Lyc´ ee H´ el` ene Boucher

ECS 1

Lyc´ ee H´ el` ene Boucher

Concours blanc juin 2021

Epreuve de math´ ´ ematiques n ^o 1

Mardi 1

juin 2021

Corrig´e partiel

Probl`eme 1

1. Les deux derniers lancers doivent ˆetre desPileet il ne peut y avoir de succession de deuxPilecons´ecutifs avant. Par cons´equent,

(X = 2) = P1∩P2

(X = 3) = F1∩P2∩P3

(X = 4) = (F₁∩F₂∩P₃∩P₄)∪(P₁∩F₂∩P₃∩P₄)

Par ind´ependance des ´ev´enements (P_k) et (F_k) et incompatibilit´e des deux alternatives dans (X= 4), on a

a₂ = P(P₁)P(P₂) = 1 2 ×1

2 = 1 4 a₃ = P(F₁)P(P₂)(P₃) = 1

8 a₄ =

1 2

4

+ 1

2 4

= 1

8 .

2. On peut r´e´ecrire l’´ev´enementUn`a l’aide de la variable X. Si, au cours desnpremiers lancers, on a au moins une fois deux Pile cons´ecutifs, alors ces deuxPile cons´ecutifs arrivent `a n’importe quel lancer, du deuxi`eme (dans le cas P1∩P2 au n−i`eme au plus tard, de sorte qu’on peut ´ecrire

U_n=

n

[

k=2

[X=k].

Comme X est une variable al´eatoire, les ´ev´enements (X = 2), ...,(X =n) sont incompatibles et par cons´equent

P

n

[

k=2

(X=k)

!

=

n

X

k=2

P(X =k) =

n

X

k=2

a_k .

3. (a) C’est la variable tirs qui compte le nombre de lancers, c’est donc la valeur que renvoie notre fonction. La variable pile suit le nombre de Pile cons´ecutifs, on veut atteindre 2. Si on a un Face, cette variable est remise `a z´ero.

function y=simulX()

tirs=0 //nombre de tirages

pile=0 //nombre de pile "cons´ecutifs"

while pile < 2 //tant qu’on n’a pas 2 pile cons´ecutifs

if rand( ) < 1/2 then pile=pile+1 //une pile de plus si pile else

pile=0 // sinon, face et on retombe `a 0 end

tirs=tirs +1 // un tirage de plus end

y=tirs endfunction

(b) On utilise une boucle foret un calcul de somme.

function s=moyenne(n) S = 0

for i=1:n

S = S + simulX() end

s=S/n

endfunction

(c) Construction des listes de valeurs et du graphique : N = [1:200]

Y=zeros(1,200) for k=1:200

Y(k) = moyenne(k) end

plot(N,Y)

Le bon sens nous dit (un argument de la th´eorie des estimateurs de deuxi`eme ann´ee le justifiera formellement) que la moyenne converge vers l’esp´erance quand n tend vers +∞. On peut donc conjecturer que X admet une esp´erance et queE(X) = 6 .

Partie B

4. (a) L’´ev´enement U_n+1 signifie qu’on a obtenu 2 Pile cons´ecutifs `a un moment au cours des n+ 1 premiers lancers. On a pu l’obtenir au cours desn premiers lancers (ce qui correspond `aU_n) ou grˆace `a l’ajout du (n+1)−i`eme lancer, c’est-`a-dire avec les deux derniers lancersPn∩P_n+1=Bn+1. En d’autres termes,

U_n+1=U_n∪B_n+1.

Par la formule du crible,

P(Un+1) =P(Un) +P(Bn+1)−P(Un∩Bn+1). (b) En observant que {P_n−1, Fn−1}est un s.c.e, on a

U_n∩B_n+1= (U_n∩B_n+1∩Fn−1)∪(U_n∩B_n+1∩Pn−1).

On voit alors

• D’une part, B_n+1∩Pn−1 =P_n+1∩P_n∩Pn−1 et commeP_n∩Pn−1 ⊂U_n (si on a Pile aux lancersn−1 et n, on a bien eu deuxPile cons´ecutifs au cours desnpremiers lancers), on a

U_n∩B_n+1∩Pn−1 =P_n+1∩P_n∩Pn−1.

• D’autre part, ayant obtenu Face au lancer n−1, on ne peut avoir eu deux Pile cons´ecutifs qu’au cours desn−2 premiers lancers, et donc

Un∩Bn+1∩Fn−1 =Un−2∩Fn−1∩Pn∩Pn+1. Finalement, on a bien,

U_n∩B_n+1 = (Un−2∩Fn−1∩P_n∩P_n+1)∪(P_n+1∩P_n∩Pn−1). (c) Les lancers ´etant ind´ependants, Un−2 est ind´ependant deFn−1, P_n etP_n+1. D’o`u :

P(Un∩Bn+1) = P(Un−2)P(Fn−1)P(Pn)P(Pn+1) +P(Pn−1)P(Pn)P(Pn+1)

= 1

8un−2+ 1 8. Par la question 4a, on a

un+1 = P(Un+1) =P(Un) +P(Pn∩Pn+1)−P(Un∩Bn+1)

= un+ 1 4−1

8un−2−1 8

= un+1

8(1−un−2) . 5. Par la question pr´ec´edente,

u_n+1−u_n= 1

8(1−un−2)>0

car un est une probabilit´e et donc comprise entre 0 et 1 (et donc 1−un−2 > 0). Ainsi, la suite (un) est croissante et major´ee par 1. D’apr`es le th´eor`eme de convergence monotone, elle converge vers une limite`∈[0,1]. Le passage `a la limite dans la relation

u_n+1−u_n= 1

8(1−un−2) donne

`−`= 1

8(1−`)⇐⇒ `= 1 .

