Dynamique des fluides parfaits
L’objectif de la dynamique des fluides est de pr´ evoir les formes d’´ ecoulements induites par les forces appliqu´ ees au fluide, en pr´ esence ´ eventuelle d’obstacles. Dans ce chapitre, on se limite ` a la description de fluides parfaits, ce qui signifie que l’on n´ eglige les forces de viscosit´ e. N´ eanmoins, l’´ etude des fluides parfaits reste extrˆ emement importante dans la mesure o` u les ´ etudes sur la viscosit´ e montrent que les effets de celle ci sont souvent confin´ es dans une ”couche limite” de fluide ` a proximit´ e des obstacles rencontr´ es par le fluide.
I Force de pression au sein d’un fluide
On consid` ere une particule de fluide, ´ etudi´ ee dans un r´ ef´ erentiel galil´ een, soumise ` a deux types de forces :
– les forces s’exer¸ cant ` a distance, en g´ en´ eral limit´ ees au poids,
– les actions de contact avec le reste du fluide, que nous allons ´ etudier dans la suite.
Dans le cas d’un r´ ef´ erentiel non galil´ een, il faudra ajouter les ´ eventuelles acc´ el´ erations d’entrainement et de Coriolis.
I.1 Contraintes
On consid` ere une particule fluide entour´ ee par une surface Σ. On s’int´ eresse aux actions exerc´ ees par le reste du fluide au voisinage d’un point M de Σ. On note δ Ý Ñ
F la force exerc´ ee par l’ext´ erieur de la particule fluide sur la surface dS de particule fluide au voisinage de M.
Σ
d Ý Ñ S δ Ý Ñ
F
~ σ n dS
~ σ t dS
Par d´ efinition
La contrainte ~ σ au point M est la force par unit´ e de surface
~
σpM q “ δ Ý Ñ F d Ý Ñ
S Elle s’exprime en N ¨ m ´2 ou en P a.
On d´ efinit les contraintes normale ~ σ t pM q et tangentielle (ou de cisaillement) ~ σ t pMq au point M par
~
σ n “ p~ σ ¨ ~ nq~ n et ~ σ n “ ~ n ^ p~ σ ^ ~ nq ~ σ “ ~ σ n ` ~ σ t
qui sont les projections de la contrainte ~ σ sur les vecteurs tangent et normal ` a la surface d Ý Ñ
S .
Pression Par d´ efinition, la pression P est reli´ ee ` a la force ´ el´ ementaire d Ý Ñ
F n normale ` a la surface d Ý Ñ S (orient´ ee vers l’ext´ erieur) selon
d Ý Ñ
F n “ ´P d Ý Ñ S
La pression s’identifie donc ` a l’oppos´ e de la composante normale de la contrainte P “ ´~ σ ¨ ~ n
La pression P est en g´ en´ eral un nombre positif.
Viscosit´ e Par d´ efinition, la viscosit´ e η est reli´ ee ` a la force ´ el´ ementaire d Ý Ñ
F t tangentielle ` a la surface d Ý Ñ S . On consid´ erera dans le cas d’un ´ ecoulement parfait que sa contribution est n´ egligeable et on renvoie son
´
etude au chapitre suivant.
Fluide au repos On remarquera qu’au repos, la contrainte de cisaillement est nulle et que seule existe la contrainte normale.
I.2 Expression volumique des forces de pression
On s’int´ eresse maintenant ` a la r´ esultante des forces de pression subie par la particule fluide (puisqu’on va vouloir appliquer le PFD ` a une particule fluide). Pour simplifier les calculs, on raisonne sur une particule fluide cubique de cot´ e dx, dy et dz et de volume dτ “ dxdydz.
