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Influence de la gravité sur les interactions
fluide-structure pour un fluide dans un domaine borné à surface libre
Xin-Jian Chai
To cite this version:
Xin-Jian Chai. Influence de la gravité sur les interactions fluide-structure pour un fluide dans un domaine borné à surface libre. Autre [cond-mat.other]. Institut National Polytechnique de Lorraine, 1996. Français. �NNT : 1996INPL137N�. �tel-01751126�
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[ ~] 1996 CHAl 1 x. -3.
Institut National Polytechnique de Lorraine THESE
PRESENTEE DEVANT L'INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE LORRAINE POUR OBTENIR LE TITRE DE
DOCTEUR DE L'I.N.P.L EN MECANIQUE ET ENERGETIQUE par Xin-Jian CHAI
INFLUENCE DE LA GRAVITE
SUR LES INTERACTIONS FLUIDE- STRUCTURE
POUR UN FLUIDE DANS UN DOMAINE BORNE A SURFACE LIBRE
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soutenue publiquement le 31 octobre 1996, devant la commission d'examen :
Rapporteurs : B. PESEUX R. VALID Examinateurs: J. P. BRANCHER
Professeur, Ecole Centrale Nantes Professeur, ENS de Cachan Professeur, INPL Nancy F. CORBERAND Ingénieur, Aérospatiale E. DE LANG RE Ingénieur, CEA Gif sur Yvette J. M. GENEVAUX Maître de Conférences, INPL Nancy
O. SERO-GUILLAUME Directeur de Recherche, LEMTA-CNRS Nancy
REMERCIEMENTS
Ce travail a été effectué au Laboratoire d'Énergétique et de Mécanique Théorique et Appliquée(LEMTA) sous la direction de Monsieur Jean-Pierre BRANCHER, Professeur à l'Institut National Polytechnique de Lorraine (INPL), qu'il trouve ici l'expression de ma profonde gratitude pour l'aide inestimable qu'il rn' a prodiguée pendant toute la durée de ce travail.
Ma très profonde gratitude va aussi à Monsieur Jean-Michel GENEY AUX, Maître de Conférences à l'INPL, pour le soutien qu'il m'a apporté, ses compétences et son appui constant m' ont permis d'enrichir et approfondir mes connaissances.
J'exprime ma profonde reconnaissance à Monsieur Bernard PESEUX, Professeur à l'École Centrale Nantes, et Monsieur Roger V ALID, Professeur honoraire à l'École Centrale Paris, qui rn ' ont fait 1' honneur de rapporter sur ce travail.
Mes remerciements vont également à Monsieur François CORBERAND, Ingénieur à l'Aérospatiale et au Monsieur Emmanuel de LANG RE Ingénieur au CEA, pour avoir accepté de participer au jury.
J'adresse mes remerciements à Monsieur Olivier SERO-GUILLAUME, Directeur de Recherche, LEMTA-CNRS à Nancy, pour l'intérêt qu'il a porté à ce travail et pour avoir accepté de siéger dans ce jury.
Je tiens à remercier tous mes collègues du LEMTA, qui ont su faire rendre ce travail aussi agréable qu'intéressant, par leur amitié et leur conseils, avec une pensée particulière à Marie-Hélène, Daniel, François, Jonathan et Karim.
Je ne peux oublier d'adresser ma profonde gratitude au gouvernement Chinois pour l' aide financière qu'il m'a apportée en m'octroyant une bourse.
SOMMAIRE
CHAPITRE 1 . ... 1
INTRODUCTION GÉNÉRALE ET ÉTUDE BIBLIOGRAPHIQUE ... 1
1. 1 LES PROBLEMES D'INTERACTION FLUIDE- STRUCTURE .. ... .... ... ... .... ... ... ... .. .. ... .. 1
1. 1. 1 Problèmes extérieurs ... .... ... ... ... .. ... ... .. .. ... ... ... ... .. ... ... .... ... .. ... ... 2
1.1.2 Problèmes intérieurs ... .... ... ... ... .. ... ... .... .. ... ... ... ... ... ... 3
1.2 LES MÉTHODES DE RÉSOLUTION ... ... ... ... ... .. .. ... .... ... .... .... ... ... .... 4
1.2. 1 Les approches analytiques ... ... ... ... .... ... ... .. ... ... ... ... ... ... . 4
1.2.2 Les méthodes numériques ... ... ... ... .. ... .. ... ... .. .. ... .. ... 4
1.3 LES ÉTUDES ANALYTIQUES DE BALLOTTEMENT DANS UN RÉSERVOIR DÉFORMABLE ... .. .. .... ... ... .. .. . 5
1.4 LE BUT D'ÉTUDE ET LE PLAN DE PRÉSENTATION .... ... ... .. .... ... ... , ... 5
CHAPITRE 2 ... 7
FORMULATION DU PROBLÈME D'INTERACTION FLUIDE -STRUCTURE DANS UN DOMAINE BORNÉ EN PRÉSENCE DE GRAVITÉ ... 7
2.1. iNTRODUCTION ... 7
2.2. LES ÉQUATIONS ET LES CONDITIONS AUX LIMITES DU FLUIDE ... 7
2.2.1 Les équations et les conditions aux limites du fluide dans le cas général ... 7
2.2.2 Application au problème de la cuve bidimensionnelle ... ... .... ... 9
2.3 LINÉARISATION ... 13
2.3.1 Transformation de domaine ... ... . 13
2.3.2 Développement asymptotique ... ... ... ... ... ... 16
2.4 LA SOLUTION DES ÉQUATION LINÉAIRES D'ORDRE'/' ... 22
2.4.1 Simplification des équations ... ... ... 22
2.4.2 Une solution analytique du système à interface mobile ... 24
CONCLUSION ... 26
CHAPITRE 3 . ... 27
UN MODÈLE D'INTERACTION FLUIDE- STRUCTURE : ... 27
3. /. iNTRODUCTION ... 28
3.1.1. La masse ajoutée ... ... ... ... ... 28
3.1.2. L'objet de cette étude, le plan de présentation ... ... ... 30
3.2. UN MODÈLE D'INTERACTION FLUIDE- STRUCTURE : MASSE- REsSORT- AMORTISSEUR- LIQUIDE (MRAL) ... 31
3.2.1. Modèle MRAL ... ... ... ... ... 31