6. La variableX prend la valeur−1 si on n’obtient jamais deuxPile cons´ecutifs. On peut alors ´ecrire P(X =−1) =P





+∞

[

k=1

U_k



= 1−P

+∞

[

k=1

U_k

! .

La suite (Un) ´etant croissante au sens de l’inclusion (si on a deux Pile cons´ecutifs au cours des n premiers lancers, on les a a fortiori au cours des (n+ 1) premiers lancers), le th´eor`eme de la limite monotone nous donne

P

+∞

[

k=1

U_k

!

= lim

n→+∞P(U_n) = 1 et donc

P(X=−1) = 1−1 = 0. Etude de l’esp´´ erance de X

Dans cette partie, on pose, pour tout entier n≥2, v_n= 1−u_n, S_n=

n

X

k=2

kP(X =k).

7. Soit n>4. Par d´efinition,

v_n−v_n+1 = 1−u_n−1 +u_n+1=u_n+1−u_n

= 1

8(1−un−2) = 1 8vn−2 .

8. Il est clair que, si on a deux Pile cons´ecutifs au cours desn+ 1 premiers lancers, on a pu les avoir au cours des npremiers lancers ou bien (et c’est incompatible) exactement pour la premi`ere fois avec le (n+ 1)−i`eme lancer. C’est-`a-dire que (X =n+ 1)∪Un=Un+1 et cette r´eunion est disjointe. Ainsi,

P(X =n+ 1) +P(U_n) =P(U_n+1).

D’apr`es la question 4c et ce qui pr´ec`ede, on a donc P(X=n+ 1) =un+1−un= 1

8(1−un−2) = 1

8vn−2 = vn−vn+1 .

9. On proc`ede, comme demand´e, par r´ecurrence. Il faut au pr´ealable calculerv2, v3etv4 `a partir deu2, u3

etu₄. D’apr`es ce qui pr´ec`ede,

u2=P(U2) =P(X = 2) = 1

4, u3 =P(X = 2) +P(X= 3) = 3 8, u₄=P(X= 2) +P(X= 3) +P(X = 4) = 1

2 et donc

v₂ = 1−u₂ = 3

4, v₃ = 1−u₃ = 5

8, v₄ = 1 2. Init. Pour n= 2, on a d’une part

S2 = 2P(X= 2) = 2× 1 4 = 1

2 et d’autre part

6−8v₄−2v₂= 6−4−3 2 = 1

2, et l’initialisation est v´erifi´ee.

H´er. Soit n>2. Supposons que :

S_n= 6−8v_n+2−nv_n. D’apr`es la question 7,

vn−vn+1= 1

8vn−2⇐⇒8vn=vn−2+ 8vn+1

ou encore

8vn+2 =vn+ 8vn+3. Il suit que

S_n+1 = S_n+ (n+ 1)P(X =n+ 1)

= 6−8vn+2−nvn+ (n+ 1)P(X =n+ 1) (par HR)

= 6−8vn+2−nvn+ (n+ 1)(vn−vn+1) (par la question 8)

= 6−8vn+2+vn−(n+ 1)vn+1

= 6−v_n+1−8v_n+3−v_n+v_n−(n+ 1)v_n+1

= −v_n+1−8v_n+3−(n+ 1)v_n+1,

ce qui est bien la relation au rang (n+ 1) et termine la r´ecurrence.

10. Comme d´ej`a mentionn´e, la suite (vn) est `a termes positifs (car 1−un≥0) donc la relation pr´ec´edente donne S_n 6 6 et la suite (S_n) est bien major´ee. Il est ´egalement clair que (S_n) est croissante : c’est une suite de sommes partielles de termes positifs

Sn+1−Sn= (n+ 1)P(X =n+ 1)>0.

11. La suite (S_n) est croissante et major´ee : elle converge par application du th´eor`eme de convergence monotone. Cela revient `a la convergence de la s´erie de terme g´en´eral kP(X = k), c’est-`a-dire `a l’existence de l’esp´erance de X.

12. (a) La relation obtenue `a la question 9 s’´ecrit aussi

nvn= 6−8vn+2−Sn.

or, comme (v_n) converge vers 0 (car (u_n) converge vers 1) et que la suite (S_n) est convergente, (nv_n) converge vers une certaine limite que l’on noteλ>0 car la suite est `a termes positifs.

(b) Siλest non nul, alors nvn−→λ, ce qui s’´ecrit aussi v_n ∼

n→+∞

λ n. Comme la s´erie X

(λ/n) diverge (multiple d’une s´erie de Riemann divergente), la s´erie X vn

diverge ´egalement.

Or, d’apr`es la question 7,

n

X

k=2

vk =

n+2

X

k=4

vk−2= 8

n−2

X

k=4

(vk−vk+1)

= 8(v4−vn−1) (par t´elescopage)

n→+∞−→ 8v₄

ce qui est contradictoire ! On peut donc conclure que λ= 0, ou que nv_n tend vers 0.

(c) Ainsi,

Sn= 6−8vn+2−nvn −→

n→+∞6 et on retrouve le r´esultat conjectur´e dans la Partie A :

E(X) = 6 .