I Jet d’eau sur une plaque

Td correction Bilans en m´ecanique des fluides

I Jet d’eau sur une plaque

D _m

D 1

D 2

~ v

∆ •

h α

a. L’´ ecoulement est incompressible et permanent. L’´ ecoulement est unidimensionnel, on peut donc prendre ~ v “ v x ~ e x , donc l’´ equation d’Euler s’´ ecrit

µp~ v ¨ ÝÝÑ

gradq~ v “ µv _x Bv _x

Bx ~ e _x “ ´ ÝÝÑ gradP Or, le fluide ´ etant incompressible, div ~ v “ 0 donc

Bv x

Bx “ 0 et donc

ÝÝÑ gradP “ Ý Ñ 0

La pression est donc constante dans les zones ou l’´ ecoulement est unidimensionnel. Par ailleurs, par continuit´ e, ` a l’interface eau-air, P “ P 0 , donc la pression dans les zones d’´ ecoulement unidimensionnel est ´ egale ` a la pression atmosph´ erique.

b. On fait un bilan de moment cin´ etique, puisque la plaque est susceptible de tourner autour de l’axe

∆ en choisissant le syst` eme suivant

– ` a t, le syst` eme est constitu´ e par {la plaque, l’eau contenue dans la surface Σ} (S ₀ ) et {l’eau entrant entre t et t ` dt dans la surface en A} (S ₁ de masse δm _A ),

– ` a t ` dt, le syst` eme est constitu´ e par {la plaque, l’eau contenue dans la surface Σ} (S <sub>0</sub> ) et {l’eau sortant entre t et t ` dt de la surface en B (S _2B de masse δm _B ) et C (S _2C de masse δm _C )} .

A

B

C

• O

H y

z

On calcule le moment cin´ etique par rapport ` a ∆ ` a t L ∆ ptq “ L ∆S

ptq ` δm A p ÝÑ

OA ^ ~ v A q ¨ ~ e x “ L ∆S

ptq ` δm A pp Ý Ý Ñ OH ` Ý Ý Ñ

HAq ^ v~ e y q ¨ ~ e x

Ý Ý Ñ

HA est port´ e par ~ e y donc

L ∆ ptq “ L ∆S

ptq ` δm A p´h~ e z ^ v~ e y q ¨ ~ e x “ L ∆S

ptq ` δm A vh On calcule ensuite le moment cin´ etique par rapport ` a ∆ ` a t ` dt

L ∆ pt ` dtq “ L ∆S

pt ` dtq ` δm B p Ý Ý Ñ

OB ^ ~ v B q ¨ ~ e x ` δm C p Ý Ý Ñ

OC ^ ~ v C q ¨ ~ e x

Or en B , la vitesse est colin´ eaire ` a Ý OB, en Ý Ñ C la vitesse est colin´ eaire ` a Ý OC, donc Ý Ñ L _∆ pt ` dtq “ L ∆S

pt ` dtq

On peut donc ´ ecrire la variation du moment cin´ etique

DL _∆ “ L _∆ pt ` dtq ´ L _∆ ptq “ L ∆S

pt ` dtq ´ L ∆S

ptq ´ δm _a vh

L’´ ecoulement est ´ etudi´ e en r´ egime permanent, avec un d´ ebit massique tel que δm A “ D m dt, donc DL ∆ “ ´D m dtvh

et donc

DL _∆

Dt “ ´D _m vh

Il reste ` a faire l’inventaire des actions ext´ erieures et de leur moment :

– la pression est la mˆ eme en tout point entourant le syst` eme, et ´ egale ` a P ₀ , donc son moment est nul, – la r´ eaction au niveau de l’axe ∆ est une force qui passe par O, donc son moment est nul,

– le poids, dont le moment est ` a priori non nul.