3.2.2. Equation caractéristique du système couplé ... ... ... ... ... ... 33
3.3. RÉPONSE À DES FORCES : MIS EN ÉVIDENCE DU COUPLAGE FLUIDE- STRUCTURE ... ... 34
3.3.1. Les systèmes non couplés et/es pulsations propres non- couplées ... ... 35
3.3.2. Le système couplé: MRL. .... ... .... .. ... ... .. .. ... .... .. ... .. .. ... .. .. .... ... .... ... ... ... 36
3.4. LES EFFETS DE PARAMÈTRES DU SYSTÈME SUR LES FRÈQUENCES PROPRES COUPLEES ... ... ... . 41
3.4.1. Les effets de raideur sur les fréquences couplées ... ... 43
3.4.2. Les effets de masse sur les fréquences couplées ... ... ... .. ... 46
3.5. INTERPRÈTATION ENERGETIQUE DE MASSE AJOUTEE ... ... ... .... ... .. ... ... . 4 7 3. 6. LES INFLUENCES SUR LA MASSE AJOUTEE DU NOMBRE DE FROUDE F, ET DU CONFINEMENT ... ... .. ... 51
3.6.1 Le cas où F, >> /.. ... . 51
3.6.2 Le cas où F, << 1 ... 55
3.6.3 Le cas où F, "'1 ... ... ... ... 56
3.6.4 Conclusion de la dépendance par. rapport au nombre de Fraude .... ... ... ... ... 61
3.6.5 Comparaison des fréquences couplées, à Fraude infini et fini ... ... 62
3. 7. INFLUENCE DU TYPE DE CONDITIONS AUX LIMITES SUR DE LA MASSE AJOUTEE ... ... ... ... : ... 67
3.8. L'INFLUENCE DEL 'AMORTISSEMENT DE LA STRUCTURE SUR LE COUPLAGE DU SYSTÈME ... ... ... 71
3.8.1. Vibration libre :fréquences propres ... ~ ... ... 71
3.8.2 Fonction de réponse en fréquence (FRF) ... ... ... .. ... 71
3.9 CONCLUSION .. ... ... .... ... ... ... ... ... ... .. ... 75
CHAPITRE 4 . ... 77
INTERACTION ENTRE UNE POUTRE ET UN LIQUIDE CONTENU DANS UN RÉSERVOIR RECTANGULAIRE AVEC SURFACE LIBRE ... 77
4.1. INTRODUCTION ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... 77
4.1.1 Phénomènes différents et les descriptions associées ... 78
4.1. 2 Travaux précédents .... ... ... ... ... .... ... ... ... ... .. ... ... 80
4.1.3 Objet d'étude ... ... ... ... ... ... 82
4.2. LES EQUATIONS ET LES CONDfTIONS AUX LIMfTES ... .... ... ... 82
4.3. LA RÈSOLUTION DES ÉQUATIONS COUPLÉES ... ... ... 85
4.3.1 La recherche des fonctions deforme u et Ud ... ... 86
4.3.2. Les valeurs propres du système couplée ... ... ... . 90
4.4. VÉRIFICATION DE LA MÉTHODE À L'AIDE DES RÈSULTATS EXISTANTS .. ... .... ... ... ... 90
4.4.1 Nomenclatures ... ... ... .... .... .... ... ... ... ... ... .. ... 91
4. 4.2 Vérification par les résultats analytiques et expérimentaux de Vek/ich et Malyshev (1990) .... ... ... 91
4.4.3 Vérification à l'aide des résultats numériques de Ousset (1980) ... ... .... 98
4. 5. COMPARAISON AVEC DES RÈSULTATS ANALYTIQUES (BA UER, 1968) ... 1 02 4.5. 1 L 'évolution de fréquences propres avec la profondeur du liquide hlhp (remplissage) .. ... ... ... .. ... 102
4.5.2. Les modes couplés pour hlhp = 0,6 ... ... ... .... ... 105
CONCLUSIONS ... .. ... ... ... ... .... ... ... 108
CHAPITRE 5 ... 110
ETUDE EXPÉRIMENTALE DE L'INTERACTION FLUIDE- STRUCTURE DANS UN RÉSERVOIR AVEC SURFACE LIBRE ... Il 0 RÊSUMÉ : ... .. ... ... ... .. ... .. .. ... .. ... ... ... ... .. ... .. ... ... 110
INTRODUCTION ... ... .... ... .... .... ... ... ... .. ... ... ... .. ... ... ... .. ... 1 1 0 5.1. DISPOSITIF EXPÉRIMENTAL ... ... ... .... ... ... ... ... ... .. Ill 5.2. RÊSULTATSEXPÉRIMENTAUX ... ... ... ... ... ... .... II8 5.2.1. Les fréquences propres de la poutre sèche ... ... ... ... ... 118
5.2.2. Les fréquences et modes propres couplés ... ... ... ... ... ... .. . 121
5.3. RÊSULTATS THÉORIQUES ... ... ... ... .... .... 124
5.3. 1. Les systèmes non couplés ... ... .... ... ... ... ... 125
5.3.2 Les fréquences et modes propres du systèmes couplé : résultats théoriques ... 128
5.3.3 L'évolution des fréquences et modes propres du système couplé en fonction du remplissage: résultats théoriques ... ... ... 133
5.4. COMPARAISON DES RÉSULTATS ANALYTIQUES ET EXPÉRIMENTAUX ... ... ... ... ... ... 136
CONCLUSION ... ... .. .. .... ... ... ... ... 137
CHAPITRE 6 ... ; ... 138
CONCLUSION GÉNÉRALE ET PERSPECTIVES ... 138
ANNEXE I. LOI DE COMPORTEMENT LINÉAIRE ÉLASTIQUE D'UNE POUTRE ET LES EFFORTS GÉNÉRALISÉS AU POINT ACTUEL ... 140
A 1. 1 ÉQUILIBRE D'UN TRONÇON DE POUTRE .... ... ... ... ... .... ... ... ... ... 141
Al.2 LOIDECOMPORTEMENT ... ... I42 A1.3 ÉQUATIONFINALE ... .... .... ... ... ... .. ... I43 ANNEXE 2. MASSES AJOUTÉES GÉNÉRALISÉES ... 144
ANNEXE 3. LES ÉLÉMENTS DE LA MATRICE (A]8, 8 ... 148
ANNEXE 4. LE DISPOSITIF EXPÉRIMENTAL DE TYPE BATTEUR DE HOULE ... I49 ANNEXE 5. LE CALCUL DE MODES PROPRES DE LA PLAQUE SÈCHE EN EF ... 151
ANNEXE 6 MESURE PAR UNE MÉTHODE OPTIQUE DU PROFIL DE LA SURFACE LIBRE D'UN LIQUIDE EN MOUVEMENT ... I53 A6.l.INTRODUCTION ... 153
A6.2 . PRINCIPE DE LA METHODE ... 153
A6.3. L' EXPERIENCE SIMULATION NUMERIQUE DE ... ... ... ... ... 156
A6.4 . EXEMPLE DEL' APPLICATION DE LA METHODE ... 160
A6.5. CONCLUSION ... ... ... ... ... ... ... ... 160
BIBLIOGRAPHIE ... 161
Chapitre 1.
