I Propagation d’une onde sonore

Ondes sonores dans les fluides

L’objectif du chapitre est de d´ ecrire les ondes sonores en s’appuyant sur les r´ esultats importants du chapitre pr´ ec´ edent. Les ondes sonores sont des ondes longitudinales se propageant dans les milieu mat´ eriel. Nous avons vu dans le chapitre pr´ ec´ edent l’exemple des ondes sonores dans les solides. Nous nous int´ eresserons ici aux ondes sonores se propageant dans les fluides, en reprenant ´ evidemment la description qui en a ´ et´ e faite en m´ ecanique des fluides.

I Propagation d’une onde sonore

I.1 Description et mod´ elisation du probl` eme

Un fluide est d´ ecrit, dans le formalisme eul´ erien, par la donn´ ee des champs suivants : le champ de vitesse ~ vpM, tq, le champ de pression ppM, tq et le champ de masse volumique ρpM, tq. On note les valeurs au repos de ces champs ~ vpM, tq “ Ý Ñ

0 , P pM, tq “ P

et ρpM, tq “ ρ

. L’onde se traduit par la perturbation du milieu, de sorte que

~ vpM, tq “ ~ v

pM, tq ; ppM, tq “ p

` p

pM, tq ; ρpM, tq “ ρ

` ρ

pM, tq (1) p

est appel´ e surpression ou pression acoustique.

Dans le cadre de l’approximation acoustique, les grandeurs ~ v

pM, tq, P pM, tq

et ρ

pM, tq sont consid´ er´ ees comme des infiniment petits d’ordre 1 et ont une moyenne temporelle nulle.

L’approximation acoustique permet d’obtenir des ´ equations lin´ eaires.

On n´ eglige l’action de la pesanteur et on suppose le fluide parfait, ob´ eissant donc ` a l’´ equation d’Euler.

I.2 Mise en ´ equation

Equation d’Euler ´ L’´ equation d’Euler s’´ ecrit ρ

„ B~ v

Bt ` p~ v ¨ ÝÝÑ gradq~ v



“ ´ ÝÝÑ grad p En utilisant les hypoth` eses de l’approximation acoustique :

pρ

` ρ

q

„ B~ v

Bt ` p~ v

¨ ÝÝÑ gradq~ v



“ ´ ÝÝÑ grad p

Les termes ρ

Bt

et p~ v

¨ ÝÝÑ

gradq~ v

sont des infiniments petits d’ordre 2, et sont donc n´ egligeables. On obtient alors une version lin´ earis´ ee (c’´ etait le but !) de l’´ equation d’Euler :

ρ

B~ v

Bt “ ´ ÝÝÑ

grad p

Conservation de la mati` ere L’´ equation locale de conservation de la mati` ere est la suivante : Bρ

Bt ` div pρ~ vq “ 0

qui se r´ e´ ecrit en utilisant les hypoth` eses de l’approximation acoustique Bρ

Bt ` ρ

div ~ v

` div pρ

~ v

q “ 0 Le terme div pρ

~ v

q est du deuxi` eme ordre, donc :

Bρ

Bt ` ρ

div ~ v

“ 0

Hypoth` ese adiabatique L’´ evolution thermodynamique du fluide est, par hypoth` ese, consid´ er´ ee comme adiabatique r´ eversible ; on suppose que l’´ evolution de l’´ etat d’une particule fluide se fait avec des constantes de temps trop rapides pour qu’il y ait ´ echange de chaleur. L’´ evolution est alors isentropique. Le coefficient de compressibilit´ e isentropique du fluide est alors donn´ e par :

χ

“ ´ 1 V

BV Bp ˇ ˇ ˇ ˇ

Comme ρ “ m{V ,

´ 1 V

BV

Bp “ ´ ρ m

B

Bp “ ´ρ B

Bp “ ´ρ Bρ Bp

ˆ ´1 ρ

˙

“ 1 ρ

Bρ Bp On a alors

χ

“ ´ 1 V

BV Bp ˇ ˇ ˇ ˇ

“ 1 ρ

Bρ Bp ˇ ˇ ˇ ˇ

Pour une transformation isentropique, on a donc dρ “ ρχ

dp. Dans le cas de la description eulerienne d’une particule fluide, on a alors

Dρ Dt “ ρχ

Dp Dt

Comme pour l’´ equation d’Euler, les d´ eriv´ ees convectives sont n´ egligeables, donc en faisant disparaitre les termes d’ordre sup´ erieur ` a 1