Le poids s’applique au centre de gravit´ e de la plaque, donc M _∆P “ p Ý Ý Ñ

OG ^ m~ gq ¨ ~ e x “ mpp Ý Ý Ñ OH ` Ý Ý Ñ

HGq ^ p´g~ e z q ¨ ~ e x

donc

M _∆P “ ´mgHG “ ´mgl sin α On en d´ eduit donc, en appliquant le th´ eor` eme du moment cin´ etique

D _m vh “ mgl sin α ñ sin α “ D _m vh mgl c. Le fluide est incompressible, donc le d´ ebit volumique est conserv´ e

D _m “ D ₁ ` D ₂

Par ailleurs, l’´ ecoulement ´ etant incompressible, parfait et permanent, on peut appliquer le th´ eor` eme de Bernoulli en n´ egligeant l’effet de la pesanteur

P _A ` 1

2 v _A ² “ P _B ` 1

2 v _B ² “ P _C ` 1 2 v ² _C Comme P A “ P B “ P C “ P 0 ,

v _A “ v _B “ v _C “ v

On fait un bilan de quantit´ e de mouvement qui a pour objectif de relier la variation de quantit´ e de

mouvement du fluide ` a la force de pression exerc´ ee sur la plaque. Le syst` eme est donc le mˆ eme qu’` a la

question pr´ ec´ edente, hormis la plaque. Le syst` eme S ₀ est donc constitu´ e uniquement par le fluide contenu dans Σ, de quantit´ e de mouvement ~ p ₀ ptq.

A l’instant t

~

pptq “ ~ p 0 ptq ` δm <sub>A</sub> ~ v <sub>A</sub> “ ~ p 0 ptq ` D m dt~ v _A et ` a l’instant t ` dt

~

ppt ` dtq “ ~ p 0 pt ` dtq ` δm B ~ v B ` δm C ~ v C “ ~ p 0 ptq ` D 1 dt~ v B ` D 2 dt~ v C

donc D~ p

Dt “ D 1 ~ v B ` D 2 ~ v C ´ D m ~ v A

La force de pesanteur ´ etant n´ eglig´ e, seule la force de pression s’exerce. En particulier, compte tenu du caract` ere parfait du fluide, la force de surface s’exer¸ cant sur le fluide de la part de la plaque se r´ eduit ` a la pression P (pas de viscosit´ e). On peut alors ´ ecrire

Ý Ñ F “

£

Σ

´P d Ý Ñ S

o` u P est variable. On transforme cette int´ egrale Ý

Ñ F “

£

Σ

´P ₀ d Ý Ñ S ´

£

Σ

pP ´ P ₀ qd Ý Ñ

?

La premi` ere int´ egrale est nulle, puisque c’est l’int´ egrale sur une surface ferm´ ee d’une pression constante.

La deuxi` eme int´ egrale est non nulle quand P ‰ P <sub>0</sub> , donc au contact entre la plaque et le fluide, d’o` u Ý

Ñ F “ ´

£

plaque

pP ´ P 0 qd Ý Ñ S

On a donc

´

£

plaque

pP ´ P ₀ qd Ý Ñ S “ D ₁ ~ v _B ` D ₂ ~ v _C ´ D _m ~ v _A

que l’on projette le long de la plaque

0 “ D ₁ v ` D <sub>2</sub> v ´ D <sub>m</sub> sin αv On a donc finalement le syst` eme suivant

"

D 1 ` D 2 “ D m

D 1 ´ D 2 “ D m sin α ñ D 1 “ D m p1 ` sin αq

2 et D 2 “ D m p1 ´ sin α 2

II Force exerc´ ee sur un coude de canalisation

On va faire un bilan de quantit´ e de mouvement sur la syst` eme ferm´ e suivant

– ` a t, le syst` eme est constitu´ e du fluide compris entre les surfaces S 1 et S 2 (syst` eme S <sub>0</sub> de masse m 0 ), plus le fluide qui va entrer ` a travers la surface S ₁ entre t et t ` dt (syst` eme S ₁ , de masse δm ₁ ), – ` a t ` dt, le syst` eme est constitu´ e de S <sub>0</sub> , plus le fluide sortant par la surface S 2 (syst` eme S ₂ de masse

δm 2 .

