TD Bilans en m´ecanique des fluides

PSI Moissan 2013

TD Bilans en m´ecanique des fluides

Td Bilans en m´ecanique des fluides

I Jet d’eau sur une plaque

D_m

D1

D2

~v

ƥ

h α

Une plaque homog`ene, de largeur 2l, de massem, est mobile sans frottement autour d’un axe fixe horizontal

∆, co¨ıncidant avec l’un de ses cˆot´es. On envoie sur cette plaque un jet de liquide horizontal, parall`ele et filiforme ; le liquide est parfait, homog`ene, incompressible de masse volumiqueµ. Le d´ebit massique D_m du jet est constant et la vitesse du liquide dans le jet est~v, ´egalement constante. La distance du jet `a ∆ est not´eeh. La pression du milieu ambiant est uniforme :P0. On n´egligera tout effet de la pesanteur sur le fluide.

a. Montrer que partout o`u l’´ecoulement est unidirectionnel (trajectoires dans le liquide rectilignes et parall`eles) la pression dans le liquide est ´egale `aP0.

b. A son arriv´` ee sur la plaque, on suppose que le liquide s’´ecoule en un film de faible ´epaisseur le long de cette plaque. D´eterminer alors l’angle α que fait la plaque avec la verticale descendante, `a l’´equilibre, le r´egime permanent ´etant atteint. On exprimeraα en fonction de m,g,h,Dm,v etl.

c. Plus pr´ecis´ement, on suppose que le jet, apr`es avoir frapp´e la plaque, se s´epare en deux jets filiformes longeant la plaque, dans le plan vertical du jet incident, l’un vers le bas et l’autre vers le haut. D´eterminer les d´ebits massiquesD1 etD2 de ces deux jets, en fonction du d´ebit incidentDm et de l’angle α.

II Force exerc´ ee sur un coude de canalisation

On consid`ere un ´ecoulement permanent et de d´ebit de masseD`a l’int´erieur d’une conduite horizontale courb´ee. La vitesse est suppos´ee uniforme dans chaque section droite de la conduite. D´eterminer les composantes Rx et Ry de la force exerc´ee par le fluide sur la canalisation entre les sections S1 et S2

(caract´eris´ees par les pressionsP1 etP2) et les vitesses~v1“v1~ex et~v2“v2cosα~ex`v2sinα~ey).

1

PSI Moissan 2013

TD Bilans en m´ecanique des fluides

III Eolienne/h´ ´ elice

Dans un fluide parfait, homog`ene et incompressible de masse volumiqueρ (air ou eau), est immerg´ee une h´elice. On se place dans le r´ef´erentiel R, suppos´e galil´een, o`u l’h´elice est anim´ee d’un mouvement de rotation autour de son axex¹x, fixe, `a vitesse angulaire constante. Nous ferons les hypoth`eses suivantes : – Le mouvement du fluide autour de l’h´elice est suppos´e stationnaire, dans R, et `a sym´etrie de

r´evolution autour de x¹x.

– La figure repr´esente un tube de courant dans R, dans l’hypoth`ese o`u SA ą SB. Loin de l’h´elice, hormis dans la veine `a l’aval de la section S<sub>B</sub>, la vitesse du fluide est uniforme et vaut~v<sub>A</sub> “v<sub>A</sub>~e<sub>x</sub> dansR; dans la veine aval, elle vaut~v<sub>B</sub>“v<sub>B</sub>~e<sub>x</sub>, toujours `a grande distance de l’h´elice.

– La pression, `a grande distance de l’h´elice, et dans toutes les directions, est uniforme et vaut P0

(c’est vrai en particulier surS_A et surS_B).

– Les sections Σ₁ et Σ₂du tube, tr`es voisines de l’h´elice, ont leurs aires pratiquement ´egales, de valeur S; les pressions du fluide y sont suppos´ees uniformes et de valeurs respectivesP1 etP2.

– La vitesse du fluide, dans R, au voisinage de l’h´elice, est suppos´ee uniforme, de valeur ~v “ v~e_x (l’inclinaison des pales par rapport au plan perpendiculaire `a l’axe x<sup>1</sup>x permet le glissement du fluide en satisfaisant `a la continuit´e de la vitesse normale sur les pales ; ce glissement est suppos´e ne s’accompagner d’aucune dissipation d’´energie m´ecanique par frottement).

– Les effets de la pesanteur sur le fluide sont n´egligeables.

Σ1 Σ2

x¹ x

SA

S_B

~v_A

~v_A ~v_A

~vB

~ v ~v

P0

P₀

a. Ecrire deux relations entre´ S_A,v_A,S_B,v_B,S et v.

b. Evaluer les pressions´ P₁ etP₂ en fonction deP₀,ρ,v_A,v_Betv. En d´eduire la r´esultanteÝÑF des efforts exerc´es par l’h´elice sur le fluide, en fonction de ρ,S,vAetvB. Discuter le sens de ÝÑ

F. c. Evaluer´ ÝÑ

F par ailleurs `a partir d’un bilan de quantit´e de mouvement. En d´eduire la relation donnant v en fonction de v_Aet v_B.

d. Evaluer la puissance´ Pf ( mesur´ee dansR) fournie par l’h´elice au fluide : – `a partir de la valeur deÝÑF ;

– En appliquant le premier principe de la thermodynamique `a un syst`eme convenable. On exprimera P_f en fonction dev_A,v_B et du d´ebit massiqueD_m circulant dans le tube de courant repr´esent´e sur la figure.

2

PSI Moissan 2013

TD Bilans en m´ecanique des fluides

III.1 Application `a la propulsion d’un vaisseau (bateau ou avion)

Le vaisseau a, par rapport `a la Terre o`u le fluide est immobile `a grande distance de l’h´elice, une vitesse constante~u“ ´u~e<sub>x</sub>, uą0 . Le fluide est ´eject´e vers l’arri`ere de l’h´elice `a une vitesse~v<sub>e</sub>“v<sub>e</sub>~e<sub>x</sub>, `a grande distance de celle-ci,~v_e´etant mesur´ee par rapport `a la Terre.

e. Evaluer le rendement ´´ energ´etiqueη“Pu{Pm de la propulsion ;Pu est la puissance fournie `a la coque du vaisseau, mesur´ee dans le r´ef´erentiel terrestre, etP_m est la puissance fournie par le moteur actionnant l’h´elice. On exprimeraη en fonction de u etv_e seulement.

f. Dans quelles conditions η serait-il maximal ? Qu’en penser ?

g. Application num´erique : Calculer le rapportve{u pourη “0,85 (avion) et pourη“0,60 (bateau).

III.2 Application `a une ´eolienne

Dans ce cas, R est le r´ef´erentiel terrestre etvBăvA. h. Quelle est alors la forme du tube de courant ?

i. Soit P la puissance obtenue sur l’arbre de l’´eolienne. On pose x“v_B{v_A p0ăxă1q;S et v_A´etant donn´es, pour quelle valeur de x,P est-elle maximale ?

j. Le rendement ´energ´etique r est d´efini comme le rapport deP au d´ebit d’´energie cin´etique de l’air `a travers la sectionSAdu tube de courant. Exprimerren fonction dex. Que vautrlorsqueP est maximale ?

k. Application num´erique : Calculer la puissance maximale avec ρ “ 1,3kg¨m^´3;v_A “8m¨s^´1; le diam`etre de l’h´elice est 10 m.

3