d Ý Ñ
S 3 d Ý Ñ
S 4
d Ý Ñ S 6
d Ý Ñ S 5
d Ý Ñ S 2
d Ý Ñ S 1
y z
x
Sur l’axe Ox, les deux faces sont situ´ ees en x et x ` dx. Les surfaces ´ el´ ementaires ont pour expression d Ý Ñ
S 1 “ ´dydz~ e x et d Ý Ñ
S 2 “ dydz~ e x , les pressions sont P 1 “ P px, y, zq et P 2 “ P px ` dx, y, zq. L’expression de la composante sur l’axe Ox de la force s’exer¸ cant sur le volume dτ vaut alors
δ Ý Ñ
F x “ ´P 1 d Ý Ñ
S 1 ´P 2 d Ý Ñ
S 2 “ P px, y, zqdydz~ e x ´P px`dx, y, zqdydz~ e x “ ´pP px`dx, y, zq´P px, y, zqqdydz~ e x De la mˆ eme mani` ere, sur les axes Oy et Oz, on obtient respectivement
δ Ý Ñ
F y “ ´P 3 d Ý Ñ
S 3 ´P 4 d Ý Ñ
S 4 “ P px, y, zqdxdz~ e x ´P px, y`dy, zqdxdz~ e y “ ´pP px, y`dy, zq´P px, y, zqqdxdz~ e y et
δ Ý Ñ
F z “ ´P 5 d Ý Ñ
S 5 ´P 6 d Ý Ñ
S 6 “ P px, y, zqdxdy~ e z ´P px, y, z`dzqdxdy~ e z “ ´pPpx, y, z`dzq´Ppx, y, zqqdxdy~ e z
Or les termes P px ` dx, y, zq ´ P px, y, zq peuvent se r´ e´ ecrire en
P px ` dx, y, zq ´ P px, y, zq “ BP px, y, zq Bx dx donc, en faisant la somme
δ Ý Ñ
F t “ ´ BP px, y, zq
Bx dxdydz~ e x ´ BPpx, y, zq
By dydxdz~ e y ´ BP px, y, zq
Bz dzdxdy~ e z que l’on peut r´ e´ ecrire
δ Ý Ñ F t “ ´ ˆ BP
Bx ~ e x ` BP
By ~ e y ` BP Bz ~ e z
˙ dτ
On reconnait la formule du gradient en coordonn´ ees cart´ esiennes, ce qui permet d’´ ecrire
l’expression de la r´ esultante des forces de pression s’exer¸ cant sur une particule fluide de volume dτ
δ Ý Ñ
F t “ ´ ÝÝÑ grad P dτ On d´ efinit alors l’expression volumique de la force de pression
δ Ý Ñ F t
dτ “ ´ ÝÝÑ grad P
Cette force volumique de pression est dirig´ ee dans le sens des pressions d´ ecroissantes, ce qui explique en particulier les courants d’air qui vont des hautes pressions vers les basses pressions, ou le fait que les gaz occupent l’espace maximal mis ` a leur disposition.
I.3 Rappels de statique des fluides
On consid` ere une particule de fluide de volume δτ et de masse δm “ µ dτ , au repos dans le r´ ef´ erentiel terrestre. Les forces qui s’exercent sur la particule fluide sont, en consid´ erant le r´ ef´ erentiel comme galil´ een, le poids δ Ý Ñ
P “ δm ~ g et la r´ esultante des forces de pression δ Ý Ñ
F “ ´ ÝÝÑ
grad P dτ . On peut alors ´ ecrire le PFD pour cette particule de fluide
Ý
Ñ 0 “ ´ ÝÝÑ
grad P dτ ` δm ~ g “ ´ ÝÝÑ
grad P ` µ ~ g
On projette cette relation sur les trois axes avec Oz orient´ e vers le haut, ce qui donne BP
Bx “ 0 BP
By “ 0 ´ BP
Bz ´ µg “ 0 Le champ de pesanteur ne d´ epend que de z, et il faut int´ egrer
dP
dz “ ´µg
Cas d’un fluide incompressible dans un champ de pesanteur homog` ene Dans ce cas, µ ne varie pas avec l’altitude donc
Ppzq ´ P p0q “ µgz
Equilibre de l’atmosph` ´ ere isotherme On suppose que le fluide est maintenant un gaz parfait, le champ de pesanteur ´ etant toujours consid´ er´ e comme uniforme. Dans ce cas
µ “ m
V “ nM
V et n “ P V RT donc
µ “ M P RT On doit int´ egrer
dP
dz “ ´µg “ ´ M P
RT ñ dP
P “ ´ M g RT dz qui s’int` egre en
ln ˆ P
P 0
˙
“ ´ M g
RT pz ´ z 0 q
Ce qui permet d’obtenir la d´ ependance de la pression en fonction de l’altitude P “ P 0 exp
ˆ
´ M g
RT pz ´ z 0 q
˙
“ P 0 exp ˆ
´ z ´ z 0
H
˙
dans laquelle H “ RT {M g est homog` ene ` a une longueur et vaut « 8 km pour l’atmosph` ere terrestre.