Bρ

Bt “ ρ

χ

Bp

Bt Equations lin´ ´ earis´ ees

Equation d ´

Euler ρ

B~ v

Bt “ ´ ÝÝÑ

grad p

(2)

Conservation de la masse Bρ

Bt ` ρ

div ~ v

“ 0 (3) Adiabaticit´ e Bρ

Bt “ ρ

χ

Bp

Bt (4)

I.3 Equation de propagation ´

On cherche ` a obtenir l’´ equation v´ erifi´ ee par la surpression p

. D’apr` es (2) divp ÝÝÑ

grad p

q “ ´divpρ

B~ v

Bt q “ ´ρ

B

Bt pdiv ~ v

q et d’apr` es (3)

´ρ

div ~ v

“ ´ Bρ

Bt donc

divp ÝÝÑ

grad p

q “ B

ρ

Bt

Par ailleurs, (4) permet d’´ ecrire

divp ÝÝÑ

grad p

q “ ρ

χ

B

p

Bt

Comme divp ÝÝÑ

grad p

q “ ∆ p

o` u ∆ repr´ esente l’op´ erateur laplacien, alors B

p

Bt

´ 1

ρ

χ

∆ p

“ 0 (5)

est l’´ equation de d’Alembert pour la surpression, avec c “ 1

? ρ

χ

(6) Cette c´ el´ erit´ e est d’autant plus grande que la densit´ e est faible et que la compressibilit´ e est faible. Les gaz sont moins denses, mais beaucoup plus compressibles, et num´ eriquement la vitesse de propagation est souvent plus importante dans les liquides.

Remarques Le ph´ enom` ene d’onde sonore est par nature un ph´ enom` ene tridimensionnel puisque le milieu de propagation le permet.

On obtient une ´ equation semblable pour la vitesse

B

~ v

Bt

´ 1 ρ

χ

Ý Ñ ∆ ~ v “ 0 et pour la masse volumique.

C´ el´ erit´ e dans un gaz parfait Pour un gaz parfait qui subit une ´ evolution isentropique, pV

“ constante. On a donc, en diff´ erentiant le logarithme de cette expression :

dp

p ` γ dV V “ 0 On peut en d´ eduire χ

:

χ

“ ´ 1 V

BV Bp “ 1

γp La c´ el´ erit´ e des ondes acoustiques vaut alors

c “ 1

? ρ

χ

“ c γp

ρ

On peut prendre ici p “ p

, et l’´ equation d’´ etat du gaz parfait s’´ ecrit p “ ρRT{M o` u M est la masse molaire du gaz. Alors

c “

c γRT

M (7)

ce qui donne pour l’air, une c´ el´ erit´ e c “ 347 m ¨ s

qui est en accord avec les donn´ ees exp´ erimentale, justifiant donc les hypoth` eses et approximations faites en d´ ebut de chapitre.

II Ondes sonores

II.1 Ondes planes progressives harmoniques

L’expression g´ en´ erale d’une onde plane progressive de pression se propageant dans la direction ~ u est p

p~ r, tq “ fpt ´ ~ u ¨ ~ r

c q ` gpt ` ~ u ¨ ~ r

c q (8)

et pour une onde se propageant sur l’axe Ox (~ u “ ~ u

), dans le sens des x croissants

p

p~ r, tq “ f pt ´ x{cq (9)

Par lin´ earit´ e, toute solution de l’´ equation de d’Alembert peut s’´ ecrire comme la superposition d’ondes planes progressives se propageant selon ~ u d´ ecrivant toutes les directions de l’espace.

Par ailleurs, nous savons que toute fonction peut se d´ ecomposer, grˆ ace ` a l’analyse de Fourier, en s´ erie de Fourier (fonction p´ eriodique) ou par transform´ ee de Fourier (fonction non p´ eriodique). Il est donc particuli` erement int´ eressant, en raison de la lin´ earit´ e des ´ equations, d’´ etudier les solutions en ondes planes progressives harmoniques

p

pM, tq “ p

cospωt ´ kx ` ϕq (10) Le vecteur d’onde est ´ egal ` a ~ k

“ k~ u

“

~ u

et la relation de dispersion qui permet ` a la solution harmonique de v´ erifier l’´ equation de d’Alembert est

ω “ kc

Dans le cas d’une onde harmonique, on peut utiliser la notation complexe :

p

pM, tq “ p

exppipωt ´ kxqq avec p

“ exppiϕq (11) Caract` ere longitudinal En notation complexe, l’´ equation d’Euler devient

ρ

ω~ v

pM, tq “ p

pM, tq ~ k

ce qui montre que ~ v

et ~ k sont colin´ eaires. La perturbation est donc parall` ele au sens de propagation.

