A332. Six font trois
Trouver un ensemble de six nombres entiers consécutifs tels que leur produit est aussi le produit de trois nombres entiers consécutifs.
Pour les plus courageux: démontrer que cet ensemble est unique.
Solution proposée par Raymond Bloch.
Si f(b) = (b-2)(b-1)b(b+1)(b+2)(b+3) = f(a) = (a-1)a(a+1) (1) , a≥2 et b≥3 entiers,
f(b) comporte un multiple de 5, deux multiples de 3, trois multiples de 2, dont un multiple de 4, et donc f(b) est un multiple de 5x32x22x4 = 720.
Or 720 = 6 ! = 1x2x3x4x5x6 = 8x9x10 .
Pour prouver que cette solution est unique, voici la démonstration de mon ami Louis Thépault, auteur de quatre excellents livres de problèmes et divertissements mathématiques chez Dunod de 2003 à 2008, auquel j’avais soumis cet énoncé il y a bien longtemps.
Ayant constaté que dans (1) a devait être proche de la racine cubique de f(b), il a établi que pour b > 3, la partie entière de cette racine cubique de f(b) était comprise entre deux entiers consécutifs
a1 = b2+b-3 et a2 = b2+b-2.
La différence f(b) – f(a1) * est une fonction toujours positive de la variable b.
La différence f(a2) – f(b) ** est une fonction toujours positive de b.
Il existe donc, pour chaque valeur de b telle que (b-2)≠ 1, donc b ≠ 3, deux entiers
consécutifs a1 et a2 tels que f(b) est strictement compris entre f(a1) et f(a2). Comme f(a) est une fonction croissante de a, f(b) sera inférieur à f(a) pour toute valeur de a≤ a1 et supérieur à f(a) pour toute valeur de a≥ a2.
Donc on n’aura jamais f(a) = f(b) , sauf pour b-2=1, ou b=3 qui correspond à la solution unique ci-dessus.
* f(b) – f(a1) = b4+2b3+21b2-14b+24.
** f(a2) – f(b) = 2b4+4b3+b2-b-6.
