2 Deux composantes (6 points)

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Électromagnétisme

Examen (4^e), durée 1h30

documents autorisés : feuille A4 recto/verso contenant les formules de votre choix

14 avril 2011

Nom Prénom Note / 20

Nombre d’heures de travail

Régulier (heures par semaine) Ponctuel (avant l’examen)

Ne pas dégrafer les feuilles svp !

Extrait du règlement des études de Polytech’Nice Sophia (section 9) :

Pendant la durée des épreuves il est interdit :

• de détenir tout moyen de communication (téléphone portable, micro- ordinateur, . . . ), sauf conditions particulières à l’épreuve ;

• de communiquer entre candidats ou avec l’extérieur et d’échanger du matériel (règle, stylo, calculatrice, . . . ) ;

• d’utiliser, ou même de conserver sans les utiliser, des documents ou matériels non autorisés pendant l’épreuve.

Toute infraction aux instructions énoncées ci-avant ou tentative de fraude dû- ment constatée entraîne l’application du décret N^o95-842 du 13 juillet 1995 relatif à la procédure disciplinaire dans les établissements publics d’enseigne-

(2)

1 Réflexion normale sur un bon conducteur (14 points)

Un métal de conductivité σ élevée (σ ≫ ωǫ₀) mais finie remplit le demi-espace z > 0.

Une OPPM de fréquence f se propage dans le vide (z < 0) selon ˆk = ˆe_z. L’onde est de polarisation linéaire : le champ électrique, d’amplitude Ei0, reste toujours parallèle à eˆ_x. Cette onde est appelée « incidente » puisqu’elle rencontre, pendant sa propagation, le conducteur àz= 0. Dans cette situation, l’onde É/M incidente donne naissance aussi bien à une onde réfléchie dans le vide (z <0) mais aussi à une onde transmise, à l’intérieur du conducteur (z >0).

Remarque 1 Dans un bon conducteur le nombre d’onde est complexe,

˜k= (1− j )

| {z }

√2 e⁻^j^π/4

rµ₀ωσ 2 , 1

δ − j1 δ où δ=p

2/µ₀ωσ est l’épaisseur de peau.

Remarque 2 L’impédance caractéristique d’un bon conducteur est donnée par

Z˜= rµ0ω

σ e^j^π/4

Remarque 3 Le champ magnétique B~˜ ouH~˜ en fonction du champ électrique :

~˜ B=

~k˜∧E~˜ ω

~˜ H=

ˆk∧E~˜ Z˜

Remarque 4 À l’interface entre deux milieux lhi, les champs électromagnétiques doivent satisfaire les équations aux limites :

nˆ·(D~˜₁−D~˜₂) = ˜ρ_s nˆ ·(B~˜₁−B~˜₂) = 0 nˆ ∧(E~˜₁−E~˜₂) =~0 nˆ ∧(H~˜₁−H~˜₂) =J~˜_s

où on définit le vecteur nˆ, normal à l’interface, orienté du milieu 2 vers le milieu 1.

a. Écrire les amplitudes complexes (champs électrique et magnétique, au choix B~˜ ou H~˜) des ondes incidente, réfléchie et transmise (d’amplitude E_i0, E˜_r0 et E˜_t0 respectivement).

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b. Appliquer la condition de continuité des champs électriques et donner la relation entre Ei0,E˜r0 etE˜t0.

c. Appliquer la condition de continuité des champs magnétiques et donner la deuxième relation entre E_i0, E˜_r0 et E˜_t0 (noter qu’il n’existe pas de courant de surface sur l’interface, car aucun des deux milieux n’est un conducteur parfait).

d. Monter que l’amplitude du champ électrique de l’onde transmise dans le conducteur, E˜_t0, peut s’écrire sous la forme

E˜_t0= 2ωδ

ωδ+c− jcE_i0 Que devient cette expression dans le cas σ→ ∞?

(4)

e. On écrit E˜_t0 sous forme polaire, E˜_t0 =|E˜_t0|e^j^φ.

Écrire les amplitudes complexes de l’onde transmise (champs électrique et magné- tique) ainsi que les champs réels, en fonction de |E˜_t0|etφ.

f. Calculer la densité de puissance moyenne transportée par l’onde transmise dans le conducteur.

g. Est-ce que la puissance moyenne par unité de surface, transportée par l’onde dans le conducteur, reste constante pendant la propagation ? Quelle est l’explication physique ?

(5)

h. Dans le cas du cuivre, la conductivitéσ= 5.8×10⁷S m⁻¹. Calculer numériquement δ pour les fréquences 100 Hz,1 kHz,10 kHz,100 kHz. Commenter les résultats en relation avec les réponses à la question f).