Introduction générale et étude bibliographique
Dans ce document, nous nous intéresserons au problème de vibration d'une structure déformable couplée avec un fluide à surface libre contenu dans un domaine borné. Il est nécessaire de résoudre simultanément les deux sous - systèmes : fluide et structure en tenant compte de leurs conditions d'interface. Par exemple, lorsque la structure est placée dans un écoulement, sa présence perturbe celui-ci. Des efforts hydrodynamiques engendrés sur la structure peuvent être calculés et modifient alors sa position ou sa forme. Les interfaces fluide - structure s'étant déplacés, l'écoulement est à son tour modifié, pouvant ainsi rendre caduque l'évaluation précédente des efforts hydrodynamiques.
1.1 Les problèmes d'interaction fluide- structure
La difficulté dans un problème d'interaction fluide - structure provient de la difficulté de définir une "entrée" au problème. Le mécanicien des solides souhaitera connaître le chargement sur la structure et donc les pressions exercées par le fluide sur celle-ci, inconnues du problème.
Le mécanicien des fluides souhaitera connaître les conditions aux limites sur le domaine fluide et entre autres la cinématique de l'interface fluide - structure, elle aussi inconnue du problème. Le problème est donc à considérer globalement et à résoudre simultanément dans les deux domaines.
Les problèmes d'interaction fluide - structure peuvent être classés suivant la configuration. Par exemple si l' écoulement du fluide est à l'extérieur ou l'intérieur de la structure, les méthodologies de résolution en dépendent fortement (Genevaux, 1996).
2
structure
chargement cinématique déplacement imposés, conditions aux limites
Interface
Tenseurs des contraintes, des défonnations et champsde · déplacement, en tout point de la structure
Pression et vitesse en tout point du fluide
Chapitre 1
fluide
chargement cinématique débit, conditions aux limites
Figure 1.1 La boucle de couplage fluide - structure 1.1.1 Problèmes extérieurs
Notre cas d'étude ne concernant pas un problème pour lequel le fluide est à l'extérieur de la structure, nous ne ferons que citer quelques exemples des vibrations observées.
- Structures civiles : hautes cheminées, grands ponts, gratte-ciel, câbles électriques, câbles de téléphérique vibrant sous l'effet du vent.
-Structures marines : navires, plates-formes offshore soumises à la houle,
- Structures aériennes : aile d' avion, pales d' hélice, aubages de turbomachines (turbines à gaz, compresseurs aéronautiques) etc.,
- Installations hydrauliques : vanne segment, aubades de turbines Francis etc ..
-Structures de réacteur nucléaire :faisceaux tubulaires de réacteur ou d' échangeur.
L'exemple le plus célèbre de rupture du fait des interactions fluide - structure, est celui du pont suspendu de Tacoma dans l'état de Washington (U.S.A.) sur la côte Ouest. La proximité des deux fréquences propres en torsion et en flexion, ont engendré suite à un vent transversal violent un phénomène de flottement : les efforts aéroélastiques relatifs au mouvement sur l'un des
Introduction et étude bibliographique 3
modes, excitent l'autre mode, lui fournissant de l'énergie. L'amplitude du second mode s'accroissant, les efforts aéroélastiques correspondants transfèrent à leur tour de l'énergie sur le premier mode, qui lui aussi s' amplifie jusqu' à la rupture de l'ouvrage (Dat, 1995).
Citons quelques ouvrages sans plus de commentaires :
Blevins (1979, 1990), Gilbert (1989) : vibration induite par écoulement.
Bisplinghoff (1955, 1962), Fung (1969), Dowell et al. (1978, 1989, 1995) : aéroélasticité, le fluide est compressible.
Bishop (1979), et les thèses de Peseux (1989) et Oudin (1986) : hydroélasticité, études du comportement dynamique des structures marines en présence de houle en prenant en compte la déformation du navire dans le calcul.
Conca et al. (1994), Païdoussis (1982, 1981), Chen J.J. (1975) et Chen S.S. (1991, 1994) : hydroélasticité pour les faisceaux tubulaires en écoulement monophasique ou diphasique.
1.1.2 Problèmes intérieurs
Le fluide peut être aussi à l'intérieur même de la structure.
