A414 ‒ Yo-yo sur les moyennes
Problème proposé par Raymond Bloch
Soit la suite S des n premiers nombres entiers consécutifs : 1, 2,... n qui contient trois entiers a, b et c.
Soit m la moyenne arithmétique de S.
Si on retranche a de S, m augmente de 1% exactement.
Si on retranche b de S, m diminue de 1% exactement.
Si on retranche c de S, m augmente de 2% exactement.
Déterminez les quatre entiers n, a, b et c. Justifiez votre réponse.
Solution par Patrick Gordon
cas de a m = (n+1)/2 La moyenne devient :
m' = [n(n+1)/2 – a] / (n–1) Elle doit être égale à 101(n+1)/100.
En résolvant en n, il vient :
n² – 100 n + 200a – 101 = 0 Le discriminant réduit est :
2601 – 200a
Ce n'est un carré que pour a = 0 (exclu), 1 ou 13.
Si a = 1, n = 99 ou 1 (exclu) Si a = 13, n = 49 ou 51
cas de b La moyenne devient :
m' = [n(n+1)/2 – b] / (n–1) Elle doit être égale à 99/100 (n+1)/2.
En résolvant en n, il vient :
n² + 100 n + 99 – 200b = 0
Le discriminant réduit est : 2401 + 200b
Ce n'est un carré que pour b = 0 (exclu) ou 1 ou 37, ou 39
Si b = 1, n = 1 (exclu) Si b = 37, n = 49 Si b = 39, n = 51
cas de c La moyenne devient :
m' = [n(n+1)/2 – c] / (n–1) Elle doit être égale à 102/100 (n+1)/2.
En résolvant en n, il vient :
2n² – 100 n + 200c – 102 = 0 Le discriminant réduit est :
2704 – 400c
Ce n'est un carré que pour c = 0 (exclu) ou 1.
Si c = 1, n = 1 (exclu) ou 49.
Conclusion :
n = 49 a = 13 b = 37 c = 1 Vérification
S = 1225 m = 25 S – a = 1212 m-a = 25,25 S – b = 1188 m-b = 24,75 S – c = 1224 m-c = 25,5
