A490 – Des restes à (con)sommer
Si, pour l'entier k variant de 2 à n, la somme des restes des divisions de (k + 1)³ par k³ est égale à 999 949, que vaut, pour k variant toujours de 2 à n,
Q₁ la somme des restes des divisions de (k + 1)² par k² ? Q₂ la somme des restes des divisions de (k + 1)⁴ par k⁴ ?
Nota: les solutions manuelles sont préférées à celles qui font appel à un tableur ou à un automate.
Solution proposée par Daniel Collignon
k^3>3k^2+3k+1 <=> 2k^2>(k+1)^3 => k>1/(2^(1/3)-1) => k>=4 pour k=2 : 27=3 (mod 8)
pour k=3 : 64=10 (mod 27)
D'où S = 3+10 + somme(k=4..n, 3k^2+3k+1) S = 13 + somme(k=4..n, (k+1)^3-k^3)
S = 13 + (n+1)^3-4^3 S = (n+1)^3 - 51
D'où (n+1)^3 = 999 949+51 = 10^6 et donc n=10^2-1=99.
Q1 :
k^2>2k+1 <=> (k-1)^2>2 => k>1+2^(1/2) => k>=3 pour k=2 : 9=1 (mod 4)
D'où S = 1 + 100^2-3^2 S = 9 992
Q2 :
k^4 > 4k^3+6k^2+4k+1 <=> 2k^4>(k+1)^4 => k>1/(2^(1/4)-1) => k>=6 D'où S = 1+13+113+46 + 100^4-6^4
S = 99 998 877
