∂iuk_L², de sorte quek∇∂iukL²≤ kfkL², donc∀i, k ∂_ik²u∈L², et en conclusionu∈H².

Pour justifier ce calcul on considère plutôt la dérivée discrètev=D−h(Dhu),Dhv=|h|⁻¹(τhu−u), disons dans le cas Ω =R^N, de sorte quev∈H¹(R^N). Il vient alors

Z

Ω

|∇(Dhu)|²= Z

Ω

∇u∇D−hDhu= Z

Ω

f D−hDhu≤ kfkL²kD−hDhukL² ≤ kfkL²k∇DhukL².

(6)

On en d´eduit

k∇(Dhu)k_L² ≤ kfk_L², et doncu∈H²en passant `a la limiteh→0.

Une fa¸con alternative de démontrer le résultat est d’utiliser le partiel et les espacesH_loc^k (Ω) définis à l’aide de la transformé de Fourier.

La méthode ci-dessus s’adapte à de nombreux autres problèmes du type L u=−X

ij

∂i(aij(x)∂ju) +X

j

bj∂ju+c u=f

aveca= (aij),b= (bj) etcau minimum bornées (régulières pour pouvoir appliquer l’étape 3) etavérifiant une condition d’éllipticité

∃α0>0, ∀x∈Ω, ∀ξ∈R^N a(x)ξiξj≥α0|ξ|², avec des conditions aux limites vari´ees

u= 0 Dirichlet homog`ene, ∂u

∂n = 0 Neumann homog`ene, u=g Dirichlet non homog`ene, ∂u

∂n =g Neumann non homog`ene, αu+β∂u

∂n =g mixtes.

Cette méthode s’adpte également pour le problème du biLaplacien

∆²u=f Ω, u=g et ∂u

∂n=h ∂Ω, et le prob`eme de Stokes

∀f : Ω→R^N ∃(u, p) : Ω→R^N ×R −∆u+∇p=f Ω, divu= 0 Ω, u= 0 ∂Ω.

La difficulté est alors double: d’une part trouver le bon espace Hilbertien qui permet de mettre l’équation sous la forme d’une équation variationnelle (mais avec un peu d’entraˆınement on y arrive assez bien); d’autre part montrer que la forme bilinéaireaest coercive (cela peut être plus subtile).

2 - Le problème aux valeurs propres pour l’équation de Laplace avec condition de Dirichlet dans un ouvert borné.

Pouru∈L¹_loc(Ω) on d´efinit ¯u∈L¹_loc(R^N) par ¯u(x) =u(x) six∈Ω, ¯u(x) = 0 six /∈Ω.

Proposition 2.1. Soit 1≤p <∞etu∈W₀^1,p(Ω). Alors la fonction ¯uappartient `aW^1,p(R^N) et∂iu¯=∂iu.

Preuve du Th´eor`eme 2.1. Commeu∈W₀^1,p(Ω) il existe (un) une suite deC_c¹(Ω) telle queun→u W^1,p(Ω).

Pourϕ∈C_c¹(R^N) on a alors Z

Ω

un∂iϕ dx

= Z

Ω

∂iunϕ dx

≤ k∇unk_L^p_(Ω)kϕk_Lp′

(Ω). On en d´eduit en passant `a la limiten→ ∞

Z

R^N

¯ u ∂iϕ dx

= Z

Ω

u ∂iϕ dx

≤ k∇ukL^p(Ω)kϕk_Lp′

(R^N).

(7)

Cela implique ¯u∈W^1,p(R^N) d’après la proposition 1.3. En passant à la limite dans l’identité Z

Ω

un∂iϕ dx= Z

Ω

∂iunϕ dx,

il vient Z

R^N

¯

u ∂iϕ dx= Z

Ω

u ∂iϕ dx= Z

Ω

∂iu ϕ dx= Z

R^N

∂iu ϕ dx,

on conclut que∂iu¯=∂iu. ⊔⊓

Théorème 2.2. Soit Ω un ouvert borné deR^N. Alors l’injectionW₀^1,p(Ω)⊂L^p(Ω) est compacte.

