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2/17 Ondes progressives _ www : tawbac.jimdo.com L1: ONDE MECANIQUE PROGRESSIVE: NOTION D’ONDE I. QU’EST-CE QU’UN EBRANLEMENT ?
Un ébranlement mécanique est une perturbation rapide de courte durée qui se propage dans un milieu matériel élastique (milieu capable de
retrouver son état initial après avoir été perturbé (déformé). Il se propage à partir d’un point source dans toutes les directions qui lui sont offertes par le milieu de propagation.
II. DEFINITION D’UNE ONDE MECANIQUE PROGRESSIVE
‒ Une onde mécanique est le phénomène résultant de la propagation d’une succession d’ébranlements dans un milieu matériel élastique.
‒ Le front d’onde est l’ébranlement le plus avancé de l’onde.
NB : Une onde est qualifiée dite mécanique lorsqu’elle nécessite un milieu matériel pour se propager.
III. PROPRIETES FONDAMENTALES D’UNE ONDE
‒ La propagation d’une onde est due à un transport d’énergie et non de matière.
‒ Dans un milieu donné, une onde se propage avec une célérité constante qui ne dépend que des propriétés (nature et états) du milieu.
IV. LES DEUX TYPES D’ONDE
‒ Une onde est dite « transversale » si le déplacement des points du milieu atteints par la propagation est perpendiculaire à la direction de la
propagation.
Exemples d’ondes progressives transversales :
Onde crée le long d’une corde ;
Onde produite à la surface libre d’un liquide initialement au repos.
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‒ Une onde mécanique progressive est qualifiée de « longitudinale » si le déplacement des points du milieu atteints par la propagation est
parallèle à la direction de la propagation.
Exemples : Onde crée le long d’un ressort et l’onde sonore.
NB : Une onde (unidimensionnelle/bidimensionnelle/tridimensionnelle) lorsqu’elle se propage dans (une direction/un plan/l’espace).
V. RETARD DE L’ONDE
Tout point M du milieu reproduit dans le temps le mouvement de la source S, mais après un retard θ = .
Cette énoncé se traduit par la relation : y (t) = y (t − θ) ; si t ≥ θ.
4/17 Ondes progressives _ www : tawbac.jimdo.com L2 : ONDE PROGRESSIVE SINUSOIDALE : ETUDE ANALYTIQUE Une onde progressive sinusoïdale c’est une onde crée par une source ayant un mouvement sinusoïdal.
I. EQUATION HORAIRE D’UN POINT DU MILIEU : EQUATION DE LA PROPAGATION DE L’ONDE
1) Activité
La source S commence son mouvement à t=0 en se déplaçant soit dans le sens des élongations croissante soit dans le sens des élongations
décroissante.
a) Déterminer les valeurs possibles de la phase initiale φ du mvt de S.
b) En déduire l’équation horaire y (t) du mouvement d’un point M du milieu en sachant que l’onde se propage sans amortissement.
2) Conclusion
Lorsqu’une onde mécanique sinusoïdale se propage sans amortissement dans un milieu donné :
‒ l’énergie est transmise d’un point à un autre pour affecter tout le milieu.
‒ chaque point M du milieu reproduit dans le temps, le mouvement de la source S mais après un retard θ = ; Donc, il effectue un mouvement rectiligne sinusoïdal avec la fréquence imposée à la source.
y (t) = 0 , si t < θ y (t) = a sin(2π
T t + φ − 2πSM
vT) ; si t ≥ θ = SM v
5/17 Ondes progressives _ www : tawbac.jimdo.com II. DOUBLE PERIODICITE D’UNE ONDE PROGRESSIVE SINUSOIDALE
1) Activité
a) Montrer que la propagation d’une onde mécanique sinusoïdale est caractérisée en plus de la période T dans le temps, par une deuxième période dans l’espace, noté λ (lambda) et appelée longueur d’onde.
b) Exprimer λ en fonction de la période temporelle T et la célérité v de l’onde. En déduire une définition de la longueur d’onde.
Solution : y(x, t) = a sin 2π − 2π + φ = a sin 2π − 2π + φ
⟹ (x + λ) = a sin 2π − 2π + φ
⟹ a sin 2π − 2π + 2π + φ = a sin 2π − 2π + φ = (x)
⟹ (x + λ) = (x) ⟹ λ est une période pour (x).
NB : On peut déterminer la dimension de λ par analyse dimensionnelle et par analogie avec T.
2) Conclusion
Une onde progressive sinusoïdale est caractérisée par deux périodes :
‒ Une période temporelle T (et donc une fréquence N) imposée par une source d’énergie et indépendante du milieu de propagation.
‒ Une période spatiale λ , appelée longueur d’onde et qui est la distance parcourue par l’onde pendant T : λ = v T.