Th´ eor` eme d’Archim` ede On consid` ere une surface Σ qui d´ elimite une portion de fluide. A l’´ equilibre, la r´ esultante des forces de pression Ý Ñ
F compense le poids Ý Ñ
P , donc Ý Ñ
P “ ´ Ý Ñ F .
On remplace le fluide par un solide de mˆ eme volume et d´ elimit´ e par la mˆ eme surface Σ. La r´ esultante des forces de pression qui s’exercent sur le solide est la mˆ eme que dans la situation pr´ ec´ edente. Elle est
´
egale en norme et oppos´ ee en sens au poids du fluide d´ eplac´ e par le solide :
La r´ esultante des forces de pression exerc´ ee par un fluide sur un solide immerg´ e est l’oppos´ e du poids du fluide rempla¸ cant le solide.
II Equation d’Euler ´
II.1 Fluide ou ´ ecoulement parfait ?
Un fluide parfait est un fluide dont la viscosit´ e est nulle. C’est par exemple le cas de l’h´ elium super- fluide.
Un ´ ecoulement parfait est un ´ ecoulement dans lequel on n´ eglige l’influence de la viscosit´ e. Un fluide parfait est donc toujours en ´ ecoulement parfait, mais l’inverse n’est pas vrai.
L’´ equation d’Euler est l’´ equivalent du principe fondamental de la dynamique pour un fluide en
´
ecoulement parfait soumis uniquement aux forces de pression et de pesanteur.
II.2 Equation d’Euler ´
Relation fondamentale de la dynamique On consid` ere une particule fluide de volume dτ et de masse δm. Son acc´ el´ eration est donn´ ee par la d´ eriv´ ee particulaire de la vitesse
~a “ D ~ v Dt “ B~ v
Bt ` p~ v ¨ ÝÝÑ
gradq~ v
Les forces ext´ erieures ` a laquelle la particule est soumise sont :
– la r´ esultante volumique des forces de pression δ Ý Ñ
F “ ´ ÝÝÑ gradP dτ – le poids δ Ý Ñ
P “ δm~ g
– les autres forces volumiques ´ eventuelles δ Ý Ñ
f a “ f ~ a dτ (force ´ electrique pour un fluide charg´ e, par exemple)
Dans ces conditions, on applique le PFD δm D~ v
Dt “ ´ ÝÝÑ
gradP dτ ` δm~ g ` f ~ a dτ On peut simplifier par dτ , ce qui donne
µ D ~ v
Dt “ ´ ÝÝÑ
gradP ` µ~ g ` f ~ a
Equation d’Euler ´ Dans le cas de l’´ equation d’Euler, on se limite au forces de pression et de pesanteur, donc
µ D~ v
Dt “ ´ ÝÝÑ gradP ` µ~ g ou bien
µ ˆ B~ v
Bt ` p~ v ¨ ÝÝÑ gradq~ v
˙
“ ´ ÝÝÑ gradP ` µ~ g ou encore
µ ˆ B~ v
Bt ` ÝÝÑ grad
ˆ v 2 2
˙
` p Ý rot Ñ ~ vq ^ ~ v
˙
“ ´ ÝÝÑ
gradP ` µ~ g Pour une acc´ el´ eration nulle, on retrouve l’´ equation de la statique des fluides
ÝÝÑ gradP ´ µ~ g “ Ý Ñ 0
R´ ef´ erentiel non galil´ een Dans le cas d’un r´ ef´ erentiel non galil´ een centr´ e en O 1 , il convient de rajouter des forces volumiques d’inertie
– force d’inertie d’entrainement δ Ý Ñ
F ie “ ´δm~a e “ ´µ~a e dτ avec ~a e “ ~apO 1 q ` d~ dt ω ` ~ ω ^ p~ ω ^ Ý ÝÝ Ñ O 1 M q – force d’inertie de Coriolis δ Ý Ñ
F ic “ ´δm~a c “ ´µ~a c dτ avec ~a c “ 2Ω ^ ~ v
o` u ~apO 1 q est l’acc´ el´ eration du point O 1 dans le r´ ef´ erentiel galil´ een et ~ ω est le vecteur rotation instantan´ ee du r´ ef´ erentiel non galil´ een. L’´ equation d’Euler est alors
