Corrig´ e du devoir 3

IFP Ann´ee 2001-2002

Corrig´ e du devoir 3

Probl`eme Premi`ere partie

I.1. Attention : si elle existe, la fonction limf_n est mesurable (voir le cours), mais en g´en´eral, elle n’existe pas.

Par contre, les fonctions lim supf_n et lim inff_n sont toujours d´efinies sur Ω et ´etant donn´e x dans Ω, (f_n(x)) admet une limite si et seulement si lim sup_n→+∞f_n(x) = lim infn→+∞f_n(x), donc

L = {x∈Ω|lim supf_n(x) = lim inff_n(x)≥0}

= {x∈Ω|(lim supf_n−lim inff_n)(x) = 0,lim supf_n(x)≥0}

= (lim supfn−lim inffn)⁻¹({0})∩(lim supfn)⁻¹([0,+∞[),

o`u on peut remplacer [0,+∞[ par [0,+∞] si on autorise la limite `a ˆetre +∞. Les fonctions lim inff_n et lim supf_n ´etant F −Bor(R) mesurables et {0} [0,+∞[, [0,+∞] ´etant des bor´eliens de R, on en d´eduit queL est dansF.

Remarque : de mˆeme, l’ensemble des x de Ω tels que (f_n(x)) ait une limite n´egative est aussi un ´el´ement de F.

I.2. Soit B ∈ F et soit h mesurable. On suppose de plus que h est positive p.p. sur B et telle que R

Bhdµ = 0. On veut montrer que h = 0 p.p. sur B, c’est-`a-dire que {x ∈ B | h(x) 6= 0}(= B ∩h⁻¹(R^∗)) ∈ F (ce qui d´ecoule de la mesurabilit´e de h) et µ({x∈B |h(x)6= 0}) = 0. Commehest positive p.p. surB,µ({x∈B |h(x)<0}) = 0, donc

0 = Z

B

hdµ= Z

B∩{h>0}

hdµ+ Z

B∩{h=0}

hdµ+ Z

B∩{h<0}

hdµ= Z

B∩{h>0}

hdµ.

Or Z

B∩{h>0}

hdµ≥ Z

B∩{h≥¹

n}

hdµ≥ 1 nµ

x∈B |h(x)≥ 1 n

. On obtient doncµ

x∈B |h(x)≥ ¹_n = 0, ce qui impliqueµ{x∈B |h(x)>0}= 0 puisque {x∈B |h(x)>0} est l’union croissante des

x∈B |h(x)≥ _n¹ .

I.3. Etant donn´e A ∈ F, f et g int´egrables sur A telles que pour tout B de F inclus dans A, R

Bfdµ = R

Bgdµ, prenons B = {x ∈ A | f(x) ≥ g(x)}. Alors B = (f − g)⁻¹([0,+∞[)∩A doncB est dans F. Par hypoth`ese, R

B(f−g) dµ= 0. De plus, sur B, f−g est mesurable positive donc d’apr`esI.2. f−g = 0 µ-p.p. sur B. En raisonnant de mˆeme avec B⁰ = {x ∈ A | f(x) < g(x)} et g −f, on obtient g −f = 0 µ-p.p. sur B⁰. Comme A=B∪B⁰, f =g µ-p.p. sur A.

Deuxi`eme partie

Pour A bor´elien born´e et y dans R, notons F_A(y) =

Z

R

|1_A(x)−1_A(x+y)|dλ(x).

On veut montrer que limy→0F_A(y) = 0.

Il sera utile dans ce qui suit de remarquer que pour tout bor´elien A et touty de R, F_A(y)≤

Z

R

1_A(x) +1A−y(x)

dλ(x) =λ(A) +λ(A−y) = 2λ(A).

II.1.Soit A= ]a, b[ (a < b) un intervalle ouvert born´e. On a 1_A(x+y) =1A−y(x) avec A−y={x∈R|x+y∈A}= ]a−y, b−y[.

Pour 0 ≤ y < b− a, on a a −y < a < b −y < b et on obtient en regardant successivement les cas x≤a−y; a−y < x≤ a; a < x < b−y; b−y ≤x < b; b ≤x l’´egalit´e entre fonctions :

|1_A−1A−y|=1_]a−y,a]+1_[b−y,b[.

Par cons´equent, pour 0≤y < b−a,F_A(y) =λ(]a−y, a]) +λ([b−y, b[) = 2y.

De mˆeme, pour a−b < y <0, on a

|1_A−1A−y|=1_]a,a−y]+1_[b,b−y[, donc F_A(y) = −2y.

Finalement, pour tout y tel que |y|< b−a, F(y) = 2|y| donc

y→0limF_A(y) = 0.