Imp´ edance acoustique Compte tenu du caract` ere longitudinal des ondes, on a donc ρ

ωv

pM, tq “ kp

pM, tq

soit en utilisant la relation de dispersion

p

pM, tq “ ρ

cv

pM, tq

En prenant la partie r´ eelle

p

“ ρ

cv

La surpression et la vitesse sont en phase. Le rapport entre les deux ne d´ epend que des caract´ eristiques du milieu. On d´ efinit alors l’imp´ edance acoustique

Z

“ p

v

“ ρ

c “ c ρ

χ

(12) Cette expression est valable pour une onde se propageant vers les x ą 0.

Remarques

– Dans le cas contraire p

pM, tq “ p

exppipωt ` kxqq, l’´ equation d’Euler devient ρ

ω~ v

pM, tq “ ´p

pM, tq ~ k

ce qui montre que ~ v

et ~ k sont colin´ eaires, mais de sens oppos´ es, il faut alors rajouter un signe ´ dans l’expression de l’imp´ edance.

– l’imp´ edance, d´ efinie ici pour une onde plane progressive harmonique, peut s’´ etendre aux ondes planes quelconques, compte tenu de la lin´ earit´ e de l’´ equation de d’Alembert et de la d´ ecomposition en s´ erie de Fourier. Elle peut aussi ˆ etre d´ emontr´ ee directement.

II.2 Ondes sph´ eriques et stationnaires

Ondes sph´ eriques En coordonn´ ees sph´ eriques et pour un syst` eme ` a sym´ etrie sph´ erique, l’´ equation de d’Alembert devient

1 r

B

prp

q Br

´ 1

c

B

p

Bt

“ 0 (13)

La solution g´ en´ erale de cette ´ equation est p

pr, tq “ 1

r

´

fpt ´ r

c q ` gpt ` r c q

¯

(14) o` u f est une onde sph´ erique divergente et g une onde sph´ erique convergente. Les surfaces d’ondes sont des sph` eres concentriques.

Ondes stationnaires Comme dans le cas des ondes sur une corde vibrante, la superposition de 2 ondes planes progressives harmoniques de mˆ eme pulsation est susceptible de donner naissance ` a un syst` eme d’onde stationnaires. Math´ ematiquement, la solution en ondes stationnaires vient de la recherche d’une solution ` a variables s´ epar´ ees p

px, tq “ fpxqgptq.

III Aspects ´ energ´ etiques

III.1 Bilan d’´ energie

Consid´ erons un ´ el´ ement de surface du fluide d Ý Ñ

S . La force exerc´ ee sur la surface peut s’exprimer d Ý Ñ F “ pp

` p

pM, tqqd Ý Ñ S

Les particules se d´ eplacent ` a la vitesse ~ v

pM, tq, on peut donc exprimer la puissance moyenne des forces de pression

xdP y “ xd Ý Ñ

F ¨ ~ v

pM, tqy “ xp

~ v

pM, tq ¨ d Ý Ñ

S y ` xp

pM, tq ~ v

pM, tq ¨ d Ý Ñ

S y

Le premier terme est nul car x~ v

pM, tqy “ 0. Il reste donc pour la puissance moyenne xdP y “ xp

pM, tq ~ v

pM, tq ¨ d Ý Ñ

S y et

xP y “ ij

Σ

xp

pM, tq ~ v

pM, tqy ¨ d Ý Ñ

S (15)

La puissance moyenne est donc ´ egale au flux moyen d’un vecteur Ý Ñ

Π ` a travers la surface Σ Ý

Ñ Π “ p

pM, tq ~ v

pM, tq (16) III.2 Equation de conservation de l’´ ´ energie

On consid` ere un volume V d´ elimit´ e par une surface Σ. En notant e

la densit´ e d’´ energie m´ ecanique E

“

¡

V

e

dτ

La variation d’´ energie dans le volume V entre t et t ` dt est E

pt ` dtq ´ E

ptq “ ´

£

Σ

Ý Ñ Π ¨ d Ý Ñ

S dt

on peut r´ e´ ecrire le membre de gauche

E

pt ` dtq ´ E

ptq “ BE

Bt dt “ B Bt

¡

V

e

dτ dt

On inverse les op´ erations de d´ erivation et d’int´ egration (variables ind´ ependantes) et on simplifie par dt