µ D ~ v
Dt “ ´ ÝÝÑ
gradP ` µ~ g ´ µ~a e ´ µ~a c
II.3 R´ esolution de l’´ equation d’Euler
Solutions De mani` ere g´ en´ erale, l’´ equation d’Euler fait intervenir cinq grandeurs ` a d´ eterminer : – les trois composantes du champ de vitesse v x pM, tq, v y pM, tq et v z pM, tq,
– le champ de pression P pM, tq – la masse volumique µpM, tq
Or l’´ equation d’Euler consiste en trois ´ equations. Il manque donc, sauf simplification (par exemple grˆ ace aux sym´ etries du probl` eme), deux ´ equations pour r´ esoudre le syst` eme. L’´ equation de conservation de la masse donne une ´ equation suppl´ ementaire.
La derni` ere ´ equation est souvent une ´ equation d’´ etat : – µ “ cste pour un fluide incompressible,
– µ “ f pPq pour un fluide compressible (voir chapitre sur les ondes sonores).
Non lin´ earit´ e Par ailleurs, l’´ equation d’Euler est une ´ equation a priori non lin´ eaire, puisque le terme de d´ eriv´ ee convective fait intervenir le produit de la vitesse par sa d´ eriv´ ee spatiale. Ce caract` ere rend tr` es difficile, sauf dans le cas d’´ ecoulements simples, la r´ esolution analytique de l’´ equation d’Euler.
Lin´ earisation Pour rendre l’´ equation lin´ eaire, il faut pouvoir n´ egliger le terme de d´ eriv´ ee convective devant le terme de d´ eriv´ ee temporelle, soit
||~ v ¨ ÝÝÑ
gradq~ v|| ! B~ v Bt
En appelant τ l’´ echelle de temps caract´ eristique du ph´ enom` ene ´ etudi´ e, et ` la longueur caract´ eristique, on peut r´ e´ ecrire cette in´ egalit´ e en ordre de grandeur, en remarquant que le gradient est une d´ erivation spatiale
v 2
` ! v
τ ñ v ! ` τ
Ceci revient ` a dire que la d´ eriv´ ee convective est n´ egligeable dans les probl` emes o` u la vitesse est ”faible”.
II.4 Application
Jet d’eau L’exp´ erience montre que la forme d’un jet d’eau est parabolique. Les particules d’eau y ont un mouvement de chute libre. Leur acc´ el´ eration est donc
D~ v D t “ ~ g L’´ equation d’Euler implique donc que ÝÝÑ
grad P “ Ý Ñ 0 , donc que la pression est constante dans l’´ ecoulement.
Comme la pression est continue ` a l’interface eau-air, alors la pression dans le jet d’eau est ´ egale ` a la pression atmosph´ erique.
III Th´ eor` eme de Bernoulli
De nombreux ´ ecoulements peuvent ˆ etre consid´ er´ es comme parfaits, stationnaires et incompressible.
Ces ´ ecoulements ob´ eissent au th´ eor` eme de Bernoulli que nous allons d´ emontrer.
III.1 Ecoulement permanent, incompressible et parfait (PIP) ´
Hypoth` eses On consid` ere un ´ ecoulement permanent, incompressible et parfait ´ etudi´ e dans un r´ ef´ erentiel galil´ een. Le fluide ne subit pas d’actions autres que celles des forces de pesanteur. Enfin, on choisit un axe vertical ascendant.