NB : Les périodes λ et T sont proportionnelles : = v = Cte
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III. ETAT VIBRATOIRE D’UN POINT DU MILIEU PAR RAPPORT A LA SOURCE 1) Activité
a) Ecrire l’équation horaire du mouvement d’un point M situé à la distance SM de la source S. En déduire l’expression en fonction de λ, du
déphasage ∆φ = φ − φ du mouvement de M par rapport au mouvement de S.
b) Compléter le tableau suivant : Position de M par
rapport à la source x = 0 x = λ
4 x = λ
2 x = 3λ
4 x = λ
∆φ = 2πSM
λ = 2πθ T Etat vibratoire de M
par rapport à S
c) Dans le cas où φ = 0 rad , tracer dans un même repère, les diagrammes des mouvements de S et des points M et M situés respectivement aux distances et par rapport à S. Comment vibre M par rapport à M ? 2) Conclusion
Dans un milieu de propagation siège d’une onde progressive sinusoïdale, tout point du milieu est animé juste après le retard θ = , d’un
mouvement rectiligne sinusoïdal de période T :
7/17 Ondes progressives _ www : tawbac.jimdo.com y (t) = a sin(2π
T t + φ ) ; Où
t ≥ θ = SM v φ = φ − 2πSM
λ = φ − 2πθ
‒ En particuliers : T
* deux points distant de (k λ) vibrent en phase ;
* deux points distant de + k λ vibrent en opposition de phase ; * deux points distant de + k vibrent en quadrature de phase ;
NB la longueur d’onde λ est la distance minimale entre deux points vibrant en phase.
IV. LA SINUSOIDE DES ESPACES 1) Activité
a) Dessiner suivant les valeurs de φ , l’aspect d’un milieu suivant la direction (SM) à l’instant t = 3 . En déduire l’aspect à t = 3,25 . b) Déterminer les positions des points qui vibrent en quadrature avance
de phase par rapport à S aux instants t et t .
8/17 Ondes progressives _ www : tawbac.jimdo.com A des instants fixés, l’ensemble des points d’un milieu de propagation, décrivent suivant une direction passant par la source, une sinusoïde d’équation : y (x) = a sin t − x + φ ; avec : 0 ≤ x ≥ vt
Aspect d’une corde pour φ = 0 V. ETUDE D’UN EXEMPLE
Un vibreur produit une onde sinusoïdale de fréquence N en un point S d’un milieu élastique suffisamment étendu pour pouvoir négliger toute réflexion. L’onde ainsi crée, se propage sans amortissement et avec la célérité v = 5 m. s .
L’équation horaire du mouvement de S est y (t) = a sin(100πt) ; si t ≥ 0 1) Déterminer les deux périodes T et λ de l’onde.
2) On considère le point M situé à la distance SM=x=25 cm de S.
a) Exprimer, en fonction de T, le retard θ de l’onde pour arriver en M.
b) Comparer l’état vibratoire de M à celui du point S.
c) Tracer, dans un même repère, les diagrammes des mouvements des points S et M.
d) Déterminer l’équation horaire de chacun des diagrammes tracés.
3) On se propose d’étudier l’aspect du milieu à un instant t = 6,75. 10 . a) Calculer la distance x parcourue par le front d’onde pendant t .
b) Dessiner sur [0, x ], la sinusoïde qui représente l’aspect du milieu suivant la direction (Ox ).
c) Déterminer à cet instant, les positions des points qui vibrent en phase avec S.
9/17 Ondes progressives _ www : tawbac.jimdo.com L3 : ETUDE DE QUELQUES EXEMPLES D’ONDES PROG. SINUSOIDALES I. ONDE PROGRESSIVE SINUSOIDALE TRANSVERSALE
1. Onde progressive sinusoïdale le long d’une corde 1.1. Activité
a) Dispositif : Le schéma de la figure ci-dessous représente le dispositif de l’étude de la propagation d’une onde progressive sinusoïdale le long d’une corde.
Compléter le tableau suivant tout en précisant le rôle de chaque élément du dispositif.
Elément du dispositif Vibreur Corde tendue Pelote de coton rôle
b) Etude du mouvement d’un point de la corde par analyse optique :
10/17 Ondes progressives _ www : tawbac.jimdo.com l’aspect de la corde en lumière ordinaire. Interpréter ce fait observé.
) Réaliser le montage de la figure ci-dessous permettant d’observer le diagramme du mouvement d’un point M de la corde. Décrire et interpréter le diagramme obtenu.
c) Etude de l’aspect de la corde par analyse stroboscopique :
) Eclairé par un stroboscope réglé à une fréquence,N = ; p ∈ ℕ∗, la corde en vibration. Décrire et interpréter l’aspect de la corde à cet état.