- tuyauteries mises en vibration par l'écoulement interne : les canalisations industrielles, circuits biologiques de notre organisme (hémodynamique)
- les lanceurs à propergols liquides comme ARIANE.
- les réservoirs : de véhicules, réacteur nucléaire.
- la cavité acoustique.
L' exemple le plus connu de ce type de problème est l'effet " Pogo " des lanceurs à propergols liquides ou une partie de la puissance propulsive est déviée de sa vocation pour entretenir un couplage avec les vibrations des structures.
Citons l'ouvrage de Morand et Ohayon (1995) pour la formulation et les études numériques des interactions fluides - structures dans le domaine fluide borné. En ce qui concerne les problèmes de réacteur nucléaire, nous citons les revues de Belytschko (1977), Au-Yang et Galford (1982) et Engel (1994). Pour les études de problèmes d'interaction fluide- solide dans la cavité acoustique, nous citons l'ouvrage de Lesueur (1988) et Morand et Ohayon (1995).
4 Chapitre 1
1.2 Les méthodes de résolution
1.2.1 Les approches analytiques
En général, les solutions analytiques ne peuvent être trouvées que dans le cas de géométrie simple. Cette connaissance de solutions analytiques permet de valider les modèles numériques utilisés pour des géométries plus complexes.
Dans le cas où la structure est indéformable en mouvement dans le fluide, et en absence de pesanteur, la théorie des masses ajoutées est utilisée. (Lamb, 1932 ; Birkhoff, 1955 ; Brancher, 1995). Dans cette théorie, seuls les effets inertiels du fluide sont pris en compte. On trouvera dans (Blevins, 1979) les masses ajoutées de cylindres de sections droites diverses pour des milieux fluides infinis. En présence d'une surface libre, dans le cas où la pesanteur est présente, il sera nécessaire d' introduire son énergie potentielle. Nous nous placerons dans ce cas- là.
Si la structure est déformable, cette théorie est difficilement applicable, car les coefficients hydrodynamiques dépendent de la forme de celle-ci. Le principe de la résolution est de déterminer dans un premier temps les modes et fréquences propres de la structure sèche, puis d' utiliser cette base modale pour exprimer la vitesse normale à l'interface, ce qui de calculer le potentiel des vitesses. Cette méthode est à rejeter si les bases modales "sèches" et "mouillées"
n'ont a priori rien à voir entre elles. Prenons le cas d'un réservoir rempli partiellement : les conditions aux limites sur la structure seront différentes sur les parties immergées et émergées.
1.2.2 Les méthodes numériques
Les méthodes numériques sont très utiles pour résoudre les problèmes pratiques. Les méthodes peuvent être classées comme suit : différences finis, éléments finis, volumes finis et équations intégrales. Le principe de ces méthodes est la discrétisation d'un domaine continu, la recherche des solutions du système discret qui approche le problème. Citons les revues remarquables de Kalinowsk.i (1975), Belytschko (1977), Au-Yang et Galford (1982), Broderick et Léonard (1990), Engel (1994), et l' ouvrage de Morand et Ohayon (1995).
Pour une structure complexe, même si on suppose qu'elle est rigide, le calcul de masse ajoutée nécessite une méthode numérique, éléments finis ou équations intégrales. On consultera la synthèse bibliographique de Rousseau ( 1994 ), et le livre de Bousquet ( 1990) ou potentiel de double couche.
I11troduction et étude bibliographique 5
Pour les problèmes généraux d' une structure déformable couplée avec un fluide, il existe plusieurs codes de calcul commerciaux : ANSYS, ADINA pour les problèmes de réacteur nucléaire (Engel, 1994) et MSC/NASTRAN (Fernhols et Robinson, 1996).
1.3 Les études analytiques de ballottement dans un réservoir déformable Un exemple type d' interaction fluide - structure dans l'ingénierie structurale est un réservoir flexible sous excitation sismique rempli d'un liquide. Les deux composants sont la structure (le réservoir sec) et le fluide interne.
Hormis les études numériques de Morand et Ohayon (1995) et de Omrani (1992), la plupart des études analytiques disponibles considèrent seulement les effets hydrodynamiques de chargement sur la structure, négligeant les effets de la gravité. Citons les revues remarquables mais anciennes d'Abramson (1968), Kana (1966) et Bauer (1981). On trouvera dans les deux premières, des résolutions pour des réservoirs cylindriques aux parois latérales ou au fond élastique, dans la dernière, pour un réservoir rectangulaire ayant un fond élastique. Dans le cas où la paroi est élastique et le réservoir rectangulaire peu d'études existent. En effet pour une telle géométrie, la méthode de séparation de variable n'aboutit pas.
1.4 Le but d~étude et le plan de présentation
Le but de cette étude est de présenter une résolution analytique du comportement de vibration du système couplé : liquide - réservoir où le liquide est incompressible et non visqueux, les effets de la présence d'une surface libre et de la gravité sont discutés. Le réservoir déformable est modélisé par une paroi rigide mobile, piston en translation, une plaque rigide en rotation ou poutre élastique.
Le mémoire est divisé en 5 chapitres :
Le chapitre 2 présente les équations générales du problème et la linéarisation de celui-ci, ainsi qu'un développement en série du potentiel des vitesses qui permet de satisfaire exactement l'équation d'incompressibilité et les conditions aux limites du fluide.
Le chapitre 3 présente des applications: calcul des modes et fréquences propres d'un système couplé de type rigide (piston en translation ou plaque rigide en rotation). Les phénomènes de couplage solide - fluide avec surface libre sont mis en évidence en utilisant la fonction de réponse en fréquence. La notion de masse ajoutée classique est généralisée en prenant
6 Chapitre 1
en compte les effets de la gravité par l'intermédiaire de la surface libre du fluide . La procédure analytique complète peut être programmée facilement. Les résultats de cette méthode sont comparés avec les autres résultats analytiques.