Preuve du Théorème 2.2. On définit l’opérateur de prolongementP :W₀^1,p(Ω) →W₀^1,p(R^N) l’application u7→u. Soit¯ F =B_W^1,p

0 et G=PF. AlorsG est un sous-ensemble borné deL^p(R^N) tel quekτhv¯−vk¯ L^p≤ C|h| pour toutv ∈ F. D’après le théorème de Riesz-Fréchet-KolmogorovG|Ω est un compact de L^p(R^N),

i.e. F est un compact de L^p(Ω). ⊔⊓

Th´eor`eme 2.3. Il existe une base Hilbertienne (en)n≥1 de L², il existe (λn)n≥1 telle que λn > 0 et λn→ ∞et

en∈H₀¹(Ω), −∆en=λnen

On dit que (λn) est valeur propre de−∆ avec condition de Dirichlet et que les (en) dont les fonctions propres associ´ees.

Preuve du Théorème 2.3. On définit l’applicationf ∈L²(Ω)7→u=T f l’unique solution variationnelle du problème

u∈H₀¹(Ω), −∆u=f, i.e.

∀f ∈L²(Ω), T f ∈H₀¹ et Z

Ω

∇T f∇w= Z

Ω

f w.

Nous avons vu que l’opérateurT :L²→H₀¹⊂L² est continu. Il est également auto-adjoint car∀f, g∈L² en utilisant deux fois (pourgpuis pourf) la définition précédente

(T f, g)_L²= Z

(T f)g= Z

∇T f · ∇T g= Z

f T g= (f, T g)_L².

Il est aussi compact puisque l’injection H₀¹ ⊂L² est compacte. D’après le théorème ? il existe donc une base orthonormée (en) deL²formée de vecteurs propres deT: T en =µnen, (en, em) =δnm∀n, m∈N. De plus, le cararactère positif de−∆, plus précisément

∀n µn= (µnen, en) = (T en, en) = Z

Ω

|∇(T en)|²≥CΩ

Z

Ω

|T en|²≥0

impliqueµn ≥0 ∀n∈N. Enfin, siµn = 0 alorsT en= 0, et par d´efinition de T la fonctionen est solution variationnelle de l’´equationT en ∈H₀¹, −∆(T en) =en, doncR

env =R

∇T en∇v = 0 pour tout v ∈ H₀¹, et d’où on tireen = 0, ce qui est absurde. En conclusion, µn >0 ∀n∈N^∗, et toujours par le théorème ? µn→0. En posantλn=µ⁻¹_n on obtient la suite (λn, en) annoncée.

Proposition 2.4. Soit 1 ≤ p < ∞ et soit G ∈ C¹(R)∩Lip(R). Alors pour tout u ∈ W^1,p(Ω) on a G(u)∈W_loc^1,p( ¯Ω) et∂iG(u) =G^′(u)∂iu. Si de plusG(0) = 0 alorsu∈W^1,p(Ω) implique G(u)∈W^1,p(Ω) et u∈W₀^1,p(Ω) implique G(u)∈W₀^1,p(Ω).

Preuve de la Proposition 2.4. Comme G est Lipschitzienne on a |G(u)| ≤ L|u|+|G(0)| ∈ L^p(Ω) et

|G^′(u)∂iu| ≤L|∂iu| ∈L^p(Ω). On considère une suite (un) deD(Ω) telle que un→uau sens du théorème

(8)

de Friedrichs. AlorsG(un)∈C¹(Ω) et∂iG(un) =G^′(un)∂iun. Il suffit alors de passer à la limite (grâce au théorème de convergence dominée) dans la formulation intégrale de cette égalité. ⊔⊓ Proposition 2.5. On ne fait plus l’hypothèse sur G d’être de classe C¹, mais seulement G : R → R Lipschitzienne et de classe C¹ par morceaux, G^′ admet une limite à droite et une limite à gauche en tout point. Alors les conclusions de la Proposition 2.4 restent vraies. En particulier, u ∈ W₍₀₎^1,p implique u⁺, u⁻,|u| ∈W₍₀₎^1,p. Enfin, pour toutc∈R, on a

∇u= 0 sur {x∈Ω, u(x) =c}.