II.2. Soit A = S

n∈NJ_n, o`u les J<sub>n</sub> sont des intervalles ouverts born´es deux `a deux disjoints.

1. On a 1_A = P+∞

n=01_Jn et dans cette s´erie, en chaque point, un terme au plus est non nul. Pour tousx, y deR,

|1_A(x)−1_A(x+y)| =

+∞

X

n=0

1_Jn(x)−

+∞

X

n=0

1_Jn(x+y)

≤

+∞

X|1_J (x)−1_J (x+y)|,

donc

FA(y)≤ Z

R +∞

X

n=0

|1Jn(x)−1Jn(x+y)|

!

dλ(x).

Le corollaire du th´eor`eme de Beppo-Levi pour les s´eries de fonctions mesurables positives donne

Z

R +∞

X

n=0

|1_Jn(x)−1_Jn(x+y)|

!

dλ(x) =

+∞

X

n=0

Z

R

|1_Jn(x)−1_Jn(x+y)|dλ(x), le terme de droite ´etant ´egal `a P+∞

n=0F_Jn(y), qui est major´e par P+∞

n=02λ(J_n) d’apr`es la remarque faite dans II.1.. Enfin P+∞

n=02λ(J_n) = 2λ(A) puisqueA est l’union disjointe des Jn.

On a donc montr´e FA(y)≤

+∞

X

n=0

FJn(y)≤

+∞

X

n=0

2λ(Jn) = 2λ(A)<+∞.

2. Pour montrer que lim_y→0F_A(y) = 0, il suffit de montrer que pour toute suite (y_p)p∈N tendant vers 0, limp→+∞F_A(y_p) = 0. Soit donc (y_p)p∈N une suite tendant vers 0. D’apr`es 1),F_A(y_p)≤P+∞

n=0F_Jn(y_p). On va appliquer le th´eor`eme de conver- gence domin´ee de Lebesgue aux fonctions f_p d´efinies par f_p(n) = F_Jn(y_p) et avec la mesure µ=P+∞

n=0δ_n (mesure de comptage de N) :

a) pour toutn deN, limp→+∞f_p(n) = limp→+∞F_Jn(y_p) = 0 d’apr`esII.1.;

b) d’apr`es 1., pour tout n de N, |f_p(n)| = |F_Jn(y_p)| ≤ 2λ(J_n) = g(n) en notant g(n) = 2λ(J_n). De plus, R

Ngdµ = P+∞

n=0g(n) = P+∞

n=02λ(J_n) = 2λ(A) < +∞

donc g est int´egrable par rapport `a µ.

Le th´eor`eme de Lebesgue s’applique donc : on obtient limp→+∞

R

Nf_pdµ= 0, c’est-`a-dire limp→+∞P+∞

n=0F_Jn(y_p) = 0.

Conclusion : limy→0F_A(y) = 0 pour tout ouvert born´e A, puisque tout ouvert de R s’´ecrit comme union d´enombrable d’intervalles ouverts disjoints (ses composantes connexes).

II.3.Soit A un bor´elien born´e quelconque. Soit ε >0 et (y_p)p∈N une suite tendant vers 0. SoitJ un ouvert tel que A⊂J etλ(J \A)< ε. Comme J est l’union disjointe de A etJ\A,1_A =1_J −1_J\A. On en d´eduit imm´ediatement

FA(yp)≤FJ(yp) +FJ\A(yp)≤FJ(yp) + 2λ(J \A)≤FJ(yp) + 2ε

en utilisant la remarque du d´ebut de la deuxi`eme partie. D’apr`esII.2., limp→+∞F_J(y_p) = 0, donc (0≤) lim sup_p→+∞F_A(y_p)<2ε (on ne sait pas a priori si la limite existe). Ceci

´etant vrai pour tout ε > 0, on obtient lim sup_p→+∞F_A(y_p) = 0 = lim infp→+∞F_A(y_p), d’o`u la limite de F_A(y_p) quand p tend vers +∞ existe et vaut 0.

Conclusion : pour tout bor´elien born´e A,

y→0lim Z

R

|1_A(x)−1_A(x+y)|dλ(x) = 0.

Troisi`eme partie

III.1.SoitA un bor´elien born´e deR. Pour tout xdeR,|e^inx1_A(x)|=1_A(x), Lebesgue- int´egrable surR puisque A est born´e. Par d´efinition, on peut alors ´ecrire

Z

A

e^inxdλ(x) = Z

R

e^inx1_A(x) dλ(x).