Par conservation de la masse totale du syst` eme

mpt ` dtq ´ mptq “ m <sub>0</sub> ` δm ₂ ´ m ₀ ` δm <sub>1</sub> “ δm <sub>2</sub> ´ δm <sub>1</sub> “ 0 ñ δm <sub>2</sub> “ δm <sub>1</sub> “ δm On effectue le bilan de quantit´ e de mouvement, ` a t

~

pptq “ ~ p ₀ ` δm~ v <sub>1</sub> et ` a t ` dt

~

ppt ` dtq “ ~ p 0 ` δm~ v 2

ce qui donne

D~ p “ δmp~ v 2 ´ ~ v 1 q “ D dtp~ v 2 ´ ~ v 1 q et donc

D~ p

Dt “ Dp~ v 2 ´ ~ v 1 q Par ailleurs, les forces s’exer¸ cant sur le syst` eme sont :

– le poids Ý Ñ

P “ M~ g,

– la force de pression motrice en S 1 : P 1 S 1 ~ e x ,

– la force de pression r´ esistante en S ₂ : ´P ₂ S ₂ pcos α~ e _x ` sin α~ e _y q – la r´ eaction de la canalisation Ý Ñ

R . de sorte que

Dv 2 pcos α~ e x ` sin α~ e y q ´ Dv 1 ~ e x “ M~ g ` P 1 S 1 ~ e x ´ P 2 S 2 pcos α~ e x ` sin α~ e y q ` Ý Ñ R La force exerc´ ee par le fluide sur la canalisation est donn´ ee par

Ý

Ñ F “ ´ Ý Ñ

R “ Dv 2 pcos α~ e x ` sin α~ e y q ´ Dv 1 ~ e x ` M g~ e y ´ P 1 S 1 ~ e x ` P 2 S 2 pcos α~ e x ` sin α~ e y q que l’on projette sur les deux axes pour obtenir les composantes

"

F x “ Dv 2 cos α ´ Dv 1 ´ P 1 S 1 ` P 2 S 2 cos α F y “ Dv 2 sin α ` M g ` P 2 S 2 sin α

Dans des conditions classiques S 1 “ S 2 “ S, P 1 “ P 2 “ P 0 , et pour un fluide incompressible, par conservation du d´ ebit, v 1 “ v 2 “ v

"

F x “ Dv cos α ´ Dv ´ P 0 S ` P 0 S cos α F y “ Dv sin α ` M g ` P 0 S sin α et en regroupant les termes

"

F _x “ pDv ` P ₀ Sqpcos α ´ 1q

F y “ pDv ` P 0 Sq sin α ` M g

III Eolienne/h´ ´ elice

Σ 1 Σ 2

x ¹ x

S _A

S B

~ v _A

~ v A ~ v A

~ v _B

~ v ~ v

P ₀

P 0

a. Le fluide est incompressible, donc le d´ ebit est conservatif, et donc S _A v _A “ S _B v _B “ Sv

b. On applique le th´ eor` eme de Bernoulli entre A et un point de de Σ 1

P ₀ ` ρv _A ²

2 “ P ₁ ` ρv ²

2 ñ P ₁ “ P ₀ ` ρ ˆ v ² _A

2 ´ v ² 2

˙

De mˆ eme entre un point de Σ 2 et B P ₀ ` ρv _B ²

2 “ P ₁ ` ρv ²

2 ñ P ₂ “ P ₀ ` ρ ˆ v ² _B

2 ´ v ² 2

˙

On d´ efinit le syst` eme suivant :

– ` a t, le volume compris entre Σ <sub>1</sub> et Σ <sub>2</sub> (S <sub>0</sub> , de quantit´ e de mouvement ~ p <sub>0</sub> ptq “ m <sub>0</sub> ~ vptq) + le fluide rentrant dans S <sub>0</sub> entre t et t ` dt (S ₁ , de masse δm 1 ),

– ` a t ` dt, le volume compris entre Σ ₁ et Σ ₂ (S ₀ , de quantit´ e de mouvement ~ p ₀ pt ` dtq “ m <sub>0</sub> ~ vpt ` dtq) + le fluide sortant de S ₀ entre t et t ` dt (S ₂ , de masse δm ₂ ),

On fait un bilan de quantit´ e de mouvement sur ce syst` eme

~

pptq “ ~ p ₀ ` δm <sub>1</sub> ~ v ~ ppt ` dtq “ ~ p ₀ ` δm ₂ ~ v

En r´ egime stationnaire, ~ p 0 ptq “ ~ p 0 pt ` dtq, et δm 1 “ δm 2 (conservation de la masse) donc D~ p

Dt “ Ý Ñ 0

Les forces qui agissent sur le syst` eme sont les forces de pression et l’action de l’h´ elice sur le fluide Ý Ñ F , donc Ý

Ñ F ` P ₁ S~ e _x loomoon

moteur

´ P ₂ S~ e _x loomoon

resistant

“ 0 ñ Ý Ñ

F “ S~ e _x pP ₂ ´ P ₁ q “ S~ e _x ρ ˆ v _B ²

2 ´ v ² _A 2

˙

La force exerc´ ee par l’h´ elice sur le fluide est donc positive (et donc fournit un travail positif au fluide, fonctionnement en moteur) si P ₂ ą P ₁ ou si v _B ą v _A , et donc S _B ă S _A . La vitesse d’´ ejection du fluide est plus grande en sortie qu’en entr´ ee.