Preuve de la Proposition 2.5.

Corollaire 2.5. Soitu∈H¹(Ω) telle queu≥0 sur∂Ω (au sensu⁻∈H₀¹(Ω) et−∆u≥0 dans Ω (au sens des distributions) alorsu≥0 dans Ω (au sens presque partout).

Preuve du Corollaire 2.5. Pour toutϕ∈ D(Ω), ϕ≥0, on a Z

Ω

∇u∇ϕ= Z

u(−∆ϕ) =hu,−∆ϕi=h−∆u, ϕi ≥0.

Par densit´e et puisqueu⁺=1u>0u,u⁻=−1u<0u, il vient 0≤

Z

∇u∇u⁻= Z

(1u>0∇u+1u<0∇u)∇u⁻=− Z

1u>0∇u1u<0∇u− Z

|∇u⁻|²=− Z

|∇u⁻|², ce qui implique∇u⁻= 0, doncu⁻= 0 (grâce à l’inégalité de Poincaré), ce qui signifie bienu≥0. ⊔⊓ Proposition 2.6. On définit

J1:= inf

u∈H₀¹(Ω)

R|∇u|² R u² .

AlorsJ1=λ1 et il existe une valeur propre positivee1 associ´ee `aλ1, i.e. 0≤e1∈H₀¹(Ω).

Preuve de la Proposition 2.5. On remarque queJ1 ≥0 et mêmeJ1≥CΩ grâce à l’inégalité de Poincaré.

On d´efinitK={u∈H₀¹(Ω); kukL²= 1}et soit (vn) une suite deK telle queR

|∇vn|² → J1. On remarque queun=|vn| ∈K et

Z

|∇un|²= Z

|(signvn)∇vn|²= Z

1vn6=0|∇vn|²= Z

|∇vn|² → J1.

Comme (un) est une suite bornée deH₀¹, on peut en extraire une sous-suite (toujours notée (un)) qui converge au sens faible deH₀¹, i.e. ∃u∈H₀¹telle queun⇀ udansL²,∇un⇀∇udans (L²)^N. De plus, de l’injection compacteH₀¹⊂L² on déduit que en faitun →ufortement dansL², ∇un⇀∇udans (L²)^N. De plus, de l’injection compacteH₀¹⊂L²on déduit qu’en fait un→ufortement dansL². Par continuité d’une part on obtientu∈K, par un corollaire de Banach-Steinhaus d’autre part on a

(J1≤) Z

Ω

|∇u| ≤lim inf Z

Ω

|∇un|=J1. On retrouve ici queJ1>0, puisque u6≡0.

Soitw∈H₀¹(Ω),w6≡0. Alorsu+t w∈H₀¹(Ω) etku+t wkL² 6= 0 pour toutt∈(−a, a),a:=kwk⁻¹_L2. Par d´efinition deJ1, on a donc

Z

Ω

∇ u+t w ku+t wk_L²

2

≥J1.

(9)

On calcule alors Z

|∇u|²+ 2t Z

∇u· ∇w+t² Z

|∇w|²≥J1

Z

u²+ 2t Z

u w+t² Z

w²

En simplifiant le terme constant (en t), en divisant par t >0, puis en passant `a la limitet →0 on obtient

donc Z

∇u· ∇w≥J1

Z

u w ∀w∈H₀¹(Ω).

On a donc égalité (prendrewet −w), ce qui signifie queuest une solution variationnelle du problème aux valeurs propres

u∈H₀¹(Ω), −∆u=J1u Ω.