) La fréquence stroboscopique étant réglée à la valeur N = , décrire ce qu’on observe pour une fréquence des éclairs stroboscopiques de fréquence N légèrement différentes de la fréquence d’immobilité apparente.
Solution :
) En lumière ordinaire, en mettant la source en vibration avec une amplitude faible « a », la corde prend l’aspect d’une bandelette
rectangulaire floue. Cette observation s’explique par le fait que lorsque l’énergie est transmise de S vers P, tous les points de la corde effectuent chacun des vibrations sinusoïdales avec la même amplitude « a » et la même période T, imposées à la source S.
) Pour y (t) = a sin t + φ , si t ≥ t = 0
⟹ y(SM ; t) = a sin 2π − + φ .
Donc, l’équation horaire d’un point M de la corde est :
y (t) = a sin t + φ , Où: φ = φ − 2π et t ≥
⟹ le diagramme du mouvement du point M de la corde est une fonction sinusoïdale du temps de période T égale à celle des vibrations de S.
) Observation de l’immobilité apparente : Eclairé par un stroboscope réglé à une fréquence, N = ; p ∈ ℕ∗ ⟺ T = p T, la corde en vibration,
11/17 Ondes progressives _ www : tawbac.jimdo.com parait immobile est déformée à la manière d’une sinusoïde : c’est la sinusoïde des espaces à cet instant d’immobilité de période .
) Observation du ralenti apparent : Pour une fréquence des éclairs stroboscopiques de fréquence N légèrement différente de la fréquence d’immobilité apparente, on observe une progression de la sinusoïde au ralenti apparent. En particulier pour une fréquence N légèrement inférieure à la fréquence d’immobilité apparente , on obtient une progression au ralenti de la sinusoïde des espaces dans le sens de la propagation et inversement.
Interprétation de l’immobilité apparente : Aux fréquences des éclairs stroboscopiques N = , un point de la corde effectue p oscillations
complètes avec une élongation dont la phase initiale dépend de sa position par rapport à la source.
Equation de la sinusoïde des espaces à un instant d’immobilité apparente : On a : y (x) = a sin (pT) − x + φ , où x ≤ p (vT) = pλ
⟹ y (x) = a sin x + π − φ , où x ≤ p (vT) = pλ
⟹ Pour φ = 0 rad, y (x) = a sin x + π , où x ≤ pλ Pour φ = π rad, y (x) = a sin x , où x ≤ pλ
Ainsi, aux instants pT, la corde prend l’aspect d’une sinusoïde de période λ.
1.2. Conclusion
Dispositif : Le dispositif de l’étude de la propagation d’une onde progressive le long d’une corde est formé par :
‒ une lame vibrante, c’est la source d’énergie
‒ la corde : milieu de propagation
‒ un absorbant d’énergie pour empêcher la réflexion de l’onde
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Au cours de la propagation d’une onde progressive sinusoïdale, la corde prend en lumière ordinaire, la forme d’un rectangle de faible largeur. Ce fait observé prouve que sous l’effet de l’énergie qui est transmise d’un point à un autre, tous les points de la corde effectuent chacun des vibrations sinusoïdales sur place et avec la même amplitude « a ».
Etude de l’aspect de la corde par analyse stroboscopique
‒ Pour une période des éclairs stroboscopiques T = pT ; p ∈ ℕ∗, on observe une immobilité apparente de la corde : la corde prend l’aspect d’une sinusoïde de période λ : c’est la sinusoïde des espaces.
‒ Pour une période des éclairs stroboscopiques légèrement différente de T ≄ pT , on observe un déplacement au ralenti apparent de la
sinusoïde : La sinusoïde se déplace dans le sens de la propagation dans le cas où T ≳ pT et inversement.
2. Onde progressive sinusoïdale à la surface de l’eau 2.1. Activité
a) Dispositif : la cuve à onde
Le schéma de la figure ci-dessous représente le dispositif de l’étude de la propagation d’une onde progressive sinusoïdale à la surface de l’eau, appelée cuve à onde.
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Compléter le tableau suivant tout en précisant le rôle de chaque élément du dispositif.
Elément du dispositif Pointe vibrante eau Feutrine rôle
b) Etude du mouvement d’un point de la surface de l’eau
Mettre la source en vibrations sinusoïdales et décrire la surface de l’eau en lumière ordinaire. Interpréter le fait observé.
c) Etude de l’aspect de la surface de l’eau
) Eclairé par un stroboscope réglé à une fréquence,N = ; p ∈ ℕ∗, l’onde crée à la surface de l’eau. Décrire et interpréter le fait observé.
) Par rapprochement à l’étude faite avec la corde, l’étude théorique de cette onde aux instants d’immobilité donne une sinusoïde des espaces de période λ. Quel rapprochement existe-t-il entre l’aspect observé et la sinusoïde des espaces ?