¡

V

Be

Bt dτ “ ´

£

Σ

Ý Ñ Π ¨ d Ý Ñ

S

Enfin on utilise le th´ eor` eme de Green-Ostrogradski

¡

V

Be

Bt dτ `

¡

V

div Ý Ñ

Π dτ “ 0 (17)

ce qui nous donne l’´ equation locale de conservation de l’´ energie Be

Bt ` div Ý Ñ

Π “ 0 (18)

III.3 Densit´ e volumique d’´ energie On peut r´ e´ ecrire le bilan local d’´ energie

Be

Bt ` divpp

pM, tq ~ v

pM, tqq “ 0

On utilise la relation d’analyse vectorielle divpf~ gq “ f div ~ g ` ~ g ¨ ÝÝÑ

grad f , ce qui donne divpp

pM, tq ~ v

pM, tqq “ p

div ~ v

` ~ v

¨ ÝÝÑ

grad p

Or d’apr` es les ´ equations d’Euler (2), de conservation de la masse (3) et thermodynamique (4) Equation d ´

Euler ρ

B~ v

Bt “ ´ ÝÝÑ grad p

Conservation de la masse Bρ

Bt ` ρ

div ~ v

“ 0 Adiabaticit´ e Bρ

Bt “ ρ

χ

Bp

Bt donc p

div ~ v

“ ´

0

Bρ1

Bt

(conservation de la masse) et ~ v

¨ ÝÝÑ

grad p

“ ~ v

ρ

Bt

(Euler) soit divpp

pM, tq ~ v

pM, tqq “ ´ p

ρ

Bρ

Bt ´ ~ v

ρ

B~ v

Bt “ ´ p

ρ

χ

ρ

Bp

Bt ´ 1

2 ρ

Bv

Bt ce qui donne

divpp

pM, tq ~ v

pM, tqq “ ´ 1 2 χ

Bp

Bt ´ 1 2 ρ

Bv

Bt On a alors l’expression suivante

Be

Bt ´ 1 2

B

Bt pχ

p

` ρ

v

q “ 0 ce qui donne l’expression de la densit´ e d’´ energie m´ ecanique

e

“ 1

2 pχ

p

` ρ

v

q (19)

Le deuxi` eme terme est un terme d’´ energie cin´ etique, le premier est un terme d’´ energie potentielle emma- gasin´ ee par le fluide sous l’effet des forces de pression.

III.4 Vitesse de propagation de l’´ energie

L’´ energie traversant une surface dS pendant un intervalle de temps dt est dE “ Ý Ñ Π ¨ d Ý Ñ S dt

Par ailleurs, si l’onde se propage ` a la vitesse c, l’´ energie contenue dans l’´ el´ ement de volume dV “ c dt dS vaut aussi dE

dE “ e

c dt dS On obtient donc

c “ Π e

(20) Onde plane progressive Si l’onde est plane, alors p

“ ρ

cv

. On a donc

e

“ 1

2 pχ

p

` ρ

v

q “ 1

2 pχ

ρ

c

v

` ρ

v

q Or χ

ρ

c

“ 1 (d´ efinition de la c´ el´ erit´ e) donc

e

“ 1

2 pρ

v

` ρ

v

q “ ρ

v

(21)

Il y a ´ equipartition de l’´ energie entre ´ energie potentielle et ´ energie cin´ etique. Par ailleurs, Π “ p

v

“

ρ

cv

v

“ ρ

cv

, donc Π “ ce

, ce qui montre que l’´ energie se propage ` a la vitesse c. Ces r´ esultats sont

valables ´ evidemment pour des ondes harmoniques.