Pour toute valeur propreλet toute fonction propre associ´eev∈H₀¹(Ω) on a Z

Ω

|∇v|²=λ Z

Ω

|v|²,

et la d´efinition deJ1 implique donc J1≤λ. AinsiJ1 =λ1 est bien la plus petite valeur propre associ´ee au

probl`eme. ⊔⊓

Remarque 2.6. Ce résultat est à comparer au théorème sur les opérateurs auto-adjoints qui affirme que

M = sup

f∈L²,kfk_L2=1

(T f, f)

est tel que M ∈σ(T). Comme T ≥0,M >0 etT est compact, on en déduit queM ∈VP(T) d’après le théorème sur le spectre des opérateurs compacts.

Exercice 2.6. Soit Ω un ouvert deR^N.

a) Rappeler pourquoi I−∆ est un isomorphisme de H^σ+2(R^N) → H^σ(R^N) pour tout σ ∈ R, pourquoi C_c^k(R^N) ⊂ H^k(R^N) pour tout k ∈ N et pourquoi H^σ(R^N) ⊂ C^k(R^N) pour tout σ > k+N/2, k ∈ N. Montrer que∇:H^σ(R^N)→H^σ−1(R^N) et que siu∈H^σ(R^N) etϕ∈ D(R^N) alorsu ϕ∈H^σ(R^N).

Pourσ∈Retω⊂Ω un ouvert, on d´efinit

H_loc^σ (ω) :={u∈ D^′(ω); ∀ϕ∈ D(ω), ϕ u∈H^σ(R^N)}.

b) Montrer que toute distribution est localement dansH^s; i.e. ∀T ∈ D^′(Ω), ∀ω ouvert tel que ¯ω ⊂Ω il existe∃s=s(T, ω)∈Rtel queT ∈H_loc^s (ω).

c) Soitf ∈ D^′(Ω) etu∈ D^′(Ω) une solution de −∆u=f au sens deD^′(Ω). Supposons que f ∈H_loc^r (ω) avecω ouvert tel que ¯ω ⊂Ω et montrer queu∈H_loc^r+2(ω). En d´eduire que sif ∈C^∞(ω) alorsu∈C^∞(ω).

On dit que l’op´erateur ∆ est hypo´eliptique.

Correction de l’Exercice 2.6.

a) - On rappelle que

H^σ(R^N) :={u∈ S^′(R^N), (1 +|ξ|²)^σ/2uˆ∈L²(R^N)}.

a1) - Pour toutT ∈ S^′, on aF(∂xiT) =i ξiTˆ, puisque pour toutϕ∈ S

hF(∂xiT), ϕi=h∂ξiT,ϕiˆ =−hT, ∂ξiϕiˆ =hT, iF(xiϕ)i=hi ξiT , ϕi.ˆ DoncF((I−∆)T) = (1 +|ξ|²) ˆT, et pour toutT ∈ S^′ on a

T ∈H^σ+2 ssi (1 +|ξ|²)^σ/2+1Tˆ∈L²

ssi (1 +|ξ|²)^σ/2F((I−∆)T)∈L² ssi (I−∆)T∈H^σ.

(10)

Il est alors clair queT 7→S:=F⁻¹((1 +|ξ|²) ˆT) est un isomorphisme deH^σ+2 dans H^σ. En particulier, si S∈H^σ alorsT :=F⁻¹((1 +|ξ|²)⁻¹S)ˆ ∈H^σ+2.

a2) - Pour toutu∈C_c^k(R^N), on a∂^αu∈Cc(R^N)⊂L² ∀α,|α| ≤keti^|α|ξ^αuˆ=F(∂^αu)∈L² (F est une isométrie deL²). En particulier, (1 +|x|²)^k/2|û| ≤C(1 +|x1|^k+...+|xN|^k)|û| ∈L²et donc u∈H^k.

