PSI Moissan 2013
TD correction Bilans en m´ecanique des fluides
octobre 2013Td correction Bilans en m´ecanique des fluides
I Jet d’eau sur une plaque
Dm
D1
D2
~v
ƥ
h α
a. L’´ecoulement est incompressible et permanent. L’´ecoulement est unidimensionnel, on peut donc prendre~v“vx~ex, donc l’´equation d’Euler s’´ecrit
µp~v¨ÝÝÑ
gradq~v“µvxBvx
Bx~ex “ ´ÝÝÑ gradP Or, le fluide ´etant incompressible, div~v“0 donc
Bvx
Bx “0 et donc
ÝÝÑgradP “ÝÑ 0
La pression est donc constante dans les zones ou l’´ecoulement est unidimensionnel. Par ailleurs, par continuit´e, `a l’interface eau-air, P “ P0, donc la pression dans les zones d’´ecoulement unidimensionnel est ´egale `a la pression atmosph´erique.
b. On fait un bilan de moment cin´etique, puisque la plaque est susceptible de tourner autour de l’axe
∆ en choisissant le syst`eme suivant
– `at, le syst`eme est constitu´e par{la plaque, l’eau contenue dans la surface Σ}(S0) et{l’eau entrant entret ett`dtdans la surface en A} (S1 de masseδmA),
– `a t`dt, le syst`eme est constitu´e par {la plaque, l’eau contenue dans la surface Σ} (S0) et {l’eau sortant entret ett`dtde la surface enB (S2B de masseδmB) etC (S2C de masseδmC)} .
A
B
C
•O
H y
z
On calcule le moment cin´etique par rapport `a ∆ `a t L∆ptq “L∆S0ptq `δmApÝÑ
OA^~vAq ¨~ex “L∆S0ptq `δmAppÝÝÑ OH`ÝÝÑ
HAq ^v~eyq ¨~ex
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octobre 2013 ÝÝÑHA est port´e par~ey donc
L∆ptq “L∆S0ptq `δmAp´h~ez^v~eyq ¨~ex“L∆S0ptq `δmAvh On calcule ensuite le moment cin´etique par rapport `a ∆ `a t`dt
L∆pt`dtq “L∆S0pt`dtq `δmBpÝÝÑ
OB^~vBq ¨~ex`δmCpÝÝÑ
OC^~vCq ¨~ex
Or enB, la vitesse est colin´eaire `aÝOB, enÝÑ C la vitesse est colin´eaire `aÝOC, doncÝÑ L∆pt`dtq “L∆S0pt`dtq
On peut donc ´ecrire la variation du moment cin´etique
DL∆“L∆pt`dtq ´L∆ptq “L∆S0pt`dtq ´L∆S0ptq ´δmavh
L’´ecoulement est ´etudi´e en r´egime permanent, avec un d´ebit massique tel que δmA“Dmdt, donc DL∆“ ´Dmdtvh
et donc
DL∆
Dt “ ´Dmvh
Il reste `a faire l’inventaire des actions ext´erieures et de leur moment :
– la pression est la mˆeme en tout point entourant le syst`eme, et ´egale `aP0, donc son moment est nul, – la r´eaction au niveau de l’axe ∆ est une force qui passe par O, donc son moment est nul,
– le poids, dont le moment est `a priori non nul.
Le poids s’applique au centre de gravit´e de la plaque, donc M∆P “ pÝÝÑ
OG^m~gq ¨~ex“mppÝÝÑ OH`ÝÝÑ
HGq ^ p´g~ezq ¨~ex
donc
M∆P “ ´mgHG“ ´mglsinα On en d´eduit donc, en appliquant le th´eor`eme du moment cin´etique
Dmvh“mglsinα ñ sinα“ Dmvh mgl c. Le fluide est incompressible, donc le d´ebit volumique est conserv´e
Dm“D1`D2
Par ailleurs, l’´ecoulement ´etant incompressible, parfait et permanent, on peut appliquer le th´eor`eme de Bernoulli en n´egligeant l’effet de la pesanteur
PA`1
2vA2 “PB`1
2vB2 “PC`1 2v2C CommePA“PB “PC “P0,
vA“vB“vC “v
On fait un bilan de quantit´e de mouvement qui a pour objectif de relier la variation de quantit´e de mouvement du fluide `a la force de pression exerc´ee sur la plaque. Le syst`eme est donc le mˆeme qu’`a la
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octobre 2013question pr´ec´edente, hormis la plaque. Le syst`emeS0 est donc constitu´e uniquement par le fluide contenu dans Σ, de quantit´e de mouvement~p0ptq.