III.5 Intensit´ e sonore

L’intensit´ e sonore I est par d´ efinition la moyenne temporelle du flux de Π par unit´ e de surface per- pendiculaire ` a la direction de propagation de l’onde

I “ xΠy “ xρ

cv

y “ ρ

cv

2 “ p

2ρ

c

Le niveau sonore L en dB, pour des raisons physiologiques et pour des raisons pratiques, est d´ efini de mani` ere logarithmique

L

“ 10 log I

I

(22)

avec I

“ 10

W ¨ m

IV R´ eflexion et transmission d’une onde sonore

On consid` ere le ph´ enom` ene de l’arriv´ ee d’une onde sonore plane progressive sur une surface de s´ eparation situ´ ee en x “ 0 entre 2 milieu de caract´ eristiques diff´ erentes :

– milieu (1) pour x ă 0, masse volumique ρ

au repos, c´ el´ erit´ e c

, imp´ edance Z

“ ρ

c, – milieu (1) pour x ą 0, masse volumique ρ

au repos, c´ el´ erit´ e c

, imp´ edance Z

“ ρ

c.

L’onde plane incidente p

se dirige donc vers les x ą 0. En arrivant ` a l’interface, elle donne naissance a priori ` a deux ondes : une onde transmise p

dans le milieu (2) et une onde r´ efl´ echie p

dans le milieu (1).

On d´ ecrira le syst` eme avec les ondes de pression en retenant que pour un milieu donn´ e, on a toujours p “ Zv.

IV.1 Relations de passage

A l’interface, les champs ` p et v sont li´ es par des relations de passage :

– la composante normale de la vitesse est continue puisque l’interface est fixe en x “ 0,

– la pression est continue en x “ 0, car si la pression est discontinue, alors il existe une force en x “ 0 s’appliquant sur une masse nulle, ce qui donne une acc´ el´ eration infinie.

On peut alors ´ ecrire les relations suivantes :

"

p

p0, tq ` p

p0, tq “ p

p0, tq

v

p0, tq ` v

p0, tq “ v

p0, tq (23) Si l’on explicite,

$

’ ’

’ ’

’ ’

’ ’

’ &

’ ’

’ ’

’ ’

’ ’

’ %

p

px, tq “ f pt ´

1

q et v

px, tq “ 1 Z

f pt ´ x c

q

p

px, tq “ gpt `

1

q et v

px, tq “ ´ 1

Z

gpt ` x c

q p

px, tq “ hpt ´

q et v

px, tq “ 1

Z

hpt ´ x c

q

(24)

L’imp´ edance pour l’onde v

est n´ egative car elle se propage dans vers les x ă 0. on a alors

"

f ptq ` gptq “ hptq

1

Z1

pf ptq ´ gptqq “

2

hptq (25)

IV.2 Coefficient de r´ eflexion et de transmission en amplitude

On calcule ces coefficients pour les pressions, ceux pour les vitesses s’en d´ eduisent facilement.

r

“ p

p0, tq

p

p0, tq “ gptq

fptq “ Z

´ Z

Z

` Z

(26)

et

t

“ p

p0, tq

p

p0, tq “ hptq

f ptq “ 2

1 `

“ 2Z

Z

` Z

(27)

Pour la vitesse, on a les coefficients

r

“ v

p0, tq

v

p0, tq “ Z

´ Z

Z

` Z

(28) et

t

“ v

p0, tq

v

p0, tq “ 2

1 `

“ 2Z

Z

` Z

(29)

IV.3 Coefficient de r´ eflexion et de transmission en intensit´ e I “ xΠy “ xp

y

Z

, donc sp´ ecifiquement I

“ xp

y

Z

I

“ xp

y

Z

I

“ xp

y Z

On a alors comme coefficient en intensit´ e R “ I

I

“

ˆ Z

´ Z

Z

` Z

˙

T “ I

I

“ 4Z

Z

pZ

` Z

q

(30) IV.4 Cas particuliers

Adaptation d’imp´ edance Dans le cas o` u Z

“ Z

, il y a adaptation d’imp´ edance, et dans ce cas R “ 0 et T “ 1, tout se passe comme s’il n’y avait pas de chargement de milieu.

Imp´ edance nulle Dans ce cas, qui correspond ` a un tuyau ouvert, il y a r´ eflexion totale R “ 1 et T “ 0 et donc possibilit´ e d’ondes stationnaires si l’onde incidente est harmonique.

Imp´ edance infinie Dans ce cas aussi, qui correspond ` a une paroi immobile et parfaitement rigide ` a l’extr´ emit´ e d’un tuyau ferm´ e, il y a r´ eflexion totale R “ 1 et T “ 0 et donc possibilit´ e d’ondes stationnaires si l’onde incidente est harmonique.

Nous ´ etudierons ces cas particuliers au cours des exercices.