a3) - On rappelle queH^σ(R^N)⊂C0(R^N) siσ > N/2 (car alors û∈L¹ par Cauchy-Schwarz et on utilise queF⁻¹:L¹→C0). Comme∂i:H^σ+1 →H^σ (c’est juste l’inégalité|ξ|(1 +|ξ|²)^k/2 ≤C(1 +|ξ|²)^(k+1)/2), on a∂^αu∈C0(R^N) pour toutu∈H^σ(R^N) et toutα,|α| ≤[σ−N/2], où [.] désigne la partie entière. Enfin, on remarque que (1 +|ξ|²)^k/2≤16^k/2(1 +|η|²)^k/2(1 +|ξ−η|²)^k/2 ∀ξ, η∈R^N. En effet, pourη∈R^N tel que|η| ≥ |ξ|/4 on a (1 +|η|²) (1 +|ξ−η|²)≥1 +|η|² ≥1 +|ξ|²/16 et pourη ∈R^N tel que |η| ≤ |ξ|/4 on a (1 +|η|²) (1 +|ξ−η|²)≥1 +|ξ−η|² ≥1 +|ξ|²/2− |η|² ≥1 +|ξ|²/16 (on a utilisé l’inégalité de Young

|ξ·η| ≤ |ξ|²/4 +|η|²). Ainsi en notant ˜u= (1 +|ξ|²)^k/2uˆ et ˜ϕ= 16^k/2(1 +|ξ|²)^k/2uˆon obtient

|F(ϕ u)|(1 +|ξ|²)^k/2≤ |ˆu∗ϕ|ˆ (1 +|ξ|²)^k/2≤u˜∗ϕ,˜ et donc

ku ϕk_H^k≤ k˜u∗ϕk˜ L²≤ k˜ukL²kϕk˜ L¹≤CNkϕk_H^k+N+1kuk_H^k <∞.

b) Soit ω ⊂ ω¯ ⊂ Ω. Il existe χ ∈ D(Ω) tel que χ ≡ 1 sur ¯ω. On a alors T χ ∈ E^′(Ω), et donc on peut considérer T χ comme un élément deS^′(R^N) (en posant hT χ, ϕi= hT, χ ϕi pour tout ϕ ∈ S(R^N)). Par définition d’une distribution, il existem∈N,C >0 tels que

∀ψ∈ D(Ω), suppψ⊂suppχ |hT, ψi| ≤C sup

α,|α|≤m

sup

x∈Ω

|(∂^αψ)(x)|.

On en d´eduit

∀ϕ∈ S(R^N), |hT χ, ϕi| ≤Ckχ ϕkW^m,^∞ ≤Ckχ ϕkH⁻^s ≤CkϕkH⁻^s,

où on a posé−s := m+N/2 + 1. Par ailleurs, F(χ T) ∈ C^∞ puisque χ T ∈ E^′(R^N). Ainsi, pour tout ϕ∈ D(R^N) et une suite (ρm) d’approximation de l’identité

Z

R^N

(1 +|ξ|²)^sF(T χ)ϕ dξ = lim

m→∞

Z

R^N

(1 +|ξ|²)^sF((T χ)∗ρm)ϕ dξ

= lim

m→∞

Z

R^N

(T χ)∗ρmF((1 +|x|²)^sϕ)dξ

= hT χ,F((1 +|x|²)^sϕ)i ≤CkF((1 +|x|²)^sϕ)k_H⁻^s =CkϕkL². Puisque (L²)^′ = L², cela d´emontre que (1 +|ξ|²)^sF(T χ) ∈ L² et donc T χ ∈ H^s(R^N). On conclut que T ∈H_loc^s (ω) puisque pour toutϕ∈ D(ω) on aT ϕ=T(ϕ χ) = (T χ)ϕ.

c) D’apr`es l’´etape b) il existestel queu∈H_loc^s (ω). On noter0= min(r, s). Soitϕ∈ D(ω) et soitχ∈ D(ω) telle queχ≡1 sur suppϕ. On a

∇(χ u) =χ∇u+u∇χ et

u ϕ−∆(u ϕ) = u ϕ−u∆ϕ−2∇u· ∇ϕ−ϕ∆u

= u

ϕ−∆ϕ+ 2∇χ·∇ϕ χ

−2∇(χ u)· ∇ϕ

χ +ϕ f=:S.

