I Force de viscosit´ e

Viscosit´e

Nous avons vu dans le chapitre pr´ ec´ edent que les forces surfaciques pouvaient se d´ ecomposer en deux termes, un terme de pression, normal ` a la surface, et un terme dit de viscosit´ e, tangentiel ` a la surface.

Dans l’´ etablissement de l’´ equation d’Euler et l’´ etude des fluides parfaits, nous avons n´ eglig´ e la viscosit´ e, sur laquelle nous allons maintenant porter notre attention.

I Force de viscosit´ e

I.1 Mise en ´ evidence exp´ erimentale

On envisage l’´ ecoulement d’un fluide entre deux plaques tr` es grandes, planes et parall` eles, distantes de a. La plaque inf´ erieure est fixe et la plaque sup´ erieure est en mouvement rectiligne uniforme ` a la vitesse constante ~ v

“ v

~ e

.

x

y ~ v

fluide

x y ~ v

On observe exp´ erimentalement que

– le liquide adh` ere localement ` a chaque paroi : il a une vitesse relative nulle par rapport ` a la paroi avec laquelle il est en contact,

– le champ de vitesse entre les deux plaques vaut v

“

y, on a donc ÝÝÑ

gradv “

~ e

“

~ e

,

– la plaque du bas subit, de la part du liquide, une force de friction Ý Ñ F qui tend ` a la mettre en mouvement dans le sens de la vitesse et est proportionnelle ` a l’aire S de la plaque. Elle est aussi proportionnelle ` a

Ý

Ñ F “ η Bv

By S~ e

Le coefficient de proportionnalit´ e est appel´ e viscosit´ e dynamique du fluide. Un fluide qui ob´ eit au comportement ´ evoqu´ e dans cette partie est appel´ e fluide newtonien.

I.2 Expression des forces de viscosit´ e

Soit un ´ ecoulement de la forme ~ v “ v

py, tq~ e

tel que celui r´ ealis´ e pr´ ec´ edemment (dit ´ ecoulement de Couette plan ou ´ ecoulement de cisaillement). On consid` ere une surface ´ el´ ementaire d Ý Ñ

S parall` ele ` a l’axe Ox

x

y ~ v

d Ý Ñ S δ Ý Ñ

F

La couche de fluide situ´ ee au dessus de d Ý Ñ

S exerce sur la couche qui est situ´ ee en dessous de d Ý Ñ S une force tangentielle de cisaillement (en plus des forces normales de pression vues au chapitre pr´ ec´ edent), appel´ ee force de viscosit´ e

δ Ý Ñ

F

“ η Bv

By dS~ e

Le coefficient η est la viscosit´ e dynamique et s’exprime en Pascal-seconde (P a¨s), anciennement appel´ e Poiseuille (P l).

La quantit´ e η

est homog` ene ` a une contrainte (force par unit´ e de surface) et est appel´ ee contrainte de cisaillement.

Remarque : La force de viscosit´ e est une force orient´ ee qui d´ epend des conventions utilis´ ees. Si on s’int´ eresse ` a la force exerc´ ee par la couche situ´ ee en dessous de d Ý Ñ

S sur la couche situ´ ee au dessus, alors il faut changer de signe et

δ Ý Ñ F

“ ´η Bv

By dS~ e

De mˆ eme si les conventions d’orientations sont telles que l’axe vertical est dirig´ e vers le bas. On gardera ` a l’esprit, pour se souvenir de cette propri´ et´ e, que la force de viscosit´ e est une force de frottement, et qu’elle a donc tendance, entre deux couches de fluide, ` a ralentir la plus rapide (sens du gradient de vitesse) et ` a acc´ el´ erer la plus lente (sens oppos´ e au gradient de vitesse).

