A332. Six font trois
Problème proposé par Raymond Bloch
Trouver un ensemble de six nombres entiers consécutifs tels que leur produit est aussi le produit de trois nombres entiers consécutifs.
Pour les plus courageux: démontrer que cet ensemble est unique.
Solution proposée par Claudio Baiocchi
On voit à la main que le produit coïncide avec . On va contrôler qu’il s’agit de l’unique solution possible.
Pour tout , on note le produit de trois facteurs ; sera le produit de six facteurs . Il s’agit de trouver tels que .
Si l’on groupe les six facteurs de sous la forme on voit que peut être écrit sous la forme ce qui, posant , devient . On doit donc résoudre :
La différence est évidemment positive si et négative si ; si une solution existe on doit donc avoir pour un entre 1 et 4. L’équation correspondante :
Développant on parvient à ; lorsque varie entre 1 et 4 la seule solution entière positive correspond à ; donc ce qui, grâce à , admet l’unique solution positive .