Puisque f ∈ H_loc^r (ω) et u ∈ H_loc^r⁰(ω) on a f θ ∈ H^r⁰(R^N), u θ ∈ H^r⁰(R^N), et ∇(u θ) ∈ H^r⁰⁻¹(R^N) pour tout θ ∈ D(ω), et donc S ∈ H^r⁰⁻¹(R^N). On en déduit, grâce au fait que (I−∆)⁻¹ : H^σ →H^σ+2, que u ϕ∈ H^r⁰⁺¹. Ceci étant vrai pour tout ϕ∈ D(ω) cela signifie que u∈H_loc^r⁰⁺¹. En itérant l’argument on obtient in fineu∈H_loc^r+2. Enfin, sif ∈C^∞(ω) alors f ∈H_loc^r pour tout r ∈N, donc u∈H_loc^r+2 pour tout r∈N, et enfin doncu∈C^∞(ω).

(11)

Corollaire 2.7. Toute valeur propreen v´erifieen∈H₀¹(Ω)∩C^∞(Ω).

Preuve de la Proposition 2.7. il suffit d’utiliser le théorème précédent et de faire un raisonnement par Bootstrap: on a en ∈L²(Ω) implique en∈H_loc² (Ω) qui implique à son touren ∈H_loc⁴ (Ω) et ainsi de suite.

On obtient ainsien∈H_loc^∞(Ω) =C^∞(Ω). ⊔⊓

Théorème 2.8 (propriétés/formules de la moyenne et principe du maximum fort). Soit Ω un ouvert connexe. Soit u ∈ C²(Ω) telle que −∆u≥ 0. Alors pour toutx0 ∈ Ω et tout r > 0 tel que B(x0, r)⊂Ω on a

u(x0)≥ I

∂B(x0,r)

u(y)dσ(y) et u(x0)≥ I

B(x0,r)

u(x)dx.

Si de plusu≥0 et en notantm:= infΩuon a alors

ou bien u≡m Ω, ou bien u > m Ω.

Preuve du Th´eor`eme 2.8. Par la formule de Stokes on a

− Z

∂B(x0,r)

∂u

∂ndσ=− Z

B(x0,r)

∆u dσ≥0.

On introduit les coordonnées sphériques y = x0+ρ ω, ω ∈ R^N, |ω| = 1, ρ > 0, et la nouvelle fonction v=v(ρ, ω) =u(x) =u(x0+ρ ω). Par les propriétés de l’intégrale sur la sphère, on a

Z

∂B(x0,r)

∂u

∂ndσ= Z

∂B(0,1)

∂v

∂ρρ^N⁻¹dω=ρ^N−1 ∂

∂ρ Z

∂B(0,1)

v dω=ρ^N−1 ∂

∂ρ

"

ρ^1−N Z

∂B(x,ρ)

u dσ

# .

Combinant la première inégalité et cette identité on a ainsi montré que l’application ρ 7→ ρ^1−N

Z

∂B(x,ρ)

u dσρ

est d´ecroissante pourρ∈(0, r). En particulier,

∀ρ∈(0, r]

I

∂B(x0,ρ)

u dσρ≤ I

∂B(x0,r)

u dσ.

On obtient la première formule de la moyenne en passant à la limite ρ → 0. La seconde formule de la moyenne s’en déduit

Z

B(x0,r)

u dx= Z r

0

Z

∂B(x0,ρ)

u dσρdρ≥ Z r

0

|S1|ρ^N⁻¹u(x0)dρ= |S1|

N r^Nu(x0) =|Br|u(x0).

Soientm:= infΩu≥0 etA:={x∈Ω; u(x) =m}. Aest un ferm´e de Ω. Si A6=∅, il existe x0∈Ω tel que u(x0) =met il exister >0 tel queB(x0, r)⊂Ω. Alors

0 =u(x)−m≥ I

B(x0,r)

[u(y)−m]dy≥0,

caru(y)−m≥0 dans Ω, et doncu(y)−m= 0 dansB(x0, r). Cela prouve queA est ´egalement ouvert, et

doncA= Ω, soit encoreu≡mdans Ω. ⊔⊓

Proposition 2.9. L’espace propre E1 associ´e `a λ1 est de dimension 1 et E1=Re1 avece1 >0 dans Ω.

