Master 2 Recherche Math´ematiques Appliqu´ees
Processus Stochastiques, sujet d’oral de rattrapage num´ero 2 le 3 mars 2011
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Exercice 1D´esignons par{B(t)}t∈[0,1]un mouvement brownien standard et parZ une variable al´eatoire gaussienne centr´ee et r´eduite. Pour tout r´eel p > 0, nous posons c(p) = E |Z|p
, de plus, pour tout entier n≥1, nous posons :
Vn(p) =np/2−1
n−1
X
k=0
Bk+ 1 n
−Bk n
p
.
1) Montrer que limn→+∞E
Vn(p)−c(p)
2 = 0.
2) Montrer que, lorsque n tend vers +∞, la variable al´eatoire
n(p−1)/2
n−1
X
k=0
Bk+ 1 n
−Bk n
p
−n1−p/2c(p)
! ,
converge en loi vers une variable al´eatoire gaussienne.
Exercice 2 Pour tout entier l ≥ 1, d´esignons par {N(l)(t)}t∈R+ un processus de Poisson d’intensit´el et d´esignons par {X(l)(t)}t∈R+ le processus d´efini parX(l)(t) =N(l)(t)−lt.
1) Montrer que les accroissements de {X(l)(t)}t∈R+ sont ind´ependants et stationnaires.
2) Pour tout entier l ≥ 1 et tout r´eel t ≥ 0, d´esignons par Φ(l)t la fonction caract´eristique de la variable al´eatoire l−1/2X(l)(t). Rappelons que, par d´efinition, pour tout ξ ∈ R, Φ(l)t (ξ) = E eil−1/2ξX(l)(t)
. Montrer que pour tout ξ∈R, Φ(l)t (ξ) = exph
−lt
1 +il−1/2ξ−eil−1/2ξi . 3) Calculer pour tout ξ ∈R, liml→+∞Φ(l)t (ξ). Que peut-on en d´eduire ?
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