Électromagnétisme
Examen (4e), durée 1h30
documents autorisés : feuille A4 recto/verso contenant les formules de votre choix
14 avril 2011
Nom Prénom Note / 20
Nombre d’heures de travail
Régulier (heures par semaine) Ponctuel (avant l’examen)
Ne pas dégrafer les feuilles svp !
Extrait du règlement des études de Polytech’Nice Sophia (section 9) :
Pendant la durée des épreuves il est interdit :
• de détenir tout moyen de communication (téléphone portable, micro- ordinateur, . . . ), sauf conditions particulières à l’épreuve ;
• de communiquer entre candidats ou avec l’extérieur et d’échanger du matériel (règle, stylo, calculatrice, . . . ) ;
• d’utiliser, ou même de conserver sans les utiliser, des documents ou matériels non autorisés pendant l’épreuve.
Toute infraction aux instructions énoncées ci-avant ou tentative de fraude dû- ment constatée entraîne l’application du décret No95-842 du 13 juillet 1995 relatif à la procédure disciplinaire dans les établissements publics d’enseigne-
1 Réflexion normale sur un bon conducteur (14 points)
Un métal de conductivité σ élevée (σ ≫ ωǫ0) mais finie remplit le demi-espace z > 0.
Une OPPM de fréquence f se propage dans le vide (z < 0) selon ˆk = ˆez. L’onde est de polarisation linéaire : le champ électrique, d’amplitude Ei0, reste toujours parallèle à eˆx. Cette onde est appelée « incidente » puisqu’elle rencontre, pendant sa propagation, le conducteur àz= 0. Dans cette situation, l’onde É/M incidente donne naissance aussi bien à une onde réfléchie dans le vide (z <0) mais aussi à une onde transmise, à l’intérieur du conducteur (z >0).
Remarque 1 Dans un bon conducteur le nombre d’onde est complexe,
˜k= (1− j )
| {z }
√2 e−jπ/4
rµ0ωσ 2 , 1
δ − j1 δ où δ=p
2/µ0ωσ est l’épaisseur de peau.
Remarque 2 L’impédance caractéristique d’un bon conducteur est donnée par
Z˜= rµ0ω
σ ejπ/4
Remarque 3 Le champ magnétique B~˜ ouH~˜ en fonction du champ électrique :
~˜ B=
~k˜∧E~˜ ω
~˜ H=
ˆk∧E~˜ Z˜
Remarque 4 À l’interface entre deux milieux lhi, les champs électromagnétiques doivent satisfaire les équations aux limites :
nˆ·(D~˜
1−D~˜
2) = ˜ρs nˆ ·(B~˜
1−B~˜
2) = 0 nˆ ∧(E~˜
1−E~˜
2) =~0 nˆ ∧(H~˜
1−H~˜
2) =J~˜s
où on définit le vecteur nˆ, normal à l’interface, orienté du milieu 2 vers le milieu 1.
a. Écrire les amplitudes complexes (champs électrique et magnétique, au choix B~˜ ou H~˜) des ondes incidente, réfléchie et transmise (d’amplitude Ei0, E˜r0 et E˜t0 respectivement).
b. Appliquer la condition de continuité des champs électriques et donner la relation entre Ei0,E˜r0 etE˜t0.
c. Appliquer la condition de continuité des champs magnétiques et donner la deuxième relation entre Ei0, E˜r0 et E˜t0 (noter qu’il n’existe pas de courant de surface sur l’interface, car aucun des deux milieux n’est un conducteur parfait).
d. Monter que l’amplitude du champ électrique de l’onde transmise dans le conducteur, E˜t0, peut s’écrire sous la forme
E˜t0= 2ωδ
ωδ+c− jcEi0 Que devient cette expression dans le cas σ→ ∞?
e. On écrit E˜t0 sous forme polaire, E˜t0 =|E˜t0|ejφ.
Écrire les amplitudes complexes de l’onde transmise (champs électrique et magné- tique) ainsi que les champs réels, en fonction de |E˜t0|etφ.
f. Calculer la densité de puissance moyenne transportée par l’onde transmise dans le conducteur.
g. Est-ce que la puissance moyenne par unité de surface, transportée par l’onde dans le conducteur, reste constante pendant la propagation ? Quelle est l’explication physique ?
h. Dans le cas du cuivre, la conductivitéσ= 5.8×107S m−1. Calculer numériquement δ pour les fréquences 100 Hz,1 kHz,10 kHz,100 kHz. Commenter les résultats en relation avec les réponses à la question f).
2 Deux composantes (6 points)
Deux milieux non magnétiques,ǫr1 = 1, ǫr2 = 2.56, sont séparés par une interface plane, à z= 0. Une onde incidente, d’amplitude Ei0 = 1 V m−1, se propage dans le milieu 1, à f = 1 GHz. L’amplitude complexe du champ électrique incident s’écrit
~˜
Ei=Ei0e−j~ki·~ruˆi
où le vecteur d’onde est donné par
~ki =k1(sinθ1eˆx+ cosθ1eˆz)
alors que le vecteur de polarisation du champ électrique est uˆi= cosφcosθ1eˆx+ sinφeˆy−cosφsinθ1eˆz
Remarque 5 Les coefficients de réflexion/transmission en amplitude dans le cas d’une incidence oblique sur une interface entre deux milieux lhi s’écrivent sous la forme :
et
rk =−Er0
Ei0 = Z2k−Z1k
Z2k+Z1k tk = Et0
Ei0 = 2Z2k Z2k+Z1k
cosθ1
cosθ2 Zik =Zicosθi a. Vérifier que le champ électrique incident est perpendiculaire au vecteur d’onde.
b. Définir le plan d’incidence de ce problème.
c. Mettre le vecteur de polarisation uˆi sous la forme ˆ
ui =auˆi⊥+buˆik
où les vecteurs unitaires uˆi⊥ et uˆik sont, respectivement, perpendiculaire et pa- rallèle au plan d’incidence, et les constantes a et b sont liées par a2 +b2 = 1.
d. On peut écrire maintenant le champ électrique incident comme la somme de deux composantes
~˜
Ei =E~˜i⊥+E~˜ik
Donner les amplitudes complexes deE~˜i⊥ etE~˜ik. À partir de maintenant, on peut étudier séparément ces deux composantes et considérer que le champ total n’est que leur superposition.
e. Sur un plan perpendiculaire à la direction de propagation, avec le vecteur~ki dirigé vers la feuille et le vecteureˆyvers le haut, dessiner les deux composantes du champ électrique incident ; indiquer l’angle φ.
f. On choisitφ= 45◦et l’angle d’incidence égal à l’angle de Brewster,tanθB=Z1/Z2. Calculer cet angle.
g. Préciser l’orientation du vecteur E~˜r et calculer son module.
