e i π = -1
BCPST1 Fénelon Nicolas Clatin 2009
certains droits réservés ne peut pas être vendu OUTILS MATHÉMATIQUES
fiche 2
Vecteurs
2.1 Base orthonormée directe.
Un plan peut être décrit par un point O, appelé l’origine, et deux vecteurs non colinéaires, qui en constituent une base(O, ~ux, ~uy). La base estorthonorméesi :
• les deux vecteurs~uxet ~uy sont orthogonaux ;
• les deux vecteurs sont de norme unité :k~uxk=k~uyk= 1.
ux uy
uz
O ux
uy
O
Un espace à trois dimensions est décrit par une origine et trois vecteurs non colinéaires deux à deux. Une base orthonormée directe(O, ~ux, ~uy, ~uz)de l’espace est telle que :
• les trois vecteurs~ux,~uy et ~uz sont orthogonaux deux à deux ;
• les trois vecteurs sont de norme unité :k~uxk=k~uyk=k~uzk= 1;
• les trois vecteurs sont orientés selon la règle des trois doigts ou du tire-bouchon.
La règle des trois doigts permet de trouver l’orientation relative des trois vecteurs pour que la base soit directe : le pouce étant dirigé selon~uxet l’index selon~uy, le majeur tendu du côté de la paume donne le sens de~uz, l’ensemble devant être réalisé avec lamain droite. La règle du tire-bouchon consiste à imaginer qu’on tourne un tire bouchon pour amener~ux sur~uy par le plus court chemin ; le tire-bouchon avance alors dans le sens de~uz.
ux uy
uz
O
ux
uy
uz
e i π = -1
BCPST1 Fénelon Nicolas Clatin 2009
certains droits réservés ne peut pas être vendu
Certains droits réservés: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/
Disponible gratuitement: http://campus.claroline.com/claroline/course/index.php?cid=NC04
2.2 Composantes d’un vecteur.
Tout vecteur~v du plan peut s’écrire en fonction des deux vecteurs de base~ux et~uy, sous la forme :
~v=vx~ux+vy~uy (1)
Les nombres vx et vy sont les composantes de~v dans la base (~ux, ~uy). Ce sont des nombres algébriques, éventuellement nuls, qui sont égaux à la projection orthogonale de~v sur les axes de la base.
ux uy
uz
O
vx
vy
vz
v
ux
uy
O vy
vx
v
Ceci se généralise dans l’espace : tout vecteur~v peut se décomposer selon les trois vecteurs de base :
~v=vx~ux+vy~uy+vz~uz (2)
Lesnombres algébriquesvx,vy etvz sont les troiscomposantesde~v, qui correspondent à la projection de~v sur chacun des trois axes.
2.3 Produit scalaire.
Le produit scalaire de deux vecteurs~vet w~ est par définition :
~v·w~ =w~·~v=vx·wx+vy·wy+vz·wz (3)
Si αest l’angle entre~v etw, on a également :~
~v·w~ =k~vk · kwk ·~ cosα (4)
ux uy
uz
O
v w
α
ux uy
uz
O
v w
α vw
wv
Par définition de la fonction cosinus, on peut aisément remarquer que siwv est la projection orthogonale de
~
wsur la droite orientée(O, ~v), et sivwest la projection orthogonale de~vsur la droite orientée(O, ~w), on a :
~v·w~ =wv k~vk=vw kwk~ (5)
BCPST1 – Nicolas Clatin – septembre 2009 – Outils mathématiques 2 – page 2
e i π = -1
BCPST1 Fénelon Nicolas Clatin 2009
certains droits réservés ne peut pas être vendu
Certains droits réservés: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/
Disponible gratuitement: http://campus.claroline.com/claroline/course/index.php?cid=NC04
Si les deux vecteurs sont orthogonaux, la projection de l’un sur la droite support de l’autre est nulle, ce qui revient à dire que l’angle entre les deux vecteurs est α=π/2, autrement dit d’après (4) ou (5) :
~v⊥w~ ⇔ ~v·w~ = 0 (6)
2.4 Norme d’un vecteur.
La norme d’un vecteur~vest souvent notéev en physique. C’est un nombre toujourspositif. Considérons le produit scalaire d’un vecteur~vavec lui-même. L’angleαest alors nul ; donc (4) conduit à :
~v·~v=kvk2=v2 (7)
D’autre part, l’application de (3) au cas où~v=w~ conduit à : v=k~vk=q
vx2+vy2+vz2 (8)
Un vecteur de norme égale à 1est dit unitaire ; c’est le cas des vecteurs d’une base normée.
2.5 Expression des composantes utile en physique.
Appliquons la relation (5) dans le cas oùw~ est un vecteur de la base orthonormée :~ux,~uyou~uz. Ce vecteur est unitaire d’une part, et d’autre part la projection de~v est par définition la composante de ~v suivant l’axe considéré. On a alors :
vx=~v·~ux
vy =~v·~uy
vz =~v·~uz
(9)
ux
uy
vx O v
ux
uy
O vx
v
β α
α
Raisonnons en deux dimensions pour plus de clarté. Comme le vecteur~uxest unitaire, la composantevxde
~v s’écrit par application de (4) :
vx=~v·~ux=kvk cosα=vcosα (10)
Si~vest « du même côté » que~ux, c’est-à-dire siα < π/2(ci-dessus à gauche), le termecosαest positif. Dans le cas contraire, soit siα > π/2(ci-dessus à droite), le terme cosαest négatif ; il est alors commode d’utiliser l’angleβ =π−α, et :
vx=kvk cosα=kvkcos (π−β) =− kvk cosβ =−v cosβ (11)
Les deux relations (10) et (11) se généralisent aux deux autres composantes, et sont utilisables sans démons- tration.
BCPST1 – Nicolas Clatin – septembre 2009 – Outils mathématiques 2 – page 3