Le chapitre 4 étudie le cas où la paroi de réservoir est flexible. Elle est modélisée par une poutre en flexion. La procédure analytique complète peut être aussi programmée. Les résultats de cette méthode sont comparés avec les résultats numériques de la littérature.
Le chapitre 5 présente une étude expérimentale de ce problème. Les phénomènes couplés sont mis en évidence expérimentalement et comparés aux résultats analytiques.
Formulation du problème 7
Chapitre 2.
Formulation du problème d'interaction fluide structure dans un domaine borné en présence de gravité
2.1. Introduction
Nous présenterons les équations de base du fluide et de la structure, la linéarisation des équations et les conditions aux limites. Le potentiel qui satisfait les équations et les conditions aux limites linéaires sera déterminé.
2.2. Les équations et les conditions aux limites du fluide
La formulation d'écoulement avec une surface libre du fluide peut être trouvée dans Wehausen et Laitone (1960). Nous rappellerons les équations de base au fluide et de la structure, essentiellement afin de définir les notations et les hypothèses utilisées. Nous présenterons la linéarisation des équations et des conditions aux limites.
2.2.1 Les équations et les conditions aux limites du fluide dans le cas général
La figure 2.1 représente un modèle d'interaction fluide - structure dans un réservoir déformable. Nous désignons les coordonnés cartésiennes d'un point géométrique dans le domaine du fluide par x'= (x' ,y' ,z')' le temps par t', le domaine occupé par le fluide par n;(x',t'), celui de la structure par n:cx' , t'), la surface libre du fluide par r;(x',t'), 1 'interface entre le fluide et la structure par 2:: (ië', t') , la surface rigide de la structure par
8 Chapitre 2
I:;(x',t'), la surface déformable de la structure par I::(it,t')la vitesse du fluide par v' =v; ë;, (i = 1, 2, 3), la pression par p' = p' (x', t'), la masse volumique du fluide par p;.
x·
figure 2.1 Un modèle d'interaction fluide- structure dans un réservoir
Les lois de conservation :
Nous nous placerons directement sous l'hypothèse d'un fluide parfait incompressible. La conservation de la matière est traduite par l'équation de continuité du fluide, qui s'exprime par le fait que l'écoulement est isovolume:
divv·· = o dans n;cx',t') (2.2.1)
La loi de conservation de la quantité de mouvement donne l'équation d'Euler, où f'
désigne les forces massiques extérieures :
ov' _, _, -· 1 •
- . +(v ·V) v = f -.-V'p
~ Pr dans n;cx', t') (2.2.2)
Nous travaillerons dans le cas où la température est contante, aussi nous ne présenterons pas l'équation de conservation de l'énergie. La loi de comportement de fluide étant définie, il nous faut maintenant caractériser les conditions aux limites sur les frontières de n;(x, t).
Les conditions aux limites :
Sur l'interface fluide - air (la surface libre) nous écrirons une condition cinématique et une condition dynamique. La condition cinématique traduit que la surface est matérielle, c'est à dire que le fluide suit le mouvement de celle-ci. Nous introduisons F' (x' ,y' ,z', t') l'équation de la surface libre, et 11' (x', z', t') les déplacements de surface libre par rapport la position moyenne, tels que :
Formulation du problème 9
F'(x', y', z', t') =y' - 11' (x' , z', t') (2.2.3)
La condition d' interface matérielle est :
DF' oF' (-' ) •
Dt' = at' + v · "il F = 0 (2.2.4)
La condition dynamique traduit que la pression sur r; (5ë', t') est égale à la pression atmosphérique P. :
p =p. . sur r;cx',t')
Les autres interfaces peuvent être mob_iles ou non et sont de type fluide - solide.
Sur l' interface fluide- solide:
(2.2.5)
Comme précédemment, nous écrirons deux conditions cinématique et dynamique. La condition cinématique pour un fluide non visqueux traduit l'imperméabilité de la surface. Elle stipule que la vitesse normale du fluide à la paroi est la même que celle du point solide lui correspondant.
v: . n = v'. n (2.2.6)
avec ïi la normale extérieure au solide.
Si Q' (x' , y' ,z', t') est l'équation de l'interface entre le fluide et la structure, l' équation est de la même forme que pour l'interface fluide- air:
DQ' àQ'
- . = - . + (v' . v) Q' = o
Dt àt (2.2.7)
Si la paroi est immobile Q' ne dépend pas du temps, l'équation ci-dessus se simplifie en:
(v' . v)Q' = o =>v' ·n=O sur L~(x' , t') (2.2.8) La condition dynamique traduit la continuité de la pression normale où cr' désigne le tenseur des contraintes dans la structure :
-p' ·ïi=cr' ·ÏÏ (2.2.9)
Nous allons maintenant spécialiser les équation au cas d'une cuve bidimensionnelle.
2.2.2 Application au problème de la cuve bidimensionnelle
Nous traiterons le cas d' une cuve bidimensionnelle possédant une seule paroi mobile, deux parois immobiles et une surface libre tel que définie dans la figure ci-dessous :
10
h'
y·
h' p
0
D{(x'. y'. t') liquide
L'
figure 2.2 un modèle bidimensionnel d ' interaction fluide- structure
Chapitre 2
x'
Nous noterons w'(y',t') la position de l'interface mobile fluide- structure car seule une paroi au repos verticale est mobile. Le domaine n;(5ë',t') est simplement connexe, aussi pour la résolution du système, nous réécrirons les équations en fonction du potentiel de vitesse du fluide
dans n;cx',t') (2.2.10) L' incompressibilité en tout point du fluide :
à2cp' &cp'
àx •2 + ày •2 = 0 ' dans n;cx' , t') (2.2.11)
avec n;(x'' t')' l'ensemble des points (x'' y') tel que : w'(y',t')~x· ~L',
L'équation d'Eure s' intègre en équation de Bernoulli. Les forces volumiques étant celles de la pesanteur et 0 y étant dirigé suivant la verticale ascendante ; On a :
[à • 1 ((àcp')2 (àcp')2) • )
v ; . + 2 àx' + ày' + ~; +g' y' = 0 (2.2.12)
Ce qui donne l'intégrale première de Bernoulli .
p
.