Ordres de grandeur Les ordres de grandeur suivants sont ` a connaitre – air dans les CNTP : η “ 1.8 ¨ 10

P a ¨ s,

– eau ` a 20˚C : η “ 1.0 ¨ 10

P a ¨ s, – huile de cuisine ` a 20˚C : η “ 1.0 P a ¨ s,

En g´ en´ eral, la viscosit´ e dynamique d´ epend de la temp´ erature, et la viscosit´ e est plus faible ` a haute temp´ erature pour les liquides.

I.3 Expression volumique

On s’int´ eresse maintenant, comme dans le chapitre pr´ ec´ edent, ` a la r´ esultante des forces de viscosit´ e s’exer¸cant sur une particule fluide, afin de pouvoir lui appliquer le PFD et obtenir l’´ equivalent de l’´ equation d’Euler pour un fluide visqueux.

On consid` ere pour simplifier les choses l’´ ecoulement de cisaillement unidimensionnel de la partie pr´ ec´ edente. On s’int´ eresse ` a une particule fluide situ´ ee entre y et y ` dy et aux forces de viscosit´ e qui agissent sur elle. Dans notre cas, le gradient est positif, la vitesse augmentant avec y

x y ~ v

δ Ý Ñ

F

δ Ý Ñ F

Les forces s’exer¸ cant sur la particule sont

– une force exerc´ ee par le fluide au dessus de la particule δ Ý Ñ F

“ η Bv

By py ` dyqdS~ e

dirig´ ee vers les x croissants,

– une force exerc´ ee par le fluide au dessous de la particule δ Ý Ñ

F

“ ´η Bv

By pyqdS~ e

dirig´ ee vers les x d´ ecroissants,

o` u dS “ dxdz en coordonn´ ees cart´ esiennes. En faisant le bilan des forces de viscosit´ e s’exer¸ cant sur la particule

δ Ý Ñ F “ η Bv

By py ` dyqdS~ e

´ η Bv

By pyqdS~ e

“ ηdxdz ˆ Bv

By py ` dyq ´ Bv By pyq

˙

~ e

Au premier ordre

Bv

By py ` dyq ´ Bv

By pyq “ B

v By

pyqdy donc, en faisant apparaitre dτ “ dxdydz

δ Ý Ñ

F “ ηdτ B

v

By

pyqdy~ e

On admet que pour un ´ ecoulement incompressible quelconque, cette relation ce g´ en´ eralise sous la forme suivante

δ Ý Ñ

F “ ηdτ Ý Ñ

∆~ v

o` u Ý Ñ ∆~ v repr´ esente le laplacien vectoriel qui s’exprime en coordonn´ ees cart´ esiennes

Ý

Ñ ∆~ v “ ∆v

~ e

` ∆v

~ e

` ∆v

~ e

“

¨

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˝ B

v

Bx

` B

v

By

` B

v

Bz

B

v

Bx

` B

v

By

` B

v

Bz

B

v

Bx

` B

v

By

` B

v

Bz

˛

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‚

En pratique, on utilise un formulaire pour les expressions du laplacien en coordonn´ ees cylindriques ou sph´ eriques.

Remarque : Le raisonnement d´ evelopp´ e ici se fait sur une particule fluide donc le volume est constant, donc pour un ´ ecoulement incompressible. Il est possible de g´ en´ eraliser ce raisonnement aux fluides com- pressibles, ce qui est hors programme. La g´ en´ eralisation fait intervenir la divergence de la vitesse et m` ene

`

a la d´ efinition d’une viscosit´ e dite deuxi` eme viscosit´ e ou viscosit´ e de volume.

