A414. Yo-yo sur les moyennes Problème proposé par Raymond Bloch
Soit la suite S des n premiers nombres entiers consécutifs: 1,2,... n qui contient trois entiers a,b et c.
Soit m la moyenne arithmétique de S.
Si on retranche a de S, m augmente de 1% exactement.
Si on retranche b de S, m diminue de 1% exactement.
Si on retranche c de S, m augmente de 2% exactement.
Déterminez les quatre entiers n,a,b et c.Justifiez votre réponse.
SOLUTION
La somme des n premiers entiers est S = n(n+1)/2 Et moyenne de ces nombres est M =(n+1)/2, Les conditions précédentes mènent à 3 équations diophantiennes,
L'entier a est nécessairement plus petit que n/2 puisque la moyenne augmente Nouvelle somme en enlevant a → n(n+1)/2 – a
Nouvelle moyenne : 1,01*M = 1,01*(n+1)/2 d'où
n² + 100 n +200 a -101 =0 dont plusieurs solutions sont n=49 et a=13
n=51 et a=13 n=99 et a=1
L'entier b est nécessairement plus grand que n/2 puisque la moyenne diminue Nouvelle somme en enlevant b → n(n+1)/2 – b
Nouvelle moyenne : 0,99*M = 0,99*(n+1)/2 d'où
n² + 100 n -200b + 99 =0 dont plusieurs solutions sont n=49 et b=37
n=51 et b=39 n=99 et b =99
L'entier c est nécessairement plus petit que n/2 puisque la moyenne augmente Nouvelle somme en enlevant b → n(n+1)/2 – c
Nouvelle moyenne : 1,02*M = 1,02*(n+1)/2 d'où
2n² - 100 n + 200c -102 =0
qui donne 1 solution compatible avec les deux autres : n=49 et c=1
Rq : il est inutile de chercher des solutions au-delà de n=100, car la différence de moyenne serait inférieure à 2%.
La solution trouvée est donc unique.
Finalement l’unique solution est : n=49 et a=13 et b=37 et c=1
