Q2 Déterminer la probabilité que Zig réussisse exactement k (entier≥3) lancers à l’issue de n(entier >4) lancers (incluant les quatre premiers)

Enoncé G1916 (Diophante) Entraînement au basket

Zig pratique le basket depuis de longues années. Pour s’entraîner il effectue des lancers libres avec un panier de basket sur pied.

Au cours de ses quatre premiers essais, il réussit trois d’entre eux. Par la suite sa probabilité de réussir le k-ième lancer (k > 4) est égale au pourcentage de réussite des (k−1) lancers précédents. Ainsi la probabilité de réussir le 5ème lancer est égale à 3/4 et s’il le réussit, la probabilité de réussir le 6ème lancer est égale à 4/5 et celle d’échouer à 1/5.

Q₁ Déterminer la probabilité que Zig réussisse au moins huit lancers à l’issue de dix lancers (incluant les quatre premiers).

Q₂ Déterminer la probabilité que Zig réussisse exactement k (entier≥3) lancers à l’issue de n(entier >4) lancers (incluant les quatre premiers).

Q₃ Déterminer l’espérance mathématique du nombre de lancers réussis à l’issue de cent essais.

Q₄ Pour les plus courageux : Zig réussitplancers sur lesqpremiers lancers et par la suite sa probabilité de réussir le k-ième lancer (k > q) est égale au pourcentage de réussite des (k −1) lancers précédents. Déterminer l’espérance mathématique du nombre de lancers réussis à l’issue denessais (n > q).

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Question 1

Premier cas : Zig réussit les lancers de 5 à 9, probabilité (3/4)(4/5)(5/6)(6/7)(7/8) = 3/8.

Second cas : Zig rate son 5ème lancer, et réussit les lancers de 6 à 10, probabilité (1/4)(3/5)(4/6)(5/7)(6/8)(7/9) = 1/24.

Troisième cas : Zig rate sonr-ième lancer (6≤r≤9) et réussit les autres, probabilité 3

4· · ·r−3 r−2 · 1

r−1 · r−2 r · · ·7

9 = 1

24 pour chacune de ces 4 valeurs der.

Probabilité totale 3/8 + (1 + 4)/24 = 7/12.

Question 2

Supposons par exemple que Zig rate les lancers de rang a, b, c (4 < a <

b < c). Il réussitn−4 lancers avec la probabilité 3

4· · ·a−3 a−2 · 1

a−1·a−2

a · · ·b−4 b−2 · 2

b−1·b−3 b · · · c−5

c−2· 3

c−1 ·c−4

c · · ·n−5

n−1 = 3· · ·(n−5)·1·2·3 4· · ·(n−1)

Cela s’étend à k réussites en n lancers, avec la probabilité 3· · ·(k−1)·1· · ·(n−k−1

4· · ·(n−1) pour chaque (k−3)-uplet des rangs des lan- cers réussis parmi les n−4 derniers. Le nombre de ces répartitions est C(n−4, k−3), ce qui conduit à la probabilitéC(k−1,2)/C(n−1,3).

On retrouve ainsi, pour 10 lancers (question 1), la probabilité C(7,2)/C(9,3) = 1/4 de 8 réussites etC(8,2)/C(9,3) = 1/3 de 9 réussites.

Questions 3 et 4

S’il y ar réussites en m lancers, le lancer suivant apporte une espérance r/m s’ajoutant à l ’espérance Em pour donner l’espérance Em+1 après m+ 1 lancers. Sim > q,rest aléatoire d’espéranceE_m, d’où en pondérant r selon sa probabilité,E_m+1=E_m+E_m/m.

AinsiEm+1/(m+ 1) =Em/m=. . .=Eq/q=p/q.

D’où E_n = np/q. Si (n, p, q) = (100,3,4) (question 3), l’espérance du nombre de lancers réussis est 75.