I.4 Equation de Navier-Stokes ´

On consid` ere une particule fluide de volume dτ et de masse δm. Son acc´ el´ eration est donn´ ee par la d´ eriv´ ee particulaire de la vitesse

~a “ D ~ v Dt “ B~ v

Bt ` p~ v ¨ ÝÝÑ gradq~ v Les forces ext´ erieures ` a laquelle la particule est soumise sont :

– la r´ esultante volumique des forces de pression δ Ý Ñ

F

“ ´ ÝÝÑ gradP dτ – la r´ esultante volumique des forces de viscosit´ e δ Ý Ñ F

“ ηdτ Ý Ñ ∆~ v – le poids δ Ý Ñ

P “ δm~ g

– les autres forces volumiques ´ eventuelles δ Ý Ñ

f

“ f ~

dτ (force ´ electrique pour un fluide charg´ e, par exemple)

Dans ces conditions, on applique le PFD δm D ~ v

Dt “ ´ ÝÝÑ

gradP dτ ` δm~ g ` f ~

dτ ` ηdτ Ý Ñ

∆~ v On peut simplifier par dτ , ce qui donne

µ D ~ v

Dt “ ´ ÝÝÑ

gradP ` µ~ g ` f ~

` η Ý Ñ

∆~ v

Equation de Navier-Stokes ´ L’´ equation de Navier-Stokes d´ ecrit le comportement d’un fluide incom- pressible visqueux dans un r´ ef´ erentiel galil´ een

µ D~ v

Dt “ ´ ÝÝÑ

gradP ` µ~ g ` η Ý Ñ

∆~ v ou bien

D~ v Dt “ ´ 1

µ

ÝÝÑ gradP ` ~ g ` η µ

Ý Ñ ∆~ v

La grandeur ν “

est appel´ ee viscosit´ e cin´ ematique, en m

¨ s

. Ordres de grandeur Les ordres de grandeur suivants sont ` a connaitre

– air dans les CNTP : ν “ 1.4 ¨ 10

m

¨ s

, – eau ` a 20˚C : ν “ 1.0 ¨ 10

m

¨ s

,

– huile : ν “ 1.1 ¨ 10

m

¨ s

,

II Diffusion de quantit´ e de mouvement et nombre de Reynolds

On s’int´ eresse dans cette partie ` a des ´ ecoulements o` u le terme de viscosit´ e domine les termes de pression et de pesanteur. L’´ equation de Navier-Stokes se r´ eduit donc ` a

µ D ~ v Dt “ η Ý Ñ

∆~ v

II.1 Equation de diffusion ´

On se place dans le cas d’un ´ ecoulement de Couette plan. Dans ce cas, pour des raisons de sym´ etrie et d’invariance ~ v “ v

py, tq ~ e

et

D ~ v

Dt “ p~ v ¨ ÝÝÑ

gradq~ v ` B~ v

Bt “ v

py, tq Bv

py, tq looooooooomooooooooon Bx

“0

~

e

` Bv

py, tq

Bt ~ e

“ Bv

py, tq Bt ~ e

Par ailleurs, en coordonn´ ees cart´ esiennes, le laplacien vectoriel de la vitesse s’exprime sous la forme Ý

Ñ ∆ ~ v “ ∆ v

~ e

` ∆ v

~ e

` ∆ v

~ e

“ ∆ v

~ e

On obtient alors

µ Bv

py, tq

Bt “ η∆ v

Dans la mesure o` u v ne d´ epend spatialement que de y µ Bv

Bt “ η B

v

By

ou Bv

Bt “ ν B

v

By

qui est une ´ equation dite de diffusion. Elle relie la variation temporelle de la quantit´ e de mouve- ment (terme µ

) aux variations spatiales de la vitesse responsables des forces de frottements entre les diff´ erentes couches du fluide.

Nous reviendrons sur l’´ etude de cette ´ equation plus tard dans l’ann´ ee. Notons que la viscosit´ e cin´ ematique ν ´ evoqu´ ee plus haut est le coefficient qui apparait naturellement dans cette ´ equation de diffusion et que le transfert de quantit´ e de mouvement se fait sans d´ eplacement de mati` ere puisqu’il est orthogonal ` a la vitesse du fluide.