D´ emonstration Dans ces conditions, on consid` ere deux points A et B appartenant ` a la mˆ eme ligne de courant. L’´ ecoulement ´ etant parfait, il ob´ eit ` a l’´ equation d’Euler, dont on utilise la troisi` eme forme donn´ ee
µ ˆ B~ v
Bt ` ÝÝÑ grad
ˆ v 2 2
˙
` p Ý rot Ñ ~ vq ^ ~ v
˙
“ ´ ÝÝÑ gradP ` µ~ g
L’´ ecoulement est permanent, donc B~ Bt v “ 0. On r´ e´ ecrit le champ de pesanteur sous la forme ~ g “ ´ ÝÝÑ gradpgzq, l’axe z ´ etant orient´ e vers le haut
µ ˆ ÝÝÑ
grad ˆ v 2
2
˙
` p Ý rot Ñ ~ vq ^ ~ v
˙
` ÝÝÑ
gradP ` µ ÝÝÑ
gradpgzq “ Ý Ñ
0
On calcule la circulation de cette expression le long de la ligne de courant entre A et B ż B
A
µ ÝÝÑ grad
ˆ v 2 2
˙
¨ d~l ` ż B
A
“ p Ý rot Ñ ~ vq ^ ~ v ‰
¨ d~l ` ż B
A
ÝÝÑ gradP ¨ d~l ` ż B
A
µ ÝÝÑ
gradpgzq ¨ d~l “ 0
L’´ el´ ement de longueur d~l est par d´ efinition colin´ eaire ` a ~ v puisque le d´ eplacement se fait sur une ligne de courant. Il est donc orthogonal ` a p Ý rot Ñ ~ vq ^ ~ v qui est perpendiculaire ` a ~ v. La deuxi` eme int´ egrale est donc nulle, et il reste
ż B
A
µ ÝÝÑ grad
ˆ v 2 2
˙
¨ d~l ` ż B
A
ÝÝÑ gradP ¨ d~l ` ż B
A
µ ÝÝÑ
gradpgzq ¨ d~l “ 0
L’´ ecoulement est incompressible, donc µ est une constante, et on peut le sortir des int´ egrales (note : il suffit ici que le fluide soit homog` ene, ie constant spatialement, puisque l’int´ egrale porte sur des variables d’espace). On r´ e´ ecrit l’expression en se rappelant que pour un champ scalaire dU “ ÝÝÑ
gradU ¨ d~l µ
ż B
A
d ˆ v 2
2
˙
` ż B
A
dP ` µ ż B
A
dpgzq “ 0 soit
µ d ˆ v 2
2
˙
` dP ` µ dpgzq “ 0 ce qui s’exprime sous la forme
µ v 2
2 ` P ` µgz “ cste et qui permet d’´ enoncer le th´ eor` eme de Bernoulli
Un ´ ecoulement permanent, incompressible et parfait ´ etudi´ e dans un r´ ef´ erentiel galil´ een, pour lequel Le fluide ne subit pas d’actions autres que celles des forces de pesanteur et pour lequel on choisit un axe vertical ascendant ob´ eit au th´ eor` eme de Bernoulli : la quantit´ e
µ v 2
2 ` P ` µgz
appel´ ee charge, est constante sur une ligne de courant de l’´ ecoulement.