• • • • --,+gy =A(t)Pr (2.2.13)
Formu/atio11 du problème Il
Cette équation nous permet de trouver la pression p' en fonction de la cinématique du problème.
On peut donc séparer le problème cinématique de celui du calcul de pression en remplaçant p' par:
p -Pr • acp [ . (( ')2 ( ')2) 8( + 2 1 acp àx.' + ày' acp +g • • y -A (t) • •
l
(2.2.14)A la surface libre, l'équation (2.2.4) donne :
aF' acp • aF' acp • aF'
at' + àx.' àx.' + ày' ày' = 0 (2.2.15)
En utilisant (2.2.3) :
m,· acp' m,· acp'
~-àx.' àx.' + ày' = 0,
y' =h' +TJ'(x',t'),w'(h' +TJ'(xA',t'):s;x' ::;L' (2.2.16)
En prenant la pression atmosphérique comme pression de référence nulle, l' équation dynamique à la surface libre donne :
0 Pr • [acp' 8( + 2 1 ((acp')àx.' 2 + ày' (acp')2) +g TJ (x ,t) - A (t) • • • • •
·J
(2.2.17) Nous ferons le même travail pour les autres conditions d'interface. Pour la structure mobile les conditions cinématique et dynamique donnent :
(2.2.18) avec
'(' ' ' ) . '('')
Q x ,y , t =x -w y ,t (2.2.19)
d'où:
âw' i7q>. i7q> . âw"
- - + - - - - = 0
ôt" ôx' ôy' ôy' (2.2.20)
Pour traduire la condition dynamique sur l' interface, il nous faut exprimer la pression en ce point. La formule (2.2.14) contient le terme de pression hydrostatique invariant dans le temps pour une cote y' donnée. Appelons w: le déplacement de la structure. Il possède une
12 Chapitre 2
composante parallèle à x' égale au mouvement de l'interface w'(y', t'), et une composante parallèle à y' . Si l'on définit w; comme le déplacement de la structure par rapport à la position d'équilibre sous le chargement hydrostatique, la formule (2.2. 1 4) se simplifie en :
(2.2.21) On retrouve le résultat de Morand et Ohayon (1995).
Sur les parois immobiles, seule la condition cinématique est à écrire . Sur la face rigide de la cuve
&p" = 0
ax·
Sur le fond de la cuve
&p.
- = 0
cy· '
x· = c , os y-s h • + TJ • <L., n (2.2.22)
(2.2.23) Il nous faut écrire la loi de comportement de la structure mobile qui dépend de son type. Nous l' appliquerons chapitres 3 et 4 aux cas d' une masse pure en translation horizontale et à celui d'une poutre. Nous ne ferons ici apparaître que le vecteur chargement sur la structure tex:, y:, t' ,ii) au point de coordonnées ex: , y:) pour la linéarisation des équations. (2.2.9) s'écrit :
(2.2.24) En générale, l'équation de la structure est non linéaire. Pour simplifier le problème, nous ne considérons que le problème linéaire de la structure. En revanche, nous allons linéariser les équations non linéaires du fluide (les équations de la surface libre et de l'interface fluide - solide).
Dans 1' annexe 1, nous présentons l'équation linéaire de la poutre qui est valable dans le cas des faibles pentes ( aw·~:' t") « 1) , avec une cinématique de type Bernoulli, dans le cas d'une loi de comportement linéaire élastique et les efforts généralisés étant calculés au point actuel
w' (y' , t') . L'effort extérieur est donc représentatif de la pression au point actuel.
Dans le cas d'un système à un DDL : masse- ressort- amortisseur, l'équation du système linéaire est :
Formulatio11 du problème
où rn; , C: , k: sont la masse, l'amortissement et la rigidité respectivement.
L' équation de la poutre linéaire est : - . • • _ • ô'w" .. ô'w"
T(x , , y,, t ,n)=p,8('+E 1 ôy"'
où p;, E'I' sont la masse volumique et la rigidité de la poutre respectivement.
13 (2.2.25)
(2.2.26)
La conservation du volume pendant le mouvement rajoute une condition qui lie le mouvement de la poutre et de la surface libre :
Jdx" dy " = h"L", quelque soit t'. (2.2.27)
o·.
Avec, dans toutes les équations qui précèdent,
x." = w" (h • +Tl· (w" (h' +Tl·( ... ), t"), ( , t"), t"). (2.2.28) Nous allons maintenant linéariser ces équations.
2.3 Linéarisation
2.3.1 Transformation de domaine
Les équations sont non linéaires et en plus écrites dans des domaines qui dépendent du temps. En effet, on notera la difficulté de définir la position du point A' , point de contact entre la surface libre et la structure. Deux possibilités se présentent à nous. :
• On peut effectuer un développement de Taylor des fonctions apparaissant dans les équations, puis faire le développement asymptotique.
• On peut effectuer un changement de variables afin de travailler dans un domaine fixe, puis faire le développement asymptotique
Nous choisirons la deuxième méthode, afm de sommer au final, des fonctions aux différents ordres définies sur le même domaine transformé.
Deux types de non - linéarités géométriques sont présentes : à la surface libre et à l'interface fluide structure. Si l'on désire étudier les faibles non - linéarités, nous pouvons introduire les développements des fonctions par rapport à deux petits paramètres, l'un relatif au mouvement de la surface libre e, l'autre relatif au mouvement de la structure 1;.
Soit les deux transformations suivantes :
14 Chapitre 2 d'un espace (x, y, t) à un espace (x', y', t') faisant correspondre Je domaine Dr :
[0,1].[0,1].[0,1] au domaine D~ : [0, 1].[0, h+T](x,t)].[O, 1],
puis de l'espace (x', y', t') à un espace (x',y',t') faisant correspondre Je domaine D~ : [0, 1].[0, h+T](x,t)].[O, 1] au domaine D;: [w'(y'), L'], [0, h+T](x, t)] , [0, 1].
