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MP-2
TD 3 : R´ ef´ erentiel non-galil´ een
Exercice 1 D’apr`es Centrale 08, oral CCP 18
q
q
e r
e x (t)
O
O
L
M y
z
On consid`ere un pendule simple constitu´e d’une masse Msuspendue par un fil de longueurL. Le point de suspen- sionO, attach´e au sol, est soumis, par rapport au r´ef´erentiel RG, galil´een fixe, `a un d´eplacement horizontal d’origine sis- miquexO(t). on note RS le r´ef´erentiel li´e au sol.
1 - ´Ecrire l’´equation du mouvement angulaire du pendule dans RS. La lin´eariser dans l’hypoth`ese des petits mou- vements angulaires. En d´eduire l’´equation diff´erentielle re- liant le d´eplacement θ(t) de la masse M `a celui x0(t) du
sol.2 - Si x0(t) = X0cosωt, d´eterminer l’amplitude des oscillations Θ(ω), o`u θ(t) = Θ(ω) cos(ωt+φ).
Exercice 2 D’apr`es Banque PT 05
m z'(t)
O'
u(t) O
z
Figure 1: Sismom`etre.
Un sismom`etre pendule est constitu´e d’une masse m reli´ee `a un chˆassis solidaire du sol auquel on associe le r´ef´erentiel R0. Ce dernier vibre avec une amplitude u = u0cosωt par rapport `a un r´ef´erentielR galil´een. La liaison de m au bˆati est mod´elis´ee par un comporte- ment ´elastique de constante de raideurk et de longueur `a vide`0, associ´e `a un frottement flu- ide caract´eris´e par la constanteγ.
1 - D´eterminer la longueur Z0 du ressort
lorsque le syst`eme est au repos en l’absence de tremblement de terre.
2 - En raisonnant dans le r´ef´erentiel non galil´eenR0 li´e au sol, on pose Z(t) =z0(t)−Z0
Montrer que l’´equation diff´erentielle du mouvement s’´ecrit
¨Z +ω0
Q
Z +˙ ω20Z =−¨u
3 - Dans le cas de mouvements tr`es rapides (de hautes fr´equences), quel est le. terme pr´epond´erant (dans le premier membre). En d´eduire ce que repr´esente Z(t).
4 - Mˆeme question dans le cas de mouvements tr`es lents.
Exercice 3 D’apr`es Oral CCP 11
x O
z ω
x’
x z
x’
O
d
A M
M
Un plateau horizontal est en ro- tation autour de l’axe Oz `a la vitesse angulaire constante ω dans un r´ef´erentielRsuppos´e galil´een.
Un point mat´eriel M peut se d´eplacer sans frottement sur un rail xx0 infini fix´e sur le plateau `a une distance d de l’axe Oz. Ce point est soumis a son poids, `a la r´eaction du support et `a une force de rap-
pel ~F = −k. ~AM o`u A est le projet´e orthogonale de O sur les rail. On notera AM =x.
1 - Appliquer le PFD et d´ecrire toutes les forces (norme,direction,sens).
2 - ´Etablir l’´equation diff´erentielle v´erifi´ee parx. 3 - Discuter des solutions possibles.
Exercice 4 D’apr`es CCP 18
Figure 2: Manege PoussPouss de fˆete foraine.
`A partir de la figure ci-dessous, calculer la vitesse de rotation du man`ege (en tour.min−1 ).
L’´evaluation tiendra compte des
´el´ements suivants :
• hypoth`eses choisies ;
• soin apport´e `a la mod´elisation (notations, sch´ema) ;
• ordres de grandeur r´ealistes par rapport au clich´e.
M. BARTHES
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Exercice 5 D’apr`es X 02
y
O w
z e e
x e
l
Soit R le r´ef´erentiel g´eocentrique, suppos´e galil´een et soit R0 le r´ef´erentiel terrestre local dont l’origineO a pour latitude λ. On choisit l’axe Ox tangent au parall`ele passant par O et dirig´e vers l’est et Oy dirig´e vers le nord.
Le r´ef´erentiel R0 est en rotation uniforme de vitesse angulaire~ω par rapport `a R.
Donn´ees : RT = 6400 km, G =
6,67.10−11 N.m2.kg−2.
1 - Pour un point d’altitude z `a la verticale
de O d´eterminer l’acc´el´eration d’entraˆınement~ae. ´Etablir l’expression de son module ae en fonction de ω, z, RT et λ. Quelle est l’erreur relative sur ae si l’on remplace ae(z) parae(0)`a 2500 m.
2 - Soit~g le champ de pesanteur local, dont la direction est donn´ee par celle d’un fil `a plomb. D´eduire des r´esultats pr´ec´edents, la relation entre le champ de pesanteur local ~g, le champ de gravitation terrestre ~g∗ et l’acc´el´eration d’entraˆınement ae. Justifier l’hypoth`ese d’un champ de pesanteur localement uniforme~g.
3 - Une particule de massem se d´eplace `a la vitesse V~ dans R0. D´eterminer l’acc´el´eration de Coriolis ac en fonction deV~ et ~ω. Exprimer la force d’inertie
~Fc dansOxyzen fonction de m,ω,λet des composantesVx,VY,Vz de ~V.
M. BARTHES