) La fréquence stroboscopique étant réglée à la valeur N = , décrire ce qu’on observe pour des éclairs stroboscopiques de fréquence N
légèrement différentes de la fréquence d’immobilité apparente . Solution
) Eclairé par un stroboscope réglé à une fréquence, N = ; p ∈ ℕ∗, la surface libre de l’eau, parait immobile en présentant une succession alternative de lignes de crêtes et de creux présentant une périodicité spatiale de période .
Aux fréquences des éclairs stroboscopiques N = , un point de la surface du liquide effectue p oscillations complètes et finira par occuper la même position d’élongation yM. Ainsi, l’ensemble des points de la surface du
liquide forment une nappe immobile, présentant des crêtes et des creux qui vibrent en opposition de phase les unes par rapport aux autres.
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donne la sinusoïde des espaces de longueur d’onde égale à la distance entre deux crêtes ou deux creux consécutifs.
) Pour une fréquence des éclairs stroboscopiques de fréquence N légèrement inférieure à la fréquence d’immobilité apparente , on observe un mouvement au ralenti apparent de l’onde (circulaire ou rectiligne) dans le sens de la propagation et inversement.
2.2. Conclusion
Etude en lumière ordinaire :
‒ Observation : En lumière ordinaire, on observe une onde progressive plane formée par des rides (circulaire/rectiligne) qui se propage sur toute la surface d’eau.
‒ Interprétation : Lorsque l’énergie est transmise à partir de S, chaque point M de la surface de l’eau effectue un mouvement sinusoïdal sur place avec la même période T, imposées à la source S.
Etude en lumière stroboscopique :
‒ Observation de l’immobilité apparente : Pour une période des éclairs stroboscopiques T = pT ; p ∈ ℕ∗, on observe une immobilité
apparente de la surface d’eau. Elle prend l’aspect d’une succession alternative de crêtes et de creux. La coupe de cette surface immobile, par un plan vertical passant par S, donne la sinusoïde des espaces de
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longueur d’onde égale à la distance entre deux crêtes ou deux creux consécutifs.
‒ Observation du ralenti apparent : Pour une période des éclairs stroboscopiques légèrement différente de T ≄ pT , on observe un déplacement au ralenti apparent de la succession de rides dans le sens de la propagation dans le cas où T ≳ pT et inversement.
NB :
‒ Dans le cas d’une pointe, on obtient une onde plane circulaire et dans le cas d’une plaque, on obtient une onde plane rectiligne.
‒ Tous les points appartenant à une même ride vibrent en phase.
‒ La longueur d’onde λest la distance séparant les milieux de deux lignes d’onde de même nature et consécutives (crête-crête/creux-creux).
‒ Dans le cas d’une onde plane circulaire, l’énergie transportée se répartit sur une ligne dont la taille augmente au cours de la propagation. Cette dilution de l’énergie entraine une diminution de l’amplitude même en l’absence d’amortissement. Ce n’est pas le cas pour une onde plane rectiligne.
16/17 Ondes progressives _ www : tawbac.jimdo.com II. ONDE PROGRESSIVE SINUSOIDALE LONGITUDINALE
1) Onde progressive sinusoïdale le long d’un ressort a) Analyse du mouvement d’un point du ressort
En lumière ordinaire, le ressort parait flou. Donc, au cours de la
propagation de l’onde mécanique sinusoïdale, chaque spire effectue des vibrations autour de sa position du repos suivant la direction de
propagation.
b) Aspect du ressort à un instant d’immobilité apparente
Le ressort parait immobile et déformé en une succession alternative de zones comprimées et dilatées. La distance séparant les milieux de deux zones de même nature est une longueur d’onde
2) L’onde sonore a) Activité
Réaliser les expériences suivantes :
‒ l’expérience du microphone et la bougie ;
‒ de la figure ci-dessous
) Justifier que le son est une mécanique et qu’elle est tridimensionnelle.
) Déterminer expérimentalement la valeur de la célérité du son dans l’air.
17/17 Ondes progressives _ www : tawbac.jimdo.com b) Conclusion : Nature ondulatoire du son
‒ Le son est de nature ondulatoire. C’est une onde mécanique, appelée onde sonore est plus particulièrement acoustique lorsqu’elle est
susceptible d’être perçue par l’oreille de l’homme.
‒ Une onde acoustique est produite par la vibration mécanique d’un support fluide ou solide. Elle se propage grâce à l’élasticité du milieu environnant et sa célérité dépend de la nature de ce milieu.
‒ L’onde sonore émise par une source ponctuelle est une onde progressive sphérique mais qui s’atténue en s’éloignant de la source à cause de la dilution de l’énergie.