II.2 Transport convectif de la quantit´ e de mouvement

Le mouvement d’ensemble du fluide est lui aussi porteur d’un transport de quantit´ e de mouvement, appel´ e transport convectif. En effet, en raisonnant sur la composante p

de la quantit´ e de mouvement

D

“ ij

Σ

µv

~ v ¨ d Ý Ñ S

et on peut d´ efinir un vecteur densit´ e de courant convectif de quantit´ e de mouvement (sur l’axe Ox)

~j

“ µv

~ v

Application ` a une surface ferm´ ee On applique la formule pr´ ec´ edente ` a une surface Σ entourant un volume V

D

“

£

Σ

µv

~ v ¨ d Ý Ñ S On peut alors utiliser le th´ eor` eme Green-Ostrogradski

D

“

¡

V

divpµv

~ vq dτ

qui est par d´ efinition et par convention (normales sortantes) le d´ ebit sortant de V . le flux ´ el´ ementaire dD

“ divpµv

~ vq dτ

est donc le d´ ebit sortant de dτ . On peut alors transformer cette ´ ecriture en utilisant div pf Ý Ñ

A q “ f div Ý Ñ A ` Ý

Ñ A ¨ p ÝÝÑ grad f q

div pµv

~ vq “ pµv

qdiv ~ v ` ~ v ¨ ÝÝÑ grad pµv

q

Pour un fluide incompressible, le premier terme est nul (div~ v “ 0) et le d´ ebit ´ el´ ementaire de quantit´ e de mouvement s’´ ecrit

dD

“ ~ v ¨ ÝÝÑ

gradpµv

q dτ “ µ~ v ¨ ÝÝÑ gradpv

q dτ On exprime alors le gradient en coordonn´ ees cart´ esiennes, ce qui donne

dD

“ µ

„ v

Bv

Bx ` v

Bv

By ` v

Bv

Bz

 dτ o` u l’on voit apparaitre l’op´ erateur p~ v ¨ ÝÝÑ

gradq agissant sur v

. On peut faire le mˆ eme travail sur les autres composantes, et donc, pour un ´ ecoulement incompressible

Le d´ ebit de quantit´ e de mouvement sortant d’un volume ´ el´ ementaire fixe est li´ e ` a la d´ eriv´ ee convective

dD

“ µp~ v ¨ ÝÝÑ gradq ~ v dτ

On admettra que ce r´ esultat est g´ en´ eral et que le transport convectif de quantit´ e de mouvement est li´ e au terme de d´ eriv´ ee convective µp~ v ¨ ÝÝÑ

gradq~ v dans la d´ eriv´ ee particulaire.

Application ` a l’´ ecoulement de Couette Dans l’´ ecoulement de Couette, la d´ eriv´ ee convective est nulle. Il y a transport convectif de la quantit´ e de mouvement ` a travers une surface quelconque, mais le d´ ebit sortant d’un volume ´ el´ ementaire est nul (ie ` a travers une surface ferm´ ee). Il n’y a pas de variation de la quantit´ e de mouvement du volume ´ el´ ementaire, qui reste constante au cours du temps.

II.3 Nombre de Reynolds

Le mouvement g´ en´ eral du fluide est donc le si` ege d’un transport de quantit´ e de mouvement sous deux formes :

– le transport diffusif η Ý Ñ

∆ ~ v, li´ e ` a la r´ esultante des actions de viscosit´ e, qui n’est pas associ´ e ` a un mouvement macroscopique,

– le transport convectif (ou advectif) µp~ v ¨ ÝÝÑ

gradq~ v, li´ e au mouvement macroscopique du fluide qui d´ eplace avec lui une certaine quantit´ e de mouvement.

Le comportement g´ en´ eral d’un fluide visqueux et incompressible peut ˆ etre caract´ eris´ e par un nombre sans dimension, le nombre de Reynolds Re qui est ´ egal au rapport des ordres de grandeur de chacun des types de transport

Re “ ||µp~ v ¨ ÝÝÑ gradq~ v||

||η Ý Ñ

∆ ~ v||

En notant L une longueur caract´ eristique du probl` eme, u le vitesse typique de l’´ ecoulement, on obtient son expression

Re “ µu

η

“ µ uL η “ uL

ν

Quand le nombre de Reynolds est faible (Re ! 1), les effets de viscosit´ e l’emportent (ph´ enom` enes diffusifs pr´ epond´ erants), quand il est grand (Re " 1), ce sont les effets convectifs qui l’emportent (ph´ enom` enes convectifs pr´ epond´ erants), ` a l’´ echelle spatiale L.