Enfin,λ1 est la seule valeur propre associ´ee `a une fonction propre positive.

(12)

Preuve de la Proposition 2.9. Soitu∈H₀¹(Ω) une fonction propre associée à la valeur propreλ1. Montrons par l’absurde queune change pas de signe. On suppose donc queu^± 6≡0. Commeu^±∈H₀¹et par définition deλ1on a

(∗1)

Z

Ω

|∇u⁺|²≥λ1

Z

Ω

|u⁺|² et Z

Ω

|∇u⁻|²≥λ1

Z

Ω

|u⁻|², Or on a ´egalement

Z

Ω

|∇u⁺|²+ Z

Ω

|∇u⁻|²= Z

Ω

|∇u|²=λ1

Z

Ω

|u|²=λ1

Z

Ω

|u⁺|²+λ1

Z

Ω

|u⁻|².

Ainsi les inégalité dans (∗1) sont nécessairement des égalités. Cela implique en particulier en reprenant la preuve de la proposition 2.5 queu⁺ etu⁻ sont des fonctions propres associées à la valeur propreλ1, et donc

−∆u^±=λ1u^± ≥0 dans Ω. D’après le corollaire 2.7, on a u^± ∈C^∞(Ω) et donc d’après la proposition 2.8 u^±>0 (puisqueu^± 6≡0 par hypothèse). Cela est absurde puisque l’intérieur des supports deu⁺ etu⁻sont disjoints. Cela démontre donc queune change pas de signe.

Soitw ∈H₀¹(Ω)∩C^∞(Ω) une fonction propre associée à la valeur propre λ1. On peut donc supposer par exemplew >0 dans Ω. Pour tout t∈R on définit la fonctionv=e1−t wqui est également une fonction propre associée à λ1. On a v0 =e1>0 dans Ω etvt→ −∞dans Ω lorsquet→ ∞. On définitτ ∈(0,∞) minimal tel que maxvτ = 0. Si un tel τ n’existait pas, on aurait donc toujours maxvt >0, et également minvτ^′ <0 pour τ^′ assez grand. Alorsvτ^′ serait une fonction propre associée àλ1 qui change de signe, et cela n’est pas possible. Maintenant, une première possibilité est quevt>0 dans Ω pour toutt < τ etvt<0 dans Ω pour toutt > τ. Dans ce cas on avτ ≡0 et la fonction propre west proportionnelle à e1, c’est ce que nous voulions établir. Une seconde possibilité serait que l’on n’ait pas vt>0 dans Ω pour toutt < τ, et doncvtchange de signe, ou que l’on n’ait pasvt<0 dans Ω pour toutt > τ, et doncvtchange de signe.

Mais encore une fois cela n’est pas possible. En conclusionE1=Re1.

Enfin, siw∈H₀¹(Ω) est une valeur propre, disons positive, associ´ee `a une valeur propreλ, on a λ

Z

Ω

w e1= Z

Ω

(−∆w)e1= Z

∇w· ∇e1= Z

Ω

w(−∆e1) =λ1

Z

Ω

w e1, ce qui impliqueλ=λ1 puisqueR

Ωw e16= 0 par hypoth`ese (e1>0 etw≥0,w6≡0).

3 - L’´equation de la chaleur avec condition de Dirichlet dans un ouvert born´e.

On consid`ere dans cette section l’´equation de la chaleur

(3.1) ∂tu−∆u= 0 Ω, u= 0 ∂Ω

avec condition initiale

u(0, .) =u0,

qui porte sur l’inconnueu=u(t, x) : (0, T)×Ω¯ →R. Observer que pour que ce problème soit bien posé on prescrit une condition aux limites (qui est ici la plus simple possible: la condition de Dirichlet homogène).