2 Deux composantes (6 points)

Deux milieux non magnétiques,ǫr1 = 1, ǫr2 = 2.56, sont séparés par une interface plane, à z= 0. Une onde incidente, d’amplitude E_i0 = 1 V m⁻¹, se propage dans le milieu 1, à f = 1 GHz. L’amplitude complexe du champ électrique incident s’écrit

~˜

E_i=E_i0e⁻^j^~^kⁱ^·^~^ruˆ_i

où le vecteur d’onde est donné par

~k_i =k₁(sinθ₁eˆ_x+ cosθ₁eˆ_z)

alors que le vecteur de polarisation du champ électrique est uˆ_i= cosφcosθ1eˆ_x+ sinφeˆ_y−cosφsinθ1eˆ_z

Remarque 5 Les coefficients de réflexion/transmission en amplitude dans le cas d’une incidence oblique sur une interface entre deux milieux lhi s’écrivent sous la forme :

(6)

et

r_k =−E_r0

E_i0 = Z₂_k−Z₁_k

Z₂_k+Z₁_k t_k = E_t0

E_i0 = 2Z₂_k Z₂_k+Z₁_k

cosθ₁

cosθ₂ Z_i_k =Z_icosθ_i a. Vérifier que le champ électrique incident est perpendiculaire au vecteur d’onde.

Réponse (0.5 p.):

~k_i·~u_i= 0

b. Définir le plan d’incidence de ce problème.

Réponse (0.5 p.):

Défini par nˆ =−eˆ_z et~k_i. Donc il s’agit du planxz.

c. Mettre le vecteur de polarisation uˆ_i sous la forme ˆ

u_i =auˆ_i⊥+buˆ_ik

où les vecteurs unitaires uˆ_i⊥ et uˆ_ik sont, respectivement, perpendiculaire et pa- rallèle au plan d’incidence, et les constantes a et b sont liées par a² +b² = 1.

Réponse (1 p.):

⊥veut dire selon y alors que k signifie selon x ou z : uˆ_i= sinφ

| {z }

a

eˆ_y

|{z}

ˆ u_⊥

+ cosφ

| {z }

b

(cosθ₁eˆ_x−sinθ₁eˆ_z)

| {z }

uˆ_k

(7)

d. On peut écrire maintenant le champ électrique incident comme la somme de deux composantes

~˜

E_i =E~˜_i⊥+E~˜_ik

Donner les amplitudes complexes deE~˜_i⊥ etE~˜_ik. À partir de maintenant, on peut étudier séparément ces deux composantes et considérer que le champ total n’est que leur superposition.

Réponse (0.5 p.):

~˜

E_i =Ei0e⁻^j^~^kⁱ^·^~^ruˆ_i=Ei0sinφe⁻^j^~^kⁱ^·^~^ruˆ_i⊥

| {z }

~˜ Ei⊥

+Ei0cosφe⁻^j^~^kⁱ^·^~^ruˆ_ik

| {z }

~˜ Eik

e. Sur un plan perpendiculaire à la direction de propagation, avec le vecteur~k_i dirigé vers la feuille et le vecteureˆ_yvers le haut, dessiner les deux composantes du champ électrique incident ; indiquer l’angle φ.

Réponse (1 p.):

VecteurE~_i⊥ vers le haut,E~_ik vers la gauche. Les deux forment le vecteur E~_i, angle φ avec l’horizontale.

f. On choisitφ= 45^◦et l’angle d’incidence égal à l’angle de Brewster,tanθ_B=Z1/Z2. Calculer cet angle.

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Réponse (0.5 p.):

tanθB=Z1/Z2 =n2/n1 =√

2.56/1 = 1.6 donc θB = 1.0122 rad≈58^◦. g. Préciser l’orientation du vecteur E~˜_r et calculer son module.

Réponse (1 p. + 1 p.):

Normalement, on devrait calculer les deux coefficients de réflexion. Mais, par définition, à l’angle de Brewster, le coefficient r_k est nul. Donc le champ réfléchi aura seulement une composante ⊥, il sera orienté selon ˆ

e_y.

Le module du champ sera r_⊥Ei0sinφ.

n₁sinθ₁ =n₂sinθ₂ −→ θ₂ = 32^◦ (mais on peut le trouver directement, incidence Brewster : θ_B+θ₂ = 90^◦).

r_⊥=−0.4382et le module du champ est égal à0.4382^√₂² = 0.309 86 V m⁻¹