Le changement de variable entre les domaines d'arrivée Dr(x,t) et de départ D'r(x,t) a été choisi de telle sorte qu'il fasse correspondre les frontières des domaines :
x' = w'((h + TJ(X, t)) y)+ x (L'-w'((h + TJ(X, t)) y)).
y' =(h+T](X,t))y.
t' = t.
(2.3 .1) (2.3.2) (2.3.3)
Les équations du problème précédent plus l'équation relative au changement de variable peuvent être réécrites dans le repérage (x, y, t). Nous ne les écrirons pas ici du fait de leur 1
complexité. Effectuons maintenant Je développement asymptotique.
Formulation du problème 15
y·
1]' (x'. f)
h'
D{ (x'. y'. t') x'
--~~~---~~~
0 L'
~---~---~
(a) Y'
h Di (x'. y'. t')
x' 0
(b) y
...,,....
Dr( x. y. t)
--~~---~--~x
0 1+---""---.1· 1
(c)
figure 2.3 transfonnation de domaine
16 Chapitre 2
2.3.2 Développement asymptotique
Le domaine est alors fixé et le développement asymptotique pourra être fait dans ce domaine. Le potentiel de vitesse sera développé sous la forme :
<p(x, y, t) = <p "'(x, y, t) +<p"' (x, y, t)E + <p "' (x, y, t)Ç +
<p "' (x, y, t)E1 + <p11 (x, y, t)EÇ + <p2" (x, y, t)Ç ' + ...
Il en sera fait de même avec les fonctions T) et w.
w(x, y,t) = w '~ (x, y,t) + w" (x, y, t)Ç + w'"(x,y,t)Ç ' + .. .
(2.3.4)
(2.3.5) (2.3.6) Développer T) uniquement en fonction de E , et w uniquement en fonction de Ç permet de donner une signification physique à ces deux petits paramètres : T) = o( E) ; w = o( Ç ). Ces grandeurs sont liées par la fonction <p • La structure mobile peut présenter une partie émergée. Si l'on note wd la position de cette interface émergée (« d » comme «dry»), un développement identique à (2.3.6) sera fait pour exprimer la nullité du chargement sur cette portion.
Une autre solution serait de développer les fonctions inconnues sous la forme :
<p(x, y, t) = <p"'(x, y, t)(I +Ç<p'" (x, y, t) +Ç ' <p '" (x, y, t)+ ... ) +
E<p01 (x, y, t)(l +Ç<p" (x, y, t) +Ç'<p" (x, y, t)+ ... )+ (2.3.7) E2<p02 (x, y, t)(l +Ç<p" (x, y, t) +Ç'<p " (x, y, t)+ ... )+ .. .
Ces deux types de développements sont en fait équivalents. Ceci a été fait à l'aide du logiciel de calcul formel "Maple" car les expressions à manipuler deviennent rapidement très lourdes.
Suivons l'évolution d'une des équations, la condition cinématique à la surface libre que nous rappelons ci-dessous :
B<p , BT) ' B<p ' BT) ' - - = - + - - - -
ay' at' ax· ax' · (2.3.8)
Nous calculons tout d'abord la matrice Jacobienne reliant les dérivées, puis obtenons dans le nouveau repère aux points tels que y = 1 et 0 ~ x ~ 1 , cette condition sous la forme :
ax' ay· ax' ay·
1 = - - - - -
ax ay ay ax (2.3 .9)
J = (h + TJ(X, t))L' - (h + TJ(X, t)) w{(h + T)(X, t)}y, t)) (2.3.10)
1 1
f J(h + TJ(X, t))L' - (h + T)(X, t)) w{(h + T)(X, t))y, t)) dxdy = L'h (2.3.11)
0 0
Formu/atio11 du problème 17
On introduit alors les développements précédents, ce qui nous donne en nous limitant dans ce document aux ordres 2.
à l'ordre 1 :
acp oo = ih1 oo + acp oo ih1 oo
ax at axax' eny=1et0;:S;x;:S;1
à l'ordre 2 en E
8cp01 = àrlOI + 8cp01 àrlOO + acpOO àrlOI
ax at ax ax ax ax 0, en y = 1 et 0 ::; x ::; 1 à l'ordre 2 en 1;
acplo __ acp1o àrloo
ax ax ax = o, eny=1et0;:S;x:s;1
Récapitulons ordre par ordre le jeu d'équations obtenu.
ordre 00:
Les équations obtenues à l'ordre 1 sont : 82cp oo 82cp oo
ax2 + ay2 = o
acpoo
ax 0
0
ih1 oo acp oo ih1 oo
- - + - - - -
at ax ax
àwoo acpoo àwoo - - + - - - - at ay ay
x=1,0:s;y:s;1
y= 0, O:Sx:Sl
y=1,0:s;x:s;1
y= 1, O:s;x:s;l x= 0, O:s; y::; 1.
(2.3.12)
(2.3.13)
(2.3.14)
(2.3 .15)
(2.3.16)
(2.3 .17)
(2.3.18)
(2.3.19) (2.3.20)
18
1 1
JTJ00(x,t)dx-Jw00(y,t)dy = 0
0 0
x= 0, 0:::; y:::; 1
quelque soit t.