Comme e^inx−eⁱⁿ(^x−_n^π) = e^inx−e^inx−iπ = 2e^inx, Z

A

e^inxdλ(x) = 1 2

Z

R

1_A(x)

e^inx−eⁱⁿ(^x−πn) dλ(x)

= 1

2 Z

R

1A(x)e^inxdλ(x)− 1 2

Z

R

1A(x)eⁱⁿ(^x−π_n) dλ(x)

= 1

2 Z

R

1_A(x)−1_A x+ π

n

e^inxdλ(x)

en faisant le changement de variables ϕ(x) =x− ^π_n dans la seconde int´egrale.

III.2.Soit A un bor´elien inclus dans [0,2π], donc born´e. Alors

Z

A

e^inxdλ(x)

= 1 2

Z

R

1_A(x)−1_A x+π

n

e^inxdλ(x)

≤ 1 2

Z

R

1_A(x)−1_A x+π

n

dλ(x)

= 1

2FA

π n

, en notant comme dans la deuxi`eme partie

F_A(y) = Z

R

1_A(x)−1_A x+ π

n

dλ(x).

D’apr`es la deuxi`eme partie, F_A ^π_n

tend vers z´ero lorsque n tend vers l’infini donc limn→+∞

R

Ae^inxdλ(x) = 0 et en s´eparant partie r´eelle et partie imaginaire, on obtient limn→+∞

R

Acos (nx) dλ(x) = 0 et limn→+∞

R

Asin (nx) dλ(x) = 0.

III.3.Soitu= (n_k)_k∈Nune suite strictement croissante d’entiers positifs etE_ul’ensemble desxde [0,2π] tels que la suite (sin (n_kx))k∈N converge. D’apr`esI.1.et la remarque faite alors,E_u est bor´elien. Pour toutxde [0,2π] et toutk deN, 2 sin²(n_kx) = 1−cos (2n_kx) donc pour tout bor´elien B contenu dans E_u,

Z

B

2 sin²(n_kx) dλ(x) = Z

B

dλ(x)− Z

B

cos (2n_kx) dλ(x),

chacun de ces trois termes ´etant d´efini puisque B est born´e. D’apr`es la question II.2.,

D’autre part, pour toutx∈[0,2π], la limite quandktend vers +∞de 2 sin²(n_kx)1_B(x) existe et|2 sin (n_kx)1_B(x)| ≤2,λ-int´egrable sur [0,2π]. On peut donc appliquer le th´eo- r`eme de convergence domin´ee sur l’espace mesur´e ([0,2π],Bor([0,2π]), λ) : la fonction f(x) = limk→+∞2 sin²(n_kx)1_B(x) est bor´elienne et

Z

[0,2π]

fdλ= lim

k→+∞

Z

2 sin²(n_kx)1_B(x) dλ(x) c’est-`a-dire

Z

B

fdλ= Z

B

1 dλ.

D’apr`es I.3., limk→+∞2 sin<sup>2</sup>(n<sub>k</sub>x) = 1 λ-p.p. sur E<sub>u</sub>, c’est-`a-dire limk→+∞sin (n_kx) = ±p

1/2 λ-p.p. sur E_u. Cela permet d’´ecrire E_u comme r´eunion disjointe de trois bor´eliens E_u⁺,E_u⁻ etN λ- n´egligeable o`u

E_u⁺ =

x∈[0,2π]| lim

k→+∞sin (n_kx) =p 1/2

, E_u⁻ =

x∈[0,2π]| lim

k→+∞sin (n_kx) =−p 1/2

Enfin, en appliquant le th´eor`eme de convergence domin´ee,

k→+∞lim Z

Eu⁺

sin (nkx) dλ(x) = Z

Eu⁺

p1/2 dλ=p

1/2·λ(E_u⁺)

et donc d’apr`esIII.2 λ(E_u⁺) = 0. On montre de mˆeme que λ(E_u⁻) = 0, donc λ(E_u) = 0.

III.41. Pour toutxde [0,2π], (sin (nx))n∈N est une suite d’´el´ements du compact [−1,1], donc on peut en extraire une sous-suite convergente, c’est-`a-dire x∈F.

2. Par d´efinition, F = ∪u∈NE_u, or λ(F) = λ([0,2π]) = 2π et pour tout u de N, λ(E_u) = 0. Cela montre que la formule 0≤λ(F)≤P

u∈Nλ(E_u) = 0 ne s’applique pas, donc queN n’est pas d´enombrable.

De fait, on voit facilement queN est en bijection avec le sous-ensemble deP(N) form´e des parties infinies deN; commeP(N) n’est pas d´enombrable et comme l’ensemble des parties finies deN est d´enombrable, on voit que N n’est pas d´enombrable.

Exercice

1)Attention :Y_n= maxk∈{1,...,n}X_kn’est pas n´ecessairement ´egale `a l’une des variables al´eatoires X_k.

