A414 ‒ Yo-yo sur les moyennes [** à la main]
Problème proposé par Raymond Bloch
Soit la suite S des n premiers nombres entiers consécutifs: 1,2,... n qui contient trois entiers a,b et c.
Soit m la moyenne arithmétique de S.
Si on retranche a de S, m augmente de 1% exactement.
Si on retranche b de S, m diminue de 1% exactement.
Si on retranche c de S, m augmente de 2% exactement.
Déterminez les quatre entiers n,a,b et c.Justifiez votre réponse Solution proposée par Daniel Collignon
Rappelons que 1+...+n = n(n+1)/2, de sorte que m = (n+1)/2 En retranchant c, on obtient (n(n+1)/2-c)/(n-1) = m*1,02 D'où c = n - (n+51)(n-1)/100.
c>=1 implique alors n=<49.
De même on obtient les relations : a = n - (n+101)(n-1)/200
b = n - (99-n)(n-1)/200
a, b et c étant entiers, nous en déduisons que : 100 divise (n+51)(n-1)
200 divise (n+101)(n-1) 200 divise (99-n)(n-1)
D'où 100 divise (n-1)(n+1) nécessitant que n soit impair
Comme pgcd(n-1, n+1) = 2, un des 2 facteurs est un multiple de 5^2 Parmi 24, 26 et 49, seul n=49 remplit toutes les conditions.
Nous vérifions alors que a=13, b=37 et c=1