On peut ´ ecrire le th´ eor` eme de Bernoulli sous deux autres formes ´ equivalentes : – sur une ligne de courant
d ˆ
µ v 2
2 ` P ` µgz
˙
“ 0 – pour deux point A et B d’une ligne de courant
µ v 2 A
2 ` P A ` µgz A “ µ v B 2
2 ` P B ` µgz B
III.2 Ecoulement permanent, incompressible, parfait et irrotationnel ´ On reprend l’´ ecoulement pr´ ec´ edent, mais on rajoute la condition Ý rot Ñ ~ v “ Ý Ñ
0 . Dans ce cas, on obtient la mˆ eme ´ equation que pr´ ec´ edemment
µ ˆ ÝÝÑ
grad ˆ v 2
2
˙
` p Ý rot Ñ ~ vq ^ ~ v
˙
` ÝÝÑ
gradP ` µ ÝÝÑ
gradpgzq “ Ý Ñ 0
qui se simplifie directement grˆ ace ` a la condition suppl´ ementaire µ ÝÝÑ
grad ˆ v 2
2
˙
` ÝÝÑ
gradP ` µ ÝÝÑ
gradpgzq “ Ý Ñ 0 Quelque soit le d´ eplacement d~l (y compris en dehors d’une ligne de courant)
µ ÝÝÑ grad
ˆ v 2 2
˙
¨ d~l ` ÝÝÑ
gradP ¨ d~l ` µ ÝÝÑ
gradpgzq ¨ d~l “ Ý Ñ 0 donc
µd ˆ v 2
2
˙
` dP ` µdpgzq “ 0
Un ´ ecoulement permanent, incompressible, parfait et irrotationnel ´ etudi´ e dans un r´ ef´ erentiel galil´ een, pour lequel Le fluide ne subit pas d’actions autres que celles des forces de pesanteur et pour lequel on choisit un axe vertical ascendant ob´ eit ` a la relation de Bernoulli suivante : la quantit´ e
µ v 2
2 ` P ` µgz appel´ ee charge, est constante dans tout l’´ ecoulement.
On peut ´ ecrire le th´ eor` eme de Bernoulli sous deux autres formes ´ equivalentes : – dans tout l’´ ecoulement
d ˆ
µ v 2
2 ` P ` µgz
˙
“ 0 – pour deux point A et B de l’´ ecoulement
µ v 2 A
2 ` P A ` µgz A “ µ v B 2
2 ` P B ` µgz B
Le caract` ere irrotationnel de l’´ ecoulement nous a permis de simplifier le calcul de la circulation sans le restreindre ` a une ligne de courant.
III.3 Interpr´ etation ´ energ´ etique
Par d´ efinition, le travail d’une force sur le trajet AB est ´ egal ` a la circulation de cette force sur le trajet AB. La d´ emonstration du th´ eor` eme Bernoulli fait intervenir l’´ etape suivante
ż B
A
µ ÝÝÑ grad
ˆ v 2 2
˙
¨ d~l ` ż B
A
ÝÝÑ gradP ¨ d~l ` ż B
A
µ ÝÝÑ
gradpgzq ¨ d~l “ 0
qui fait apparaitre, ` a un facteur dτ pr` es, les travaux des forces de pression et de pesanteur dτ
ż B A
µ ÝÝÑ grad
ˆ v 2 2
˙
¨ d~l loooooooooooooomoooooooooooooon
variation E
c“ dτ ż B
A
´ ÝÝÑ gradP ¨ d~l loooooooooomoooooooooon
travail des f orces de pression
` dτ ż B
A
µ ~ g ¨ d~l loooooomoooooon
travail du poids
“ 0
Le travail des forces de pression et et le travail du poids s’´ ecrivent comme des gradients, donc l’expression de ces travaux ne d´ epend que de A et B car
ż B
A
ÝÝÑ grad U ¨ d~l “ ż B
A
dU “ U B ´ U A
Ces travaux sont donc oppos´ es aux variations d’´ energie potentielle, donc
dτ pe B c ´ e A c q “ ´dτ pe B pression ´ e A pression q ´ dτpe B pp ´ e A pp q “ ´dτpP B ´ P A q ´ dτ µgpz B ´ z A q o` u
– P B ´P A repr´ esente l’´ energie volumique potentielle due aux forces de pression (oui, c’est directement la variation de pression !),
– µgpz B ´ z A q est l’´ energie volumique potentielle de pesanteur (c’est plus classique).
Finalement, le th´ eor` eme de Bernoulli traduit la conservation de l’´ energie m´ ecanique au cours de l’´ ecoulement.
C’est parfaitement coh´ erent, puisque nous avons n´ eglig´ e les effets de viscosit´ e, qui sont des effets dissipa- tifs.