A l’instant t
~
pptq “~p0ptq `δmA~vA“~p0ptq `Dmdt~vA et `a l’instant t`dt
~
ppt`dtq “~p0pt`dtq `δmB~vB`δmC~vC “~p0ptq `D1dt~vB`D2dt~vC
donc D~p
Dt “D1~vB`D2~vC ´Dm~vA
La force de pesanteur ´etant n´eglig´e, seule la force de pression s’exerce. En particulier, compte tenu du caract`ere parfait du fluide, la force de surface s’exer¸cant sur le fluide de la part de la plaque se r´eduit `a la pressionP (pas de viscosit´e). On peut alors ´ecrire
Ý ÑF “
£
Σ
´P dÝÑS
o`u P est variable. On transforme cette int´egrale Ý
ÑF “
£
Σ
´P0dÝÑS ´
£
Σ
pP ´P0qdÝÑ
?
La premi`ere int´egrale est nulle, puisque c’est l’int´egrale sur une surface ferm´ee d’une pression constante.
La deuxi`eme int´egrale est non nulle quandP ‰P0, donc au contact entre la plaque et le fluide, d’o`u Ý
ÑF “ ´
£
plaque
pP´P0qdÝÑ S
On a donc
´
£
plaque
pP´P0qdÝÑS “D1~vB`D2~vC ´Dm~vA
que l’on projette le long de la plaque
0“D1v`D2v´Dmsinαv On a donc finalement le syst`eme suivant
"
D1`D2 “Dm
D1´D2 “Dmsinα ñ D1 “ Dmp1`sinαq
2 et D2 “ Dmp1´sinα 2
II Force exerc´ ee sur un coude de canalisation
On va faire un bilan de quantit´e de mouvement sur la syst`eme ferm´e suivant
– `at, le syst`eme est constitu´e du fluide compris entre les surfacesS1 etS2 (syst`emeS0 de massem0), plus le fluide qui va entrer `a travers la surfaceS1 entret ett`dt (syst`eme S1, de masseδm1), – `at`dt, le syst`eme est constitu´e de S0, plus le fluide sortant par la surfaceS2 (syst`emeS2 de masse
δm2.
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octobre 2013Par conservation de la masse totale du syst`eme
mpt`dtq ´mptq “m0`δm2´m0`δm1 “δm2´δm1“0ñδm2 “δm1“δm On effectue le bilan de quantit´e de mouvement, `a t
~
pptq “~p0`δm~v1 et `a t`dt
~
ppt`dtq “~p0`δm~v2 ce qui donne
D~p“δmp~v2´~v1q “D dtp~v2´~v1q et donc
D~p
Dt “Dp~v2´~v1q Par ailleurs, les forces s’exer¸cant sur le syst`eme sont :
– le poids ÝÑ
P “M~g,
– la force de pression motrice en S1 :P1S1~ex,
– la force de pression r´esistante en S2 :´P2S2pcosα~ex`sinα~eyq – la r´eaction de la canalisation ÝÑ
R. de sorte que
Dv2pcosα~ex`sinα~eyq ´Dv1~ex“M~g`P1S1~ex´P2S2pcosα~ex`sinα~eyq `ÝÑ R La force exerc´ee par le fluide sur la canalisation est donn´ee par
Ý
ÑF “ ´ÝÑ
R “ ´Dv2pcosα~ex`sinα~eyq `Dv1~ex`M g~ey`P1S1~ex´P2S2pcosα~ex`sinα~eyq que l’on projette sur les deux axes pour obtenir les composantes
"
Fx“ ´Dv2cosα`Dv1`P1S1´P2S2cosα Fy “ ´Dv2sinα`M g´P2S2sinα
Dans des conditions classiques S1 “ S2 “ S, P1 “ P2 “ P0, et pour un fluide incompressible, par conservation du d´ebit,v1 “v2 “v
"
Fx “ ´Dvcosα`Dv`P0S´P0Scosα Fy “ ´Dvsinα`M g´P0Ssinα et en regroupant les termes
"
Fx“ pDv`P0Sqp1´cosαq Fy “ ´pDv`P0Sqsinα`M g
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