Chapitre 2 (2.3.21) (2.3.22) (2.3 .23) L' équation (2.3.21) ne fait pas apparaître de terme en g · w00 car les déplacements infinitésimaux sont perpendiculaires à la gravité. Nous faisons maintenant apparaître la loi de comportement de la structure. Dans le cas d'une poutre en vibrations transverses, il faudrait écrire la loi de comportement non linéaire, puis la linéariser. Pour les ordres 0 et 1, on obtient en fait l'équation classique liant les dérivées secondes par rapport au temps à la dérivée quatrième en espace:
p:h4 a2w00 a4w00 - - - + - -
E'I' at2 ay4 p;h4 (acpoo +.!.(acpoo)2 +.!.(acpoo)2)
E'I' at 2 ax 2 ay
p'h4 a2w 00 a4w 00
Es'J' 7+7 = O
Dans le cas d'un système masse ressort amortisseur, on obtient :
1
m,w00 + c,w00 + k,w00 = fr0(0,y,t,x)dy
0
(2.3.24) (2.3 .25)
(2.3 .26) w00 = 0, TJ00 = 0, k00 (t) = 0 et <p00 (x,y,t) = 0 est solution du problème à l'ordre 00. Le retour à l'espace réel donne bien sûr une solution nulle.
ordre 01 : Ç << e
En injectant dans le système d'équation obtenue à l'ordre 2 en ela solution à l'ordre 1 (en faisant disparaître les termes indicés (00), le problème à l'ordre 01 est:
1 alep 0 1 1 alep 01
= 0 O:::;x:::;l, O:::;y:::;l (2.3.27)
- - - + - - -
L'2 ax2 h2 ay2
acpOI
= 0 x=l,O:::;y:::;l (2.3 .28)
ax
acpOI
0 y= 0, o:::;y:::; 1 (2.3 .29)
ay
Formulation du problème
acpOI
"""8t +go T)01(x,t) k01(t) 1 8<p01
L'& 0
0 acpOI
T01(0,y,t,x) = -Pr """8t
r~co,y,t,x) = o
1
JTJ01(x,t)dx = 0
0
19
y= 1, o::;y::;l (2.3.30)
y=l, o::;x::;l (2.3.31)
x= 0, 0::; y::; 1. (2.3.32)
x= 0, 0::; y::; 1 (2.3 .33) x= 0, 1::; y::; hp (2.3 .34) quelque soit t. (2.3.35) La loi de comportement de la structure sera de la même forme que (2.3.24) et (2.3.25) ce qui nous donne :
o (acpo')
0 = -
;.;0
---at x= 0, o::; y::; 1 (2.3.36)0 = 0 (2.3.37)
Dans le cas d'un système masse ressort amortisseur, on obtient :
1
1 f 01 -
O=k T (O,y,t,x)dy
s 0
(2.3.38)
0
Pour qu'une solution existe, l'équation (2.3.36) implique que ~r o soit de l'ordre de Ç,
. El
pour rejeter ce terme à un ordre différent. Il suffit pour cela de considérer une structure de grande rigidité. Il en est de même pour un système masse - ressort de rigidité k. infinie.
La solution décrivant le fluide qui ballotte avec une faible amplitude dans une cuve rigide de même dimensions est solution de ce système. Pour chaque valeur de q vérifiant q= n 1t avec n entier, le potentiel de vitesse est donné par,
cp01(x,y,t) = ~ co~q(x-1)) cosh(qy) ro sin(rot) la surface libre par,
0)2
'11°1 (x, t) = -~-0 co~q(x -l))cosh(q)cos(rot) g
(2.3.39)
(2.3.40)
20
le lien entre pulsation propre et longueur d'onde ( - ) est, 2n q
ordre 10: Ç>>E
Chapitre 2
(2.3.41) (2.3.42)
Dans ce cas le mouvement de la surface libre est négligeable devant celui de la structure.
1 a2cp 10 1 a2cp1o
= 0 O~x~1, O~y~l (2.3.43)
L2~ + - - -
h/ ay2 acp1o
0, x=1,0~y~1 (2.3.44)
ax
acp1o
= 0 y= 0, 0~ x~ 1 (2.3.45)
ay .!.. acp1o
= 0 y=l, O~x~1 (2.3.46)
hay
a 10
:x .
= kiO(t) y=1,0~x~l (2.3.47).!.. acpiO ÔWIO
x= 0, 0~ y~ 1. (2.3.48)
Lax at
T10 (O, y, t, x) = - . ( acp/0)
Pr at x= 0, 0~ y~ 1 (2.3.49)
T10(0,y, t,x) = o x= 0, 1 ~y ~hP (2.3.50)
-Jw1 10(y,t)dy=0 (2.3.51)
On peut détailler la loi de comportement de la structure sous les mêmes hypothèses de petit déplacement pour une poutre et pour une masse rigide en translation :
x=O, O~y~ 1 (2.3.52)
0 (2.3.53)
Formulation du problème 21 1
rn w10 + c w10 + k w10 = fT10(0 y t x)dy
s s s ' ' ' (2.3.54)
0
Ce problème correspond au mouvement de la structure dans une cuve dont la surface libre a été remplacé par une paroi rigide. Nous ne chercherons pas à le résoudre.
mode couplé (ordre '1 ') : Ç = 0( f:)
Nous pouvons poser Ç = ~:: . Nous recherchons des solutions pour lesquelles les déplacements de surface libre et de structure sont du même ordre de grandeur. Baptisons
ep1 = ep01 + ep10. Le système devient:
1 B2epl 1 B2epl
L'2 ôx.2 + h2 8y2 = 0 O~x~1. O~y~1 (2.3.55)
Bep)
&x = 0 x=1,0~y~1 (2.3 .56)
Bep)
8y 0 y= 0, O~y~ 1 (2.3.57)
· y=I,O~y~1 (2.3.58)
y=1,0~x~1 (2.3 .59)
x= 0, 0~ y~ 1. (2.3 .60) _!_ Bep1 Bw10
Lôx. at
T1
(0, y,t,x) = -p;
(a:')
x=O, 0~ y~ 1 (2.3.61)x= 0, 1 ~y~ hp (2.3.62)
1 1
JTJ01
(x,t)dx- Jw10
(y,t)dy = 0 quelque soit t. (2.3.63)
0 0
La loi de comportement de la structure peut être comme précédemment de deux types : p:h4 B2w 1o B4w1o
- - - + - - E'I' at 2 8y4
p;h4 (Bep')
E'I' at x= 0, O~y~ 1 (2.3.64)
(2 .3.65)