Remarque importante : Le nombre de Reynolds est par construction un nombre sans dimension.

II.4 Nombre de Reynolds et similitude

On consid` ere un ´ ecoulement incompressible ob´ eissant ` a l’´ equation de Navier-Stokes, pour lequel les grandeurs caract´ eristiques sont les suivantes :

– L pour la longueur, – u pour la vitesse,

– µ pour la masse volumique, – η pour la viscosit´ e dynamique.

Ces grandeurs caract´ eristiques vont nous servir ` a rendre l’´ equation de Navier-Stokes adimensionnelle.

Pour cela, il faut construire ` a partir de ces quatre grandeurs une grandeur homog` ene ` a un temps t et une grandeur homog` ene ` a une pression p. Le temps ´ etant homog` ene ` a une distance divis´ ee par une vitesse, t “

. Une pression est homog` ene ` a une ´ energie cin´ etique volumique (cf Th´ eor` eme de Bernoulli), donc p “ µ u

.

On construit alors le jeu de variables adimensionn´ ees, indiqu´ ees par un indice

grandeurs r´ eelles grandeurs adimensionn´ ees

x, y, z x

“ x

L , y

“ y

L , z

“ z L ÝÝÑ grad “

„ B Bx , B

By , B Bz ,

 ÝÝÑ grad

“

„ B Bx

, B By

, B Bz

,



“ L ÝÝÑ grad

∆ “ B

Bx

` B

By

` B

Bz

∆

“ B

Bx

` B

By

` B

Bz

“ L

∆

~

v ~ v

“ ~ v

u

P P

“ P

µ u

t t

“ t

L{u “ t u L B

Bt

B Bt

“ L

u B Bt

On peut alors r´ e´ ecrire l’´ equation de Navier-Stokes avec les variables sans dimension (en n´ egligeant les forces autres que celles de pression et de viscosit´ e)

µ u

L

B~ v

Bt

` µ u

L p~ v

¨ ÝÝÑ

grad

q ~ v

“ ´ µ u

L

ÝÝÑ grad

P

` η u L

Ý

Ñ ∆

~ v

On peut tout simplifier par µ

et B~ v

Bt

` p~ v

¨ ÝÝÑ

grad

q ~ v

“ ´ ÝÝÑ

grad

P

` η u L

L µ u

Ý Ñ ∆

~ v

ce qui permet d’obtenir l’´ equation de Navier-Stokes adimensionn´ ee

B~ v

Bt

` p~ v

¨ ÝÝÑ

grad

q ~ v

“ ´ ÝÝÑ

grad

P

` η Lµ u

Ý Ñ ∆

~ v

Cette ´ equation ne fait pas intervenir les param` etres L, u, µ et η ind´ ependamment, mais une combinaison qui se trouve ˆ etre le nombre de Reynolds Re “

. L’´ equation de Navier-Stokes est donc la mˆ eme pour tous les ´ ecoulements poss´ edant le mˆ eme nombre de Reynolds.

Cette propri´ et´ e permet de r´ ealiser facilement des mod` eles r´ eduits d’´ ecoulements ` a taille r´ eelle, dans des dimensions qui sont adapt´ ees au laboratoire.

Remarque : Le fait qu’il existe un seul nombre permettant de d´ ecrire l’´ ecoulement est li´ e au fait qu’il existe quatre param` etres utilis´ es pour d´ ecrire l’´ ecoulement L (m), u (m ¨ s

), µ (kg ¨ m

) et η (P a ¨ s), mais que ceux ci ne sont pas ind´ ependants au niveau dimensionnel. Ces 4 grandeurs peuvent s’exprimer ` a partir de trois dimensions (temps, longueur, masse) ind´ ependantes. Il reste donc un (“ 4 ´ 3) param` etre ind´ ependant, sans dimension, qui permet de caract´ eriser l’´ ecoulement, le nombre de Reynolds.