Inversement, La force exerc´ ee par l’h´ elice sur le fluide est n´ egative (et donc fournit un travail n´ egatif

au fluide, fonctionnement en ´ eolienne/g´ en´ eratrice) si P ₁ ă P ₂ ou si v _B ă v _A , et donc S _B ą S _A . La vitesse

d’´ ejection du fluide est plus petite en sortie qu’en entr´ ee, et on pr´ el` eve de l’´ energie cin´ etique du vent pour

faire tourner l’h´ elice.

c. On choisit un nouveau syst` eme dans lequel les pressions sont identiques sur les deux faces, soit : – ` a t, le volume compris entre S _A et S _B (S ₀ , de quantit´ e de mouvement ~ p ₀ “ m ₀ ~ v) + le fluide rentrant

dans S ₀ entre t et t ` dt (S ₁ , de masse δm 1 ),

– ` a t ` dt, le volume compris entre S _A et S _A (S ₀ , de quantit´ e de mouvement ~ p 0 “ m 0 ~ v) + le fluide sortant de S ₀ entre t et t ` dt (S ₂ , de masse δm ₂ ),

on est toujours en r´ egime permanent donc ~ p 0 ptq “ ~ p 0 pt ` dtq, et , et δm 1 “ δm 2 “ δm, donc D~ p “ δmp~ v _B ´ ~ v _A q “ D _m dtp~ v _B ´ ~ v _A q

Le d´ ebit volumique pour un fluide incompressible est donn´ e par D _m “ ρS _A v _A “ ρS _B v _B “ ρSv. On a alors

D~ p

Dt “ D m p~ v B ´ ~ v A q

La pression ´ etant la mˆ eme sur tout le syst` eme, la r´ esultante des forces de pression est nulle, la seule force exerc´ ee sur le syst` eme est la force exerc´ ee par l’h´ elice

Ý

Ñ F “ D m p~ v B ´ ~ v A q “ ρSvp~ v B ´ ~ v A q

En projetant sur l’axe Ox et en utilisant le r´ esultat de la question pr´ ec´ edente ρSvpv _B ´ v _A q “ Sρ

ˆ v _B ² 2 ´ v ² _A

2

˙

donc

v “ v _A ` v <sub>B</sub> 2 d. On calcule la puissance ` a partir de la valeur de Ý Ñ F

P _F “ Ý Ñ F ¨ ~ v “ ρSvpv _B ´ v _A q v _A ` v _B

2 “ D _m

2 pv _B ² ´ v _A ² q qui est une fonction en v ³ !

On peut aussi utiliser le premier principe de la thermodynamique, appliqu´ e au syst` eme

– ` a t, le volume compris entre S A et S B (S <sub>0</sub> ) + le fluide rentrant dans S <sub>0</sub> entre t et t ` dt (S ₁ , de masse δm ₁ ),

– ` a t ` dt, le volume compris entre S A et S A (S ₀ ) + le fluide sortant de S ₀ entre t et t ` dt (S ₂ , de masse δm 2 ),

dU ` dE <sub>c</sub> “ δW ` δQ

Le fluide ´ etant parfait, il n’y a pas de chaleur ´ echang´ ee (adiabaticit´ e) donc dU ` dE <sub>c</sub> “ δW <sub>pression</sub> ` δW _f

On calcule a variation d’´ energie interne

dU “ U pt ` dtq ´ U ptq “ U S

` U S

´ pU S

` U S

q “ D m dtpu S

` u S

q

L’´ energie interne massique ne varie pas car le fluide est dans le mˆ eme ´ etat thermodynamique en A et B , donc

dU “ 0

La variation d’´ energie cin´ etique vaut

dE _c “ E _c pt ` dtq ´ E _c ptq “ E cS

` E cS

´ pE cS

` E cS

q “ D _m dtpe cS

` e cS

q “ D m dt

2 pv _B ² ´ v ² _A q La puissance des forces de pression vaut P _pression “ Ý Ñ

F _pression ¨ ~ v, soit au total δW _pression “ P _pression dt “ dtpP ₀ S _A v _A ´ P ₀ S _B v _B q “ 0 Finalement

