MVA210 - Corrig´e du devoir n

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MVA210 - Corrig´e du devoir n

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Exercice 1

On consid`ere dans tout ce paragraphe l’espace vectoriel E =R²ⁿ muni de la forme bilin´eaire b = Ω_n d´efinie par:

Ωn(x, y) =P_n

i=1(xn+iyi−xiyn+i) x= (x₁, ..., x_2n), y = (y₁, ..., y_2n)

on notera (e₁, ..., e_2n) la base canonique de R²ⁿ

On rappelle que dans un espace vectoriel (E, b) muni d’une forme bilin´eaire b l’orthogonal d’un sous espace vectoriel F relativement `ab est donn´e par:

orth(F) = {x ∈ E/∀y ∈ F, b(x, y) = 0}, on dit que b est non d´eg´en´er´ee si et seulement si orth(E) ={0}.

1^◦) Donner une expression de Ω_n pour n= 1,2.

Ω₁(x,y) =x₂y₁−x₁y₂

Ω2(x,y) =x3y1−x1y3+x4y2−x2y4

2^◦) Montrer que Ω₁, Ω₂, et plus g´en´eralement Ω_n sont antisym´etrique.

Ωn est antisymetrique :Ωn(x,y) = −Ωn(y,x) verification imm´ediate.

3^◦) Montrer que Ω_n est non d´eg´en´er´ee. ∀x∈R²ⁿ,∃y∈R²ⁿ,Ω_n(x,y)6= 0).

En choisissant x = (x1, ..., x2n) et y= (xn+1, ..., x2n,−x1, ...−xn) avec x6= 0 On remarque que Ω_n(x,y)>0 donc est non d´egen´er´ee.

4^◦) Exhiber la matrice J_n telle que Ω_n(x,y)=^txJ_ny pour tous x, y ∈ R²ⁿ. x et y dans R²ⁿ, Ωn(x,y)= ^tx J y

On trouve : J =( 0 −I_n

In 0 ) et imm´ediatement: Ω_n(x,y)= ^tx J y

Exercice 2

Cet exercice est une g´en´eralisation du pr´ec´edent.

Soit W un espace vectoriel r´eel de dimension n et W^∗ le dual de W. Sur le pro- duit cartesien E =W ×W^∗, on consid`ere l’application: Ω d´efinie par ∀(x, y)∈W,

∀α, β)∈W^∗,Ω((y, β),(x, α)) =β(x)−α(y).

1^◦) Montrer que Ω est une forme bilin´eaire antisym´etrique.

On montre simplement que Ω)est antisymetrique, montrons qu’elle est non d´egen´er´e:

Si (x, α) non nul alors soit x6= 0 soitα 6= 0

Si α = 0 n´ecessairement, x6= 0,∃β ∈ W^∗/β(x) 6= 0 donc Ω((y, β),(x, α)) = β(x)6= 0.

On discute de mˆeme si x= 0, α6= 0.

Exercice 3

Une particule de chargeqsoumise a un champ ´el´ectrique−→

E et un champ magn´etique

−

→B subit la force de Lorentz:

−

→f =q(−→

E +−→v ∧−→ B)

Dans cette expression, −→v est le vecteur vitesse de la particule. Nous supposons que les ph´enom`enes ´electomagn´etiques dans un certain r´ef´erentiel sont d´etermin´es par la connaissance d’un quadripotentiel dont la representation math´ematique est une un forme diff´erentielle:

A(x, y, z, t) = ^V_c(x, y, z, t)dt+A_x(x, y, z, t)dx+A_y(x, y, z, t)dy+A_z(x, y, z, t)dz Les composantes ^V_c A_x, A_y, A_z, sont des fonctions au moins d´erivables au premier ordre. −→

A (A_x,A_y, A_z) est le potentiel vecteur, V le potentiel scalaire.

1^◦) Donner la d´eriv´ee exterieure de cette forme diff´erentielle de degr´e 1. Les composantes de la deux forme trouv´ee sont les composantes du champ

´el´ectromagn´etique. En deduire:

−

→E =grad(^V_c)− ^∂_∂t^−→A

−

→B =rot−→ A

On a: (en posant A0 = ^V_c)

dA = (^∂A_∂t⁰ − ^∂A_∂t^x)dx∧dt+ (^∂A_∂t⁰ − ^∂A_∂t^y)dy∧dt+ (^∂A_∂t⁰ − ^∂A_∂t^z)dz∧dt + (^∂A_∂y^z −^∂A_∂z^y)dy∧dz+ (^∂A_∂z^x − ^∂A_∂x^z)dz∧dx+ (^∂A_∂x^y − ^∂A_∂y^x)dx∧dy On reconnait donc:

−

→E =grad(^V_c)− ^∂_∂t^−→A

−

→B =rot−→ A

Si (E_x, E_y, E_z) et (B_x, B_y, B_z) d´esignent respectivement les composantes des champs ´el´ectrique et magn´etique on pose:

F =E_xdx∧dt+E_ydy∧dt+E_zdz∧dt+B_zdy∧dx+B_xdz∧dy+B_ydz∧dx 2^◦) Calculer dF et expliquer pourquoi F est une forme ferm´ee.

Le champ ’el´ectromagn´etique est une forme exacte (F =dA) donc dF =ddA

= 0 on en d´eduit F est ferm´ee

3^◦) En d´eduire que les ´equations de Maxwell dans le vide sont: rot−→

E =−^∂_∂t^−→B div−→

B = 0

dF =ddA = 0 s’´ecrit:

0 = (^∂B_∂x^x +^∂B_∂y^y +^∂B_∂z^z)dt∧dy∧dz+ (^∂E_∂y^z +^∂E_∂z^y +^∂B_∂t^x)dx∧dy∧dz + (^∂E_∂z^x +^∂E_∂x^z + ^∂B_∂t^y)dt∧dz∧dx+ (^∂E_∂x^y +^∂E_∂y^x +^∂B_∂t^z)dt∧dx∧dy

La premi`ere composante donne la divergence du champ magn´etique, les autres viennent compl´eter les ´equations de Maxwell dans le vide demand´ees.

O O O O O O