A 414. Yo-yo sur les moyennes. **
Problème proposé par Raymond Bloch
Soit la suite S des n premiers nombres entiers consécutifs: 1, 2, ..., n qui contient trois entiers a, b et c.
Soit m la moyenne arithmétique de S.
Si on retranche a de S, m augmente de 1% exactement.
Si on retranche b de S, m diminue de 1% exactement.
Si on retranche c de S, m augmente de 2% exactement.
Déterminez les quatre entiers n, a, b et c. Justifiez votre réponse.
Solution proposée par Michel Lafond
Réponse: a = 13 b = 37 c = 1 et n = 49.
Notons M (E) la moyenne arithmétique de l’ensemble E.
Par hypothèse on a :
Ces équations après simplifications deviennent :
Les discriminants de ces trois trinômes doivent être des carrés parfaits, donc 2601 – 200 a ; 2401 + 200 b ; 2704 – 400 c sont des carrés.
Pour 2704 – 400 c seul c = 1 convient.
Pour 2601 – 200 a seuls a = 1 et a = 13 conviennent.
Puisqu’évidemment a, b c sont distincts, on tire a = 13 et c = 1.
La combinaison linéaire –3 (1) + (2) + 2 (3) donne après simplification –3 a + b + 2 c = 0 (4) D’où b = 3 a – 2 c = 37.
La combinaison linéaire (1) + (2) donne après simplification n = a + b – 1 = 49 (5) Finalement : a = 13 b = 37 c = 1 et n = 49.
Vérifions : M (S) = 25
M (S sauf 13) = 25,25 [+ 1%]
M (S sauf 37) = 25,75 [– 1%]
M (S sauf 1) = 25,5 [+ 2%]