Puisque la famille {]−∞, x] | x ∈ R} engendre la tribu Bor(R), pour montrer que Y_n = maxk∈{1,...,n}X_k est une variable al´eatoire, il suffit de montrer que pour tout x de

R,Y_n⁻¹(]−∞, x])∈ F. Or

Y_n⁻¹(]−∞, x]) = {ω ∈Ω|Y_n(ω)∈]−∞, x]}

= {ω ∈Ω|Y_n(ω) = max

k∈{1,...,n}X_k(ω)≤x}

= {ω ∈Ω| ∀k ∈ {1, . . . , n}, X_k(ω)≤x}

= \

k∈{1,...,n}

X_k⁻¹(]−∞, x])

doncY_n est une variable al´eatoire. Soit F_n sa fonction de r´epartition. Pour toutxdeR, F_n(x) = P Y_n⁻¹(]−∞, x])

=P





\

k∈{1,...,n}

X_k⁻¹(]−∞, x])





=

n

Y

k=1

P X_k⁻¹(]−∞, x])

la derni`ere ´egalit´e ´etant obtenue grˆace `a l’ind´ependance des v.a.r. X_k. Les X_k suivant toutes une loi uniforme sur [0, θ], on obtient

Fn(x) =

λ(]−∞, x]∩[0, θ]) λ([0, θ])

n

, ce qui vaut 0 six≤0 ; 1 si x≥1 ; (x/θ)ⁿ si 0< x < θ.

2) Pour tout n, 0 ≤Xn ≤θ p.s. donc 0≤Yn ≤θ p.s. En effet,

P ({∀k∈ {1, . . . , n}, 0≤X_k≤θ}) = 1−P (∃k ∈ {1, . . . , n}, X_k <0 ou X_k > θ})

≥ 1−Pn

k=1P (Xk <0 ou Xk > θ}) = 1 et si ω∈T

1≤k≤nX_k⁻¹([0, θ]), alorsY_n(ω)∈[0, θ].

Par cons´equent R

Ω|Y_n|dP ≤ R

ΩθdP = θ < +∞, donc Y_n est P-int´egrable, c’est-

`

a-dire admet une esp´erance. Comme Y_n est p.s. positive, on peut utiliser la formule admise :

E(Y_n) =

Z +∞

0

P(Y_n> t) dt= Z +∞

0

1−P(Y_n≤t) dt

=

Z +∞

0

1−F_n(t) dt=

Z θ 0

1−

t θ

n dt

=

"

t+ θ n+ 1

t θ

n+1#θ

0

=θ− θ

n+ 1 = nθ n+ 1

3) Posons Y = sup_k≥1Xk. C’est une variable al´eatoire car pour tout x de R, Y⁻¹(]−∞, x]) = \

X_k⁻¹(]−∞, x])∈ F.

Il est facile de voir que pour chaque ω de Ω, Y(ω) est la limite de la suite crois- sante (Y_n(ω))_n≥1 (pour tout k ≥ 1,X_k(ω) ≤ Y_n(ω) d`es que n ≥ k, donc X<sub>k</sub>(ω) ≤ limn→+∞Y<sub>n</sub>(ω) et Y(ω) = sup<sub>k≥1</sub>X<sub>k</sub>(ω) ≤ limn→+∞Y<sub>n</sub>(ω) ; r´eciproquement, pour tout n≥1,Y<sub>n</sub>(ω)≤sup<sub>k≥1</sub>X<sub>k</sub>(ω) =Y(ω) d’o`u limn→+∞Y_n(ω)≤Y(ω)), c’est-`a-direY_ntend vers Y sur Ω.

Si on veut que la variable al´eatoire limite soit r´eelle, ce qui n’est pas pr´ecis´e dans l’´enonc´e, on prendY⁰ =Y·1_AavecA=Y⁻¹[0, θ]. CommeT

k≥1X_k⁻¹[0, θ]⊂A,P(A) = 1 donc P(lim_n→+∞Y_n =Y⁰) = 1.

4) On a Y_n ≤ Y (seulement p.s. si l’on prend le Y⁰ de la question 3) ), et Y_n et Y sont p.s. positives, donc ´egales p.s. `a leur valeur absolue. Par cons´equent,|Y_n| ≤ |Y|p.s.

Comme Y_n →Y p.s., le th´eor`eme de Lebesgue s’applique : lim_n→+∞E(Y_n) = E(Y).

Or d’apr`es 2), limn→+∞E(Y_n) = θ donc E(Y) = θ = R

ΩθdP, c’est-`a-dire R

Ω(θ− Y) dP = 0. Commeθ−Y ≥ 0 p.s., θ−Y = 0 p.s. (voir par exemple le probl`eme I.2.) donc Y =θ p.s.