Il est ´ evident pour les plus matheux d’entre vous que ce genre de th´ eor` eme est tr` es li´ e ` a de l’alg` ebre lin´ eaire aux espaces vectoriels et aux bases libres qui permettent de les g´ en´ erer. Le th´ eor` eme g´ en´ eral permettant d’aborder ces questions est le th´ eor` eme de Vaschy-Buckingham.

III Notion de couche limite

III.1 Retour sur l’´ ecoulement parfait

Un fluide en ´ ecoulement parfait est un fluide dans lequel les effets de viscosit´ e sont n´ egligeables devant les autres forces (volumiques ou surfaciques) mises en jeu. C’est donc de mani` ere ´ equivalente un ´ ecoulement o` u les processus de transport de quantit´ e de mouvement sont domin´ es par le transport convectif. On peut donc en d´ eduire que, globalement, un ´ ecoulement ` a grand nombre de Reynolds est un ´ ecoulement parfait.

Le mod` ele de l’´ ecoulement parfait utilis´ e dans le chapitre pr´ ec´ edent prend donc toute son importance avec cette remarque.

III.2 Couche limite

Malgr´ e tout, mˆ eme dans un ´ ecoulement ` a grand nombre de Reynolds, les effets de viscosit´ e imposent que la vitesse tangentielle relative soit nulle au contact de la paroi d’un objet. Il existe alors au voisinage de cette paroi une couche dite couche limite, d’´ epaisseur faible δ, dans laquelle les effets de viscosit´ e ne sont pas n´ egligeables, et dans laquelle la vitesse passe d’une valeur nulle ` a la valeur non nulle qu’elle a dans le reste de l’´ ecoulement.

Comme l’´ echelle de longueur δ est en g´ en´ eral largement plus faible que l’´ echelle de longueur ca-

ract´ eristique L de l’obstacle, le nombre de Reynolds local Re

“

est lui aussi largement plus faible,

rendant compte de ’importance de la viscosit´ e dans la couche limite.

x y

fluide parfait

x y

δ

fluide visqueux III.3 Epaisseur de la couche limite ´

La couche limite est l’endroit o` u les ph´ enom` enes diffusifs sont dominants, dont l’ordre de grandeur est

||ν Ý Ñ

∆ ~ v|| « ν u δ

Les ph´ enom` enes convectifs sont dominants hors de la couche limite, avec pour ordre de grandeur

||p~ v ¨ ÝÝÑ

gradq ~ v|| « u

L

A la limite entre la couche limite et l’´ ` ecoulement parfait, ces deux ordres de grandeurs sont ´ egaux u

L “ ν u δ

ce qui permet d’estimer l’´ epaisseur δ de la couche limite

δ « c νL

u “ L

? Re

Cette relation montre bien que la couche limite devient effectivement n´ egligeable pour les grand nombres de Reynolds. Une autre mani` ere de voir les choses est de dire que pour les ´ ecoulements ` a nombre de Reynolds petit, la couche limite envahit tout l’espace de l’´ ecoulement.

Num´ eriquement, pour une voiture dans l’air ` a 30 m ¨ s

, ν “ 1, 5 ¨ 10

m

¨ s

et L “ 4 m, on trouve δ “ 1, 4 mm.

III.4 Remarques diverses

Faisons quelques remarques suppl´ ementaires sur la couche limite

– la couche limite est le si` ege des effets de viscosit´ e et est donc responsable des pertes d’´ energie m´ ecaniques associ´ ees aux forces de frottement. L’importance spatiale de la couche limite donne donc une id´ ee de l’importance des pertes ´ energ´ etiques,

– on peut donner une nouvelle expression au nombre de Reynolds local en utilisant l’expression de δ obtenue plus haut

Re

“ µ uδ

η « L

? Re µ u

η «

? Re

– en fonction de la vitesse du fluide, l’´ epaisseur de la couche limite peut varier.