D _m dt

2 pv ² _B ´ v ² _A q “ δW _F “ P _F dt ñ P _F “ D _m

2 pv ² _B ´ v ² _A q III.1 Application ` a la propulsion d’un vaisseau (bateau ou avion)

e. Le r´ ef´ erentiel du vaisseau est galil´ een, puisqu’il est en translation rectiligne dans un r´ ef´ erentiel suppos´ e galil´ een. On a alors, dans ce r´ ef´ erentiel, pour les vitesses du fluide

~

v A “ ´~ u “ u~ e x et ~ v B “ ~ v e ´ ~ u “ pv e ` uq~ e x

La puissance fournie par l’h´ elice vaut alors P F “ D m

2 pv _B ² ´ v _A ² q “ D m

2 ppv e ` uq ² ´ u ² q “ D m

2 pv ² _e ` 2v e uq “ P m

La puissance fournie ` a la coque est la puissance fournie par l’h´ elice ` a la coque du vaisseau. Dans le r´ ef´ erentiel du vaisseau, l’h´ elice est immobile donc Ý Ñ

F helice{f luide ` Ý Ñ

F helice{bateau “ Ý Ñ 0 , donc Ý Ñ

F helice{bateau “

´ Ý Ñ F helice{f luide “ ´ Ý Ñ F On a alors P u “ ´ Ý Ñ

F ¨ ~ u “ ρSup~ v B ´ ~ v A qu~ e x “ ρSu ² pv e q “ D m v e u On peut alors calculer

η “ D m v e u

D

2 pv _e ² ` 2v _e uq “ 2u

v _e ` 2u “ 2

2 ` ^v _u

“ 1 1 ` _2u ^v

f. η est maximal quand v e “ 0, mais dans ce cas il n’y a pas de propulsion !

g. Avion ^v _u

“ 0.35, bateau ^v _u

“ 1.33. Plus l’efficacit´ e est importante, plus une faible vitesse d’´ ejection permet d’obtenir une grande vitesse du vaisseau.

III.2 Application ` a une ´ eolienne

h. Le tube de courant a alors la forme suivante (voir question c.)

Σ 1 Σ 2

x ¹ x

i. La puissance fournie sur l’arbre de l’´ eolienne est l’oppos´ ee de la puissance fournie par l’h´ elice au fluide, car Ý Ñ

F helice{f luide ` Ý Ñ

F helice{arbre “ Ý Ñ 0 , puisque l’h´ elice n’a pas de mouvement de translation. On a donc P “ ´ D m

2 pv _B ² ´ v ² _A q “ ´ρSvpv _B ² ´ v _A ² q 1

2 “ ´ρS pv ² _B ´ v ² _A q v A ` v B

4 ce qui donne

P “ ´ ρSv ³ _A

4 px ² ´ 1qp1 ` xq “ ρSv _A ³

4 p1 ´ x ² qp1 ` xq et donc

P “ ρSv ³ _A

4 p1 ` x ´ x ² ´ x ³ q On calcule l’annulation de la d´ eriv´ ee

dP

dx “ ρSv _A ³

4 p1 ´ 2x ´ 3x ² q “ 0

qui a pour discriminant ∆ “ 4 `12 “ 16 et pour solutions x 1 “ ´p2 `4q{6 “ ´1 et x 2 “ ´p2 ´4q{6 “ 1{3.

La puissance maximale vaut alors P “ ρSv ³ _A

4 p1 ` 1{3 ´ 1{9 ´ 1{27q “ ρSv _A ³

4 ˚ 27 p27 ` 9 ´ 3 ´ 1q “ 8 27 ρSv _A ³ j. On calcule le d´ ebit de l’´ energie cin´ etique contenue dans un cylindre de section S

D _E

“ 1 2 ρv _A ² lo omo on

E

volumique

¨ Sv _A

lo omo on

volume balay e par unit´ ´ e de temps

“ 1 2 ρSv _A ³ donc

r “ P D E

“ 16

27

k. AN : P max “ 15, 5 kW .