A414. Yo-yo sur les moyennes
Problème proposé par Raymond Bloch
Soit la suite S des n premiers nombres entiers consécutifs: 1,2,... n qui contient trois entiers a,b et c.
Soit m la moyenne arithmétique de S.
Si on retranche a de S, m augmente de 1% exactement.
Si on retranche b de S, m diminue de 1% exactement.
Si on retranche c de S, m augmente de 2% exactement.
Déterminez les quatre entiers n,a,b et c. Justifiez votre réponse.
Somme initiale : S = n(n+1)/2, moyenne initiale (n+1)/2
Après retranchement d'un entier x : somme S = n(n+1)/2 – x , moyenne nouvelle [n(n+1)/2 – x] / (n – 1) Moyenne nouvelle/ Moyenne initiale {[n(n+1)/2 – x] / (n – 1)} / [(n+1)/2] = (n(n+1) – 2x) / (n² – 1 ) Les trois équations
1,01 = (n(n+1) – 2x) / (n² – 1 ) 0,99 = (n(n+1) – 2x) / (n² – 1 ) et 1,02 = (n(n+1) – 2x) / (n² – 1 ) ont pour solutions :
a = (101 + 100n – n²)/200 b = (n² + 100n + 99)/200 et c = (51 + 50n – n²)/100 Pour que a >0 il faut n < 101
Pour que c >0 il faut n < 51
Quand on fait varier n de 2 à 50, la fraction c = (51 + 50n – n²)/100 n'est un nombre entier que si n = 49 , alors c = 1.
Avec n=49 on trouve a = (101 + 100n – n²)/200 = 13 et b = (n² + 100n + 99)/200 = 37.
Les quatre entiers n, a, b, c sont donc 49, 13, 37, 1.
Moyenne initiale =25
Moyenne après retrait de a : 25,25 Moyenne après retrait de b : 24,75 Moyenne après retrait de c : 25,5