IV Ecoulement autour d’une sph` ´ ere

Dans cette partie, nous allons ´ etudier l’influence du nombre de Reynolds sur l’allure de l’´ ecoulement autour d’une sph` ere.

IV.1 Train´ ee

Un objet est plong´ e dans un fluide en ´ ecoulement uniforme loin de l’objet ~ v

“ v

~ e

. La force de train´ ee F ~

est la composante suivant ~ v

exerc´ ee par le fluide sur l’objet. On d´ efinit le coefficient de train´ ee C

(ou C

) sans dimension par la relation

F

“ C

1 2 µv

S

o` u S repr´ esente le maitre couple de l’objet. Le maitre couple de l’objet est la projection de l’objet sur une surface perpendiculaire ` a l’´ ecoulement (on peut penser ` a l’ombre port´ ee d’un objet). Il vaut πR

pour une sph` ere de rayon R.

IV.2 R´ esultats exp´ erimentaux

Si on trace le coefficient de train´ ee en fonction d’une nombre de Reynolds, on obtient la figure suivante On y distingue 4 zones

– pour Re ă 1, on est dans la zone des faibles nombres de Reynolds. La courbe est une droite de pente ´1 en ´ echelle log-log (qui permet de repr´ esenter plusieurs ordres de grandeurs). On a donc log C

“ log k ´ log Re, soit

C

“ k Re

On peut alors obtenir l’expression de la force de train´ ee, en remarquant que l’´ echelle caract´ eristique est le rayon de la sph` ere

F

“ k Re

1

2 µv

S “ 1 2 k ν

v

R µv

πR

“ 1

2 kπ ηv

R

On retrouve une expression de la loi de Stokes pour la chute d’une sph` ere dans un fluide, qui donne pour force de frottements F

“ 6πηRv avec la valeur k “ 24, ce qui est approximativement le cas dans la premi` ere partie de la courbe (valeur de C

pour logRe “ 0),

– pour 1 ă Re ă 10

, on peut mod´ eliser la courbe par l’´ equation d’Abraham C

“ A

ˆ

1 ` a

? Re

˙

– pour 10

ă Re ă 10

on observe un coefficient de train´ ee qui reste constant, de l’ordre de 0, 5, la train´ ee est alors proportionnelle au carr´ e de la vitesse

F

“ 0.5 1

2 µv

S « Kv

– autour de Re « 10

, on observe le ph´ enom` ene de crise de train´ ee : la train´ ee chute brutalement pour se stabiliser ensuite ` a une valeur inf´ erieure ` a la valeur pr´ ec´ edente.

IV.3 Allure et typologie des ´ ecoulements

L’allure des diff´ erents r´ egimes est r´ esum´ ee dans le tableau suivant

Re ă 1 l’´ ecoulement est dit rampant, et il est laminaire. On peut ´ evidemment rencontrer ce genre

d’´ ecoulement pour d’autres objets

1 ă Re ă 10

L’´ ecoulement subit une transition entre le r´ egime rampant et un r´ egime laminaire dans lequel apparaissent des tourbillons derri` ere l’obstacle. Cette zone de recirculation entraine une baisse de la train´ ee.

Les tourbillons restent attach´ es ` a l’obstacle pour Re ă 450, puis forment des tourbillons de Von

Karman se d´ etachant p´ eriodiquement de l’objet

10

ă Re ă 10

L’´ ecoulement devient turbulent, la couche limite se d´ ecolle de l’objet au niveau du maitre couple et il se forme un sillage ` a l’arri` ere. La couche limite est encore laminaire

10

ă Re L’´ ecoulement est turbulent, la couche limite se d´ ecolle de l’objet au niveau en arri` ere du

maitre couple et le sillage est r´ eduit, entrainant la crise de train´ ee. La couche limite devient elle mˆ eme

turbulente.