On souhaite présenter laméthode spectralequi consiste à ”projeter” cette équation sur une base de fonctions propres du Laplacien. Cela fonction bien grâce à la résolution du problème aux valeurs propres effectuée dans la section précédente, et donc fondamentalement parce que Ω est borné. Lorsque Ω =R^N ce problème peut être résolu plus simplement grâce à l’existence d’une formule intégrale explicite (celle-ci peut être obtenue en effectuant une transformation de Fourier en la variablex par exemple). Dans le cas général, Ω 6=R^N non bornée, le problème (3.1) est encore bien posé et il se résout grâce à la théorie de Hill-Yosida sur les opérateurs non bornés.

(13)

On commence à chercher une solution sous la formeu(t, x) =a(t)w(x) (méthode de séparation des variables).

On auest solution si, et seulement si,

−∆w=−a^′(t)

a(t) w dans (0,∞)×Ω ce qui impliquea^′/aconstant etwest une fonction propre.

En prenantu(t, x) =an(t)en(x) il vient

a^′_n =−λnan

et donc

u(t, x) :=e^−λⁿ^ten(x)

est une ”solution” de l’équation (3.1). Précisons le sens. Ici, c’est une solution classique dès que l’on sait que en∈C²( ¯Ω) puisqu’alorsu∈C²([0,∞)×Ω). Sans hypothèse de régularité sur Ω, on a seulement¯ en ∈H₀¹(Ω), et dans ce cas pour toutϕ∈ D(Ω) ouϕ∈H₀¹(Ω)

d dt

Z

Ω

u(t, x)ϕ(x)dx = d dt

Z

Ω

e^−λⁿ^ten(x)ϕ(x)dx=−λne^−λⁿ^t Z

Ω

en(x)ϕ(x)dx

= −e^−λⁿ^th−∆en, ϕi=−e^−λⁿ^t Z

Ω

∇en(x)∇ϕ(x)dx

= −

Z

Ω

∇u(t, x)∇ϕ(x)dx, et cette égalité à lieu au sens classique sur (0,∞).

On d´efinit Hm := {u ∈ L²;u = C.L. des e1, ..., em} s.e.v. de dimension finie et Sm : Hm → Hm par Sm(t)ei:=e^−λⁱ^tei. Alors

(i)∀t≥0Sm(t) :Hm→Hmest un op´erateur lin´eaire et continu;

(ii)Sm(t+s) =Sm(t)◦Sm(s)∀t, s≥0;Sm(0) =IHm; (iii)∀u0∈Hmt7→Sm(t)u0 est continue deR₊ dansL²; (iv) et enfinkSm(t)kL(L²)≤1.

On dit queSm est un semi-groupe de contraction s’il v´erifie (i)–(iv).

Lemme 3.1. On d´efinitS(t)^′′:= limm→∞Sm(t)^′′. Alors cette limite existe bien etS(t) ainsi d´efini est un semi-groupe de contraction.

Lemme 3.1. On d´efinit Πm : L² → Hm la projection orthogonale et ˜Sm := Sm◦Πm la suite de semi-groupes de contraction dansL².

4 - In´egalit´es de Sobolev et Morrey.

Théorème 4.1 (Sobolev, Gagliardo, Niremberg). Soit 1≤ p < N. Alors W^1,p(R^N)⊂L^p^∗(R^N) où p∗ ∈(p,∞) est défini par la relation

1 p^∗ =1

p− 1 N, et il existe une constanteC=C(N, p) telle que

kuk_Lp∗ ≤Ck∇ukL^p ∀u∈W^1,p(R^N).

Preuve du Théorème 4.1. (Trois preuves: celle de Brézis, celle de Gilbarg, Trudinger, Evans, enfin celle de Lieb et Loss qui repose sur l’inégalité de HLS) On commence par traiter le casp= 1, et donc 1^∗=N/(N−1).

Soitu∈C_c¹(R^N). On ´ecrit

|u(x1, ..., xn)| ≤ Z

R

|∂iu|(x1, ..., xi−1, t, xi+1, .., xN)dt