IV Applications du th´ eor` eme de Bernoulli
IV.1 Ecoulement unidirectionnel stationnaire d’un fluide homog` ´ ene incompressible Dans le cas d’un ´ ecoulement unidirectionnel stationnaire d’un fluide homog` ene incompressible ~ vpM, tq “ vpx, tq, pour des raisons de sym´ etrie et d’invariance. Le fluide ´ etant incompressible, l’´ ecoulement l’est aussi et div ~ v “ 0 implique que Bv Bx “ 0. La vitesse ne d´ epend pas de x, le vecteur vitesse est constant, l’´ ecoulement est uniforme. Il est donc aussi non tourbillonnaire. On peut donc appliquer la version du th´ eor` eme de Bernoulli s’appliquant aux ´ ecoulements irrotationnels
µv 2
2 ` µgz ` P “ cste en tout point du fluide donc
P ` µgz “ cste.
La pression dans le fluide est donc la mˆ eme que la pression obtenue par un raisonnement hydrostatique.
Ce r´ esultat est coh´ erent avec le fait qu’un d´ eplacement uniforme ` a vitesse constante est uniquement li´ e au r´ ef´ erentiel. Dans un r´ ef´ erentiel en mouvement de translation rectiligne uniforme ` a la vitesse ~ v, la pression dans l’´ ecoulement est ´ evidemment donn´ ee par la formule de l’hydrostatique.
IV.2 Effet Venturi
On consid` ere un fluide en ´ ecoulement permanent, incompressible, parfait. On suppose par ailleurs que l’´ ecoulement se fait pour des variations de l’´ energie potentielle de pesanteur n´ egligeables (´ ecoulement horizontal par exemple). Dans ce cas, le th´ eor` eme de Bernoulli entre deux points A et B d’une ligne de courant s’´ ecrit
1
2 µv A 2 ` P A “ 1
2 µv B 2 ` P B
Lors d’un r´ etr´ ecissement de la largeur de l’´ ecoulement, la conservation du d´ ebit volumique impose une augmentation de la vitesse (v B ą v A ), donc une diminution de la pression (P B ă P A ). C’est l’effet Venturi.
• •
A B
Applications L’effet Venturi est ` a la base de nombreux dispositifs :
– des trompes ` a vides : la d´ epression cr´ ee par la vitesse sup´ erieure dans le r´ etr´ ecissement permet d’aspirer l’air et de cr´ eer un vide. C’ets le principe de la filtration sous b¨ uchner en chimie,
– le mˆ eme principe est utilis´ e par les lances ` a incendie. Le r´ etr´ ecissement de l’´ ecoulement d’eau sert alors ` a pomper les additifs utilis´ es par les pompiers pour combattre les incendies,
– l’effet Venturi permet d’expliquer qualitativement l’apparition de courant d’air importants entre des bˆ atiments,
– il est aussi utilis´ e pour g´ en´ erer de l’effet de sol, dans les sports m´ ecaniques, – on peut enfin utiliser l’effet Venturi pour construire des d´ ebitm` etres (exercice).
IV.3 Tubes de Pitot
Un tube de Pitot est tube comportant un trou perc´ e en A, sur la face avant du tube, et un trou perc´ e en B , sur la surface lat´ erale du tube. Un manom` etre permet de d´ eterminer la diff´ erence de pression entre A et B.
~
v 0 A •
B •
L’ouverture perc´ ee en A est telle que le fluide dans le tube de Pitot est au repos et incompressible, assurant que la vitesse du fluide en A est nulle.
On consid` ere deux lignes de courant passant par A et B. Dans le mesure o` u le tube ` a une section faible, ces lignes de courant, loin du tube de Pitot, passent par des points A 0 et B 0 voisins. On a donc
~ vpA 0 q “ ~ vpB 0 q “ ~ v 0 , z A
0“ z B
0et P A
0“ P B
0. En appliquant le th´ eor` eme de Bernoulli ` a chacune de ces deux lignes de courant, on obtient
µv A 2
02 ` P A
0` µgz A
0“ µv A 2
2 ` P A ` µgz A et
